Les diagonales d'un polygone sont un maillage complet moins le périmètre

Pourquoi les topologies en maillage complet s'arrêtent à de petits nombres

Le nombre croît comme le carré du nombre de nœuds : chaque machine ajoutée coûte plus que la précédente. Passer de dix nœuds à vingt fait grimper les liens de 45 à 190, et aller jusqu'à cent les porte à 4 950 — cent fois plus de liens pour dix fois plus de machines. Voilà pourquoi les maillages complets ne survivent qu'entre une poignée de routeurs de cœur ou dans une petite grappe, et pourquoi tout ce qui est plus grand passe par des concentrateurs, des colonnes vertébrales ou des courtiers. La même arithmétique explique qu'une réunion de douze personnes offre soixante-six conversations parallèles possibles, et que les coûts de coordination d'une équipe montent plus vite que ses effectifs.

Les deux autres sorties sont plus simples qu'elles n'en ont l'air

Tout polygone à n côtés se découpe en n−2 triangles en traçant les diagonales issues d'un même sommet, et comme chaque triangle porte 180 degrés, la somme des angles intérieurs vaut (n−2) × 180 : 720 pour un hexagone, 3 240 pour un icosagone. Le résultat vaut pour les polygones irréguliers autant que réguliers, et il se moque de la convexité — un contour cabossé a la même somme d'angles qu'un contour bien rangé au même nombre de sommets. C'est le contrôle le plus rapide sur un relevé de terrain : additionne les angles intérieurs mesurés et regarde s'ils tombent sur le nombre qu'ils doivent donner.

Questions fréquentes

Les diagonales se croisent-elles toutes à l'intérieur ?

Seulement dans un polygone convexe. Creuse le contour et certaines diagonales sortent entièrement de la forme, passent par l'encoche et rentrent — ce sont toujours des diagonales au sens employé ici, qui compte les paires de sommets non adjacents sans se soucier du trajet. Le dénombrement reste donc n(n−3)/2 quelle que soit la forme, alors que le nombre de croisements intérieurs, lui, change : dans un polygone convexe où trois diagonales ne se rencontrent jamais en un même point, les croisements intérieurs valent le nombre de façons de choisir quatre sommets, chaque quadruplet donnant exactement un croisement.

Pourquoi un triangle n'en a-t-il aucune ?

Parce que chaque sommet est adjacent à tous les autres : il ne reste aucune paire non adjacente à relier. La formule le confirme sans traitement particulier : 3 × 0 ÷ 2 vaut zéro, et le 4 × 1 ÷ 2 d'un quadrilatère donne les deux diagonales que chacun sait tracer. Que l'expression traite correctement les plus petits cas est une garantie modeste mais réelle à son sujet — une formule de dénombrement qui réclamerait une exception à n = 3 signalerait une dérivation fautive quelque part, plutôt qu'une bizarrerie des triangles.