Longueur de courroie entre deux poulies : la géométrie, et pourquoi le résultat n'est pas ce qu'on commande

Pourquoi ce n'est pas deux fois l'entraxe plus les deux circonférences

La somme naïve compte presque tout en double. Une courroie touche chaque poulie sur un arc puis repart en tangente ; elle ne fait jamais le tour complet d'aucune des deux. Sur la grande poulie, l'arc dépasse un peu la demi-circonférence ; sur la petite, il lui est un peu inférieur, et les deux écarts à la moitié se compensent presque parfaitement — d'où la présence, dans la réponse exacte, d'une seule circonférence moyenne, π(D1 + D2)/2, et non de deux entières. Additionne les deux circonférences complètes et tu as compté un tour entier de chaque poulie que la courroie ne fait jamais.

Les brins droits sont l'autre moitié de la surprise, et ils vont dans l'autre sens : ils sont plus courts que l'entraxe, pas plus longs. Chaque tangente est le côté d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'entraxe et l'autre côté la demi-différence des diamètres : elle mesure donc la racine de C² − ((D1 − D2)/2)². Avec des poulies de 200 et 100 mm distantes de 400 mm, chaque brin droit fait 396,86 mm et non 400 — 3,14 mm de moins, deux fois. Le terme correctif (D1 − D2)²/(4C) de la formule est ce qui rattrape cela et un peu plus, et c'est le seul endroit où la différence de taille entre les deux poulies apparaît. Sur l'exemple métrique il vaut 6,25 mm sur 1 277,49 — un demi pour cent. Sur deux poulies de même diamètre il est exactement nul, l'enroulement fait exactement 180° des deux côtés, et la courroie vaut simplement deux fois l'entraxe plus une circonférence.

La formule, la variante croisée, et jusqu'où l'approximation dérive

L'outil applique les formes fermées classiques. Ouvert : L = 2C + π(D1 + D2)/2 + (D1 − D2)²/(4C). Croisé : les deux mêmes premiers termes, mais la correction devient (D1 + D2)²/(4C), car une courroie croisée enroule les deux poulies sur plus de la moitié. Sur l'exemple métrique, l'ouvert donne 1 277,49 mm et le croisé 1 327,49 mm — 50 mm de plus pour le même matériel, bon à savoir avant de commander. L'outil affiche aussi les deux premiers termes seuls, en second résultat, sous l'intitulé « longueur hors terme de correction » : 1 271,24 mm. Ce chiffre n'est pas une courroie, c'est un diagnostic — il te dit quelle part de la réponse relève de la géométrie pure et quelle part vient de l'écart entre les poulies.

Les deux formes fermées sont des approximations, pas des identités. La réponse exacte réclame un arcsinus, car l'angle d'enroulement sur chaque poulie dépend de la géométrie : 180° plus deux fois l'arcsinus de la demi-différence divisée par l'entraxe sur la grande poulie, et 180° moins la même chose sur la petite. Lance le cas par défaut de l'outil et la dérive est invisible : 1 277,49 mm contre 1 277,50 exact, huit microns. Force le rapport et elle grandit : des poulies de 250 et 50 mm distantes de 160 mm n'enroulent la petite que sur 102,6°, et là la formule sort 2,33 mm trop court, soit 0,27 %. Les courroies croisées dérivent plus vite, leur terme correctif étant plus gros. Le biais va toujours dans le même sens — l'approximation sous-estime — et c'est le bon sens pour se tromper, puisqu'on préfère trouver la courroie légèrement tendue au milieu de son réglage que légèrement lâche en fin de course.

La longueur calculée est une entrée de catalogue, pas une commande

Personne ne fabrique une courroie au millimètre que tu as choisi. Les courroies sont moulées et vulcanisées sur des tambours dans une série de longueurs normalisées, marquées d'une lettre de section et d'un code de longueur, et stockées dans cette série — c'est précisément pourquoi la démarche utile va dans l'autre sens que celui auquel on s'attend. Tu calcules la longueur qu'appelle ta géométrie actuelle, tu la cherches au catalogue, tu la trouves entre deux tailles disponibles, et tu choisis alors autour de quelle taille disponible construire la transmission, en déplaçant le moteur en conséquence.

Le calcul de ce déplacement est plus simple qu'il n'y paraît, car la longueur est dominée par son premier terme. Dérive et tu obtiens dL/dC = 2 − (D1 − D2)²/(4C²), soit 1,984 sur l'exemple métrique — disons deux. Chaque millimètre de déplacement du moteur change le besoin de courroie d'un peu moins de deux millimètres, et le même rapport vaut en pouces. Donc si l'outil annonce 1 277,49 mm à 400 mm d'entraxe et que tu veux atterrir sur 1 250 mm, il faut perdre 27,49 mm de courroie, donc rapprocher les arbres de 13,86 mm : règle C à 386,14 mm. Réinjecte 386,14 dans l'outil et il rend 1 250,00 mm — la vérification qui vaut mieux que de faire confiance à la dérivée.

Deux contraintes pratiques encadrent ce choix. Le moteur doit conserver assez de course dans les deux sens : du mou pour enfiler la courroie neuve sans la faire passer de force par-dessus la joue, ce qui casse les câbles, et de la course de tension en réserve pour l'allongement qu'elle prendra dans ses premières heures de service. Et il y a un plancher d'angle d'enroulement. En dessous de 120° environ sur la petite poulie, une courroie trapézoïdale se met à patiner avant de transmettre sa puissance nominale, ce que le tableau ci-dessous traduit en entraxe minimal pour un couple de poulies donné. Deux raisons de concevoir vers le milieu de la plage de réglage plutôt que vers un chiffre.

Vitesse, rapport, et quelle poulie entraîne

Renseigne un régime menant et l'outil ajoute deux nombres qui décident si la transmission sert à quelque chose. Le régime mené vaut le régime menant multiplié par le rapport des diamètres : une poulie de 200 mm à 1 450 tr/min entraînant une poulie de 100 mm donne 2 900 tr/min — mais seulement si le sélecteur indique que c'est la poulie de 200 mm qui entraîne. Inverse-le et le même matériel affiche 725 tr/min, le rapport s'inversant. Ce sélecteur est facile à laisser tel quel par inadvertance, et le symptôme est un nombre parfaitement plausible, faux d'un facteur égal au carré du rapport si tu en tires ensuite un raisonnement sur le couple.

L'autre nombre est la vitesse linéaire de la courroie, égale à la circonférence de la poulie menante multipliée par son régime : 15,18 m/s sur l'exemple métrique. Elle compte parce que chaque section de courroie a une plage de vitesse dans laquelle elle se tient, et les deux bornes sont réelles. Trop lent, la courroie doit porter trop d'effort pour transmettre la même puissance : il lui faut une section plus grosse ou plusieurs brins. Trop rapide, la force centrifuge commence à soulever la courroie hors de la gorge, ce qui ampute justement l'adhérence dont elle vit, et la section chauffe. Note que cette sortie reste en mètres par seconde quel que soit le marché, faute de conversion impériale prévue pour cette unité dans le moteur d'affichage.

Ce que l'outil ne te dira pas

Il ne vérifie pas que le montage est physiquement possible. Demande-lui des poulies de 200 et 100 mm avec seulement 120 mm entre les arbres et il rend 732,07 mm sans commentaire, alors que la somme des deux rayons fait 150 mm et que les poulies occuperaient donc le même espace. Mets l'entraxe à zéro : une sortie part à l'infini pendant que l'autre affiche encore 471,24 mm bien finis, second terme qui se calcule tranquillement tout seul. Mets le diamètre mené à zéro : il te donnera encore une longueur de courroie et une vitesse, seul le champ du régime mené restant vide. Même famille de lacune à chaque fois : la formule est évaluée, le dessin ne l'est pas.

Le sélecteur d'unité mérite son propre avertissement, car il gouverne les trois longueurs à la fois. Tape 200, 100 et 400 en laissant l'unité sur pouces et tu obtiens une courroie de 32 448,2 mm — arithmétiquement parfaite, et décrivant une transmission de la taille d'un autobus. Aucun recoupement entre les diamètres et l'entraxe, et rien dans le résultat ne signale l'incohérence. La règle est simple : régler l'unité avant de saisir quoi que ce soit, et vérifier le résultat d'un coup d'œil contre deux fois l'entraxe — la courroie vaut toujours un peu plus que cela plus une circonférence moyenne, et jamais autre chose.

Questions fréquentes

Quel diamètre mesure-t-on sur une poulie trapézoïdale ?

Celui sur lequel la courroie roule réellement, qui n'est pas celui que le pied à coulisse atteint le plus facilement. Une courroie trapézoïdale s'enfonce dans sa gorge : sa ligne de contact se situe sous le diamètre extérieur de la poulie, d'une quantité qui dépend de la section de courroie et de l'usure de la gorge. Les catalogues l'appellent diamètre primitif ou effectif et le donnent pour chaque poulie ; utilise ce chiffre. Mesurer au bord des joues et saisir ce résultat surestime les deux arcs et donne une courroie trop longue de quelques pour cent — assez pour épuiser la course de réglage. Les courroies plates et crantées sont plus simples : une plate roule sur la surface extérieure, une crantée sur une ligne primitive juste au-dessus du fond des dents, là encore indiquée au catalogue.

À quelle tension faut-il régler la courroie ?

Assez tendue pour ne pas patiner, et pas davantage, car tout ce qui dépasse ce point part dans les roulements et non dans la charge. La méthode d'atelier est la flèche : on appuie au milieu du brin libre le plus long avec une force connue et on vérifie que la courroie s'enfonce d'une distance donnée, de l'ordre de 1/64 de la portée par unité de portée, la force et la flèche étant toutes deux lues dans la table du fabricant pour cette section. Si la règle est relative à la portée, c'est qu'un brin long est intrinsèquement plus mou à tension égale. Deux erreurs sont fréquentes et opposées : trop tendre parce que la transmission a couiné une fois, ce qui tue les roulements du moteur et de l'arbre des mois plus tard sans qu'on relie les deux ; et ne jamais recontrôler, alors qu'une courroie neuve fait l'essentiel de son rodage et de son allongement dans ses premières heures — la bonne routine est donc de tendre, faire tourner brièvement en charge, et retendre.

Pourquoi la courroie croisée est-elle plus longue que l'ouverte ?

Parce que croiser la courroie augmente l'enroulement sur les deux poulies à la fois, au lieu de l'échanger entre elles. Dans un montage ouvert, la courroie gagne de l'arc sur la grande poulie et en perd autant sur la petite, si bien que le total reste voisin d'une circonférence moyenne. Croise-la et elle doit traverser deux fois la ligne des centres, ce qui enroule chaque poulie sur plus de la moitié et rallonge les deux brins droits. D'où le passage du terme correctif de (D1 − D2)² à (D1 + D2)², bien plus gros : sur l'exemple métrique il fait passer la courroie de 1 277,49 mm à 1 327,49 mm, 50 mm de plus. Ce supplément d'enroulement explique aussi pourquoi les montages croisés adhèrent bien et pourquoi ils s'usent vite — la courroie frotte contre elle-même au croisement — d'où leur emploi pour inverser un arbre lent, pas pour transmettre de la puissance réelle.

L'outil donne deux longueurs. Laquelle faut-il utiliser ?

La première, toujours. La seconde porte l'intitulé « longueur hors terme de correction » et n'est que les deux premiers termes de la formule : deux fois l'entraxe plus une circonférence moyenne, soit 1 271,24 mm sur l'exemple métrique contre 1 277,49 mm au total. C'est la longueur qu'il faudrait si les deux poulies étaient enroulées sur exactement 180°, ce qui n'arrive que si elles sont de même taille. Son usage est diagnostique : l'écart entre les deux chiffres te dit d'un coup d'œil quelle part de la réponse vient de la différence de taille des poulies, et si cet écart devient grand devant le total, tu es dans la zone où la forme fermée commence à s'écarter du résultat exact en arcsinus. Sur deux poulies identiques, les deux sorties sont égales : c'est l'outil qui t'annonce un terme de correction nul.

Ne peut-on pas simplement mesurer l'ancienne courroie ?

Oui, et il faut d'abord lire le code moulé sur son dos, car c'est la réponse sans aucune mesure. Si le marquage est illisible, la mesure fonctionne, avec deux pièges. Une courroie usagée s'est allongée, parfois d'un pour cent ou plus : la mesurer donne une longueur qui n'a jamais été une taille de catalogue. Et une courroie trapézoïdale se mesure sur sa ligne primitive, ni à l'extérieur ni à l'intérieur : passer un mètre ruban autour de la face extérieure surestime, autour de la face intérieure sous-estime — l'astuce courante est d'enrouler une ficelle dans la gorge d'une poulie de dimension connue. Le calculateur contourne les deux en partant de la géométrie qui est encore sur la machine : deux poulies mesurables et un entraxe mesurable, dont rien ne s'est allongé.