Las diagonales de un polígono son una malla completa menos el perímetro

Por qué las topologías de malla completa se quedan en números pequeños

El conteo crece con el cuadrado del número de nodos, así que cada máquina añadida cuesta más que la anterior. Pasar de diez nodos a veinte sube los enlaces de 45 a 190, y llegar a cien los lleva a 4.950 — cien veces más enlaces por diez veces más máquinas. Por eso las mallas completas sobreviven solo entre un puñado de routers de núcleo o en un clúster pequeño, y por eso todo lo mayor pasa por concentradores, espinas o brokers. La misma aritmética explica que una reunión de doce personas ofrezca sesenta y seis conversaciones paralelas posibles, y que los costes de coordinación de un equipo suban más rápido que su plantilla.

Las otras dos salidas son más simples de lo que parecen

Todo polígono de n lados se corta en n−2 triángulos trazando las diagonales desde un mismo vértice, y como cada triángulo lleva 180 grados, la suma de los ángulos interiores vale (n−2) × 180: 720 para un hexágono, 3.240 para un icoságono. El resultado vale para polígonos irregulares tanto como regulares, y le da igual la convexidad — un contorno abollado tiene la misma suma de ángulos que uno ordenado con el mismo número de vértices. Es la comprobación más rápida sobre un levantamiento: suma los ángulos interiores medidos y mira si caen en el número que deben dar.

Preguntas frecuentes

¿Se cruzan todas las diagonales por dentro?

Solo en un polígono convexo. Abolla el contorno y algunas diagonales salen enteramente de la forma, pasan por la muesca y vuelven a entrar — siguen siendo diagonales en el sentido usado aquí, que cuenta pares de vértices no adyacentes sin importar por dónde vaya la línea. El conteo se mantiene por tanto en n(n−3)/2 sea cual sea la forma, mientras que el número de cruces interiores no: en un polígono convexo donde tres diagonales nunca se encuentran en un mismo punto, los cruces interiores valen el número de maneras de elegir cuatro vértices, pues cada cuarteto da exactamente un cruce.

¿Por qué un triángulo no tiene ninguna?

Porque cada vértice es adyacente a todos los demás, así que no queda ningún par no adyacente que unir. La fórmula lo confirma sin trato especial: 3 × 0 ÷ 2 vale cero, y el 4 × 1 ÷ 2 de un cuadrilátero da las dos diagonales que cualquiera sabe trazar. Que la expresión trate bien los casos más pequeños es una garantía modesta pero real sobre ella — una fórmula de conteo que necesitara una excepción en n = 3 señalaría una derivación equivocada en algún punto, más que una rareza de los triángulos.