Wie Exponenten funktionieren: Potenzen und Potenzgesetze

Exponenten sind wiederholte Multiplikation

2^4 zu schreiben ist eine Kurzform für 2 × 2 × 2 × 2. Die Basis ist die multiplizierte Zahl (2), und der Exponent, oder die Potenz, wie viele Kopien man multipliziert (4). So ist 2^4 = 16 und 10^3 = 1.000. Die Schreibweise gibt es, weil wiederholte Multiplikation schnell wächst und mühsam auszuschreiben wäre — 2^10 ist bereits 1.024.

Zwei Namen tauchen oft auf: hoch 2 heißt quadrieren (denn 5^2 ist die Fläche eines Quadrats mit Seite 5), und hoch 3 heißt kubieren (das Volumen eines Würfels). Alles andere liest man als „hoch“ — 7^5 ist „sieben hoch fünf“.

Die Potenzgesetze

Drei Kernregeln erledigen das meiste. Potenzen gleicher Basis multiplizieren addiert die Exponenten: 2^3 × 2^2 = 2^(3+2) = 2^5, denn man multipliziert fünf 2 hintereinander. Dividieren subtrahiert sie: 2^5 ÷ 2^2 = 2^(5−2) = 2^3, da sich zwei Faktoren kürzen. Eine Potenz potenzieren multipliziert sie: (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6, denn man nimmt drei 2 und wiederholt das zweimal.

Die Null-Exponent-Regel folgt aus der Divisionsregel. Da 2^3 ÷ 2^3 = 2^(3−3) = 2^0 und jede Zahl durch sich selbst 1 ist, muss 2^0 = 1 sein. Das gilt für jede Basis außer null: 5^0, 100^0 und (−3)^0 sind alle 1.

Negative und gebrochene Exponenten

Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: 2^−1 = 1 ÷ 2 = 0,5, und 2^−3 = 1 ÷ 2^3 = 1 ÷ 8 = 0,125. Zählt man die Potenzen von 2 abwärts — 8, 4, 2, 1 — halbiert jeder Schritt, sodass ein Weiterzählen unter 2^0 = 1 natürlich zu ½, ¼ usw. führt. Negative Exponenten setzen dieses Muster unter null fort.

Ein gebrochener Exponent bedeutet eine Wurzel. Der Nenner gibt die Wurzel und der Zähler die Potenz: 9^(1/2) ist die Quadratwurzel von 9, also 3, und 8^(1/3) ist die Kubikwurzel von 8, also 2. Kombiniert: 8^(2/3) = (8^(1/3))^2 = 2^2 = 4. Deshalb sind Wurzeln und Potenzen dieselbe Operation von zwei Seiten betrachtet.

Häufige Fragen

Warum ist alles hoch null gleich eins?

Weil eine Potenz durch sich selbst geteilt 1 ergibt und nach der Potenzregel auch die Basis hoch null. Beide müssen übereinstimmen, also ist jede Basis außer null hoch null 1.

Was ist null hoch null?

Es ist ein Sonderfall ohne einheitliche Antwort. Viele Kontexte setzen 0^0 = 1 aus Bequemlichkeit, streng gilt es aber als unbestimmt. Die meisten Alltagsregeln setzen eine Basis außer null voraus.

Wie unterscheidet sich 2^3 von 2 × 3?

2 × 3 addiert 2 dreimal und ergibt 6. 2^3 multipliziert 2 dreimal mit sich selbst und ergibt 8. Exponenten wachsen viel schneller als Multiplikation.

Kann ein Exponent eine Dezimalzahl sein?

Ja. Ein Dezimalexponent ist nur ein gebrochener anders geschrieben: 2^0,5 ist dasselbe wie 2^(1/2), die Quadratwurzel von 2, etwa 1,414. Rechner behandeln so jeden reellen Exponenten.