Partager un loyer entre des chambres qui ne se valent pas

Trois tiers égaux : la méthode qui n'est juste que par hasard

Partons de l'appartement qui servira tout au long : 2 400 € par mois, trois chambres. La chambre A fait 18 m², sans particularité. La chambre B fait 12 m², sans particularité. La chambre C ne fait que 10 m², la plus petite du logement, mais elle dispose d'une salle d'eau privative — et c'est pourquoi cet exemple mérite d'être travaillé, puisque surface et désirabilité y pointent en sens contraires.

Le partage égal fait payer 800 € à chacun. Il a une vraie vertu : il ne demande aucune information ni aucune discussion, et c'est la bonne réponse dans un seul cas, celui où les chambres sont réellement interchangeables, comme dans certaines résidences étudiantes construites pour cela. Partout ailleurs, c'est un impôt sur celui qui hérite de la pire chambre, prélevé discrètement chaque mois pendant toute la durée du bail. Dans notre appartement, il tarifie identiquement 18 m² et 10 m², ce que personne ne défendrait à voix haute, et c'est pourquoi l'arrangement ne survit d'ordinaire que parce que personne n'en parle.

La surface, puis la surface pondérée : de meilleurs mètres, la même question sans réponse

Le partage à la surface est l'amélioration évidente, et il vaut réellement mieux que rien. Les trois chambres totalisent 40 m², donc la chambre A prend 18 ÷ 40 = 45 % du loyer, la chambre B 30 % et la chambre C 25 % : 1 080,00 €, 720,00 € et 600,00 €. L'arithmétique est transparente, vérifiable au mètre ruban, et elle supprime l'injustice la plus grossière du partage égal.

Il fait aussi payer le moins cher la plus petite chambre, dans un appartement où la plus petite est celle qui a une salle d'eau. Le correctif évident consiste à pondérer la surface par les équipements : donne à la chambre C un coefficient de 1,35 pour sa salle d'eau, et les unités pondérées deviennent 18, 12 et 13,5, soit 43,5 au total. La chambre A prend alors 18 ÷ 43,5 = 41,379 %, la chambre B 27,586 % et la chambre C 31,034 %, soit 993,10 €, 662,07 € et 744,83 €, dont la somme fait exactement le loyer.

C'est une vraie amélioration, et c'est encore le mauvais genre de réponse, parce que le coefficient est inventé. Pourquoi 1,35 et pas 1,2, ou 1,6 ? Une salle d'eau privative vaut énormément pour un colocataire qui part tôt et strictement rien pour celui qui se douche à la salle de sport. Dès que tu écris une pondération, tu affirmes une préférence au nom de tout le monde, et l'arithmétique qui suit ne fait qu'habiller ton affirmation de décimales. La section suivante montre ce que cela coûte dans cet appartement précis : même le partage pondéré laisse un colocataire préférer strictement la chambre d'un autre.

L'absence d'envie : la bonne définition de l'équité

Cesse de demander ce que vaut chaque chambre et pose une question plus tranchante : existe-t-il une affectation des chambres et un jeu de prix, totalisant le loyer, tels que personne ne préférerait la chambre d'un autre à son prix ? Un partage doté de cette propriété est dit sans envie, et c'est la bonne cible parce qu'elle est vérifiable. Tu n'as pas à souscrire aux valorisations d'autrui ; il te suffit de confirmer, pour toi-même, que tu préfères ton propre marché à chacun des autres sur la table.

Le rassurant, c'est qu'un tel partage existe. L'article de Francis Su publié en 1999 dans l'American Mathematical Monthly démontre l'harmonie locative à l'aide du lemme de Sperner, en s'appuyant sur le résultat d'existence antérieur d'Alkan, Demange et Gale paru dans Econometrica, et la version pratique de l'énoncé est facile à retenir : si les valorisations propres de chaque colocataire totalisent au moins le loyer, il existe une affectation des chambres et des prix totalisant le loyer sous lesquels personne n'envie personne, et personne ne paie sa chambre plus cher que ce qu'il a déclaré qu'elle valait. Tu ne cherches pas quelque chose qui pourrait ne pas exister.

Trois colocataires, trois chambres, calcul complet

Ana, Ben et Clara écrivent chacun ce que vaut pour eux chaque chambre, leurs trois nombres totalisant les 2 400 € de loyer. Ana travaille à domicile et échangerait de la surface contre la salle d'eau privative : A 750, B 600, C 1 050. Ben veut la plus grande chambre et rien d'autre ne compte : A 1 050, B 750, C 600. Clara veut de la lumière et de l'espace au sol, et se moque de la salle d'eau : A 900, B 900, C 600. Personne n'a à justifier ces chiffres : ce sont des préférences, et tout l'intérêt est que la procédure n'a pas besoin qu'elles s'accordent.

Examine maintenant les six façons de distribuer les chambres et totalise les offres à chaque fois. Ana en A, Ben en B, Clara en C donne 750 + 750 + 600 = 2 100. Ana en A, Ben en C, Clara en B donne 750 + 600 + 900 = 2 250. Ana en B, Ben en A, Clara en C donne 600 + 1 050 + 600 = 2 250. Ana en B, Ben en C, Clara en A donne 600 + 600 + 900 = 2 100. Ana en C, Ben en B, Clara en A donne 1 050 + 750 + 900 = 2 700. Et Ana en C, Ben en A, Clara en B donne 1 050 + 1 050 + 900 = 3 000, le gagnant net. Chacun obtient la chambre qu'il voulait le plus, coïncidence agréable dans cet exemple et qui n'est pas le but de la règle — la règle maximise le total, pas un individu.

Le total gagnant, 3 000, dépasse le loyer de 600. Cet excédent est le gain tiré de l'attribution des chambres à ceux qui les valorisent le plus ; il appartient au foyer et non à un seul de ses membres, on le partage donc en trois : 200 chacun. Le prix de chacun est alors sa propre offre moins sa part d'excédent. Ana paie 1 050 − 200 = 850 € pour la chambre C. Ben paie 1 050 − 200 = 850 € pour la chambre A. Clara paie 900 − 200 = 700 € pour la chambre B. Les trois prix totalisent 2 400 €, exactement le loyer, et ce n'est pas de la chance : cela découle du total gagnant de 3 000 dont on a restitué 600.

Vérifions maintenant l'absence d'envie, une personne à la fois. Ana valorise sa chambre C à 1 050 et paie 850 : son excédent est de 200 ; la chambre A lui donnerait 750 − 850 = −100 et la chambre B 600 − 700 = −100, toutes deux pires. Ben valorise la chambre A à 1 050 et paie 850, excédent 200 ; la chambre B lui donnerait 750 − 700 = 50 et la chambre C 600 − 850 = −250, toutes deux pires que 200. Clara valorise la chambre B à 900 et paie 700, excédent 200 ; la chambre A lui donnerait 900 − 850 = 50 et la chambre C 600 − 850 = −250. Neuf comparaisons, aucune envie, et les excédents sont égaux par construction, exactement 200 chacun. Une réserve mérite d'être dite : les prix à excédent égal sont le premier candidat naturel, mais ils ne sont pas sans envie dans tous les problèmes. Quand un test échoue, on ajuste les prix jusqu'à ce que toutes les inégalités tiennent ensemble — c'est un petit programme linéaire, et c'est ce que résolvent les implémentations publiques.

Là où le partage à la surface laisse vraiment quelqu'un jaloux

Faites passer les mêmes trois personnes et la même affectation par les prix à la surface — chambre A à 1 080,00 €, chambre B à 720,00 €, chambre C à 600,00 € — et la défaillance saute aux yeux. Ana en chambre C est ravie : elle la valorise 1 050 et paie 600, soit 450 d'excédent. Clara en chambre B la valorise 900 et paie 720, soit 180. Ben en chambre A la valorise 1 050 et paie 1 080 : son excédent est de moins 30. Il préférerait la chambre B de Clara à 720, qui vaut 750 pour lui et lui laisserait plus 30. Il préférerait même la chambre C d'Ana à 600, qu'il valorise exactement 600, ce qui le laisserait à zéro. Ben envie strictement les deux autres, et la mesure qui a produit ce résultat était parfaitement exacte.

Le partage pondéré ne sauve pas la situation non plus, et c'est le résultat le plus intéressant. À 993,10 €, 662,07 € et 744,83 €, Ana conserve 305,17 d'excédent et Clara 237,93, tandis que Ben a 1 050 − 993,10 = 56,90 dans sa propre chambre et obtiendrait 750 − 662,07 = 87,93 dans celle de Clara. Il l'envie encore de 87,93 €. Ajouter un coefficient a affiné les nombres sans les rendre justes, parce que la pondération exprimait l'avis de son auteur sur la valeur d'une salle d'eau, alors que les seuls avis qui comptent sont les trois de l'appartement.

Curieusement, le partage égal ne produit pas d'envie stricte dans cet appartement précis : à 800 € chacun, Ana conserve 250, Ben 250 et Clara 100, et Clara est exactement indifférente entre sa chambre à 800 et la chambre A d'Ana à 800. Mais regarde ces excédents : 250, 250, 100. Deux personnes retirent deux fois et demie l'avantage de la troisième, et Clara est à une unité de l'envie stricte. L'absence d'envie est un plancher, pas un plafond : un partage peut le franchir tout en répartissant le gain inégalement, et c'est pourquoi la méthode par offres égalise l'excédent en plus de supprimer l'envie.

Espaces communs, couples, et la règle qui évite vraiment la dispute

Les parties communes se règlent d'elles-mêmes, ce qui surprend. Comme chacun enchérit sur l'ensemble — une chambre plus la même cuisine, le même séjour et la même file d'attente à la salle de bains que les autres — les espaces communs s'annulent dans la comparaison, étant identiques pour tous les enchérisseurs. Ce qui ne s'annule pas, c'est l'usage exclusif : si l'occupant de la chambre A dispose du seul balcon, ou si celui de la chambre C garde un vélo dans l'entrée, cela doit figurer dans le descriptif avant toute enchère, sans quoi les offres ne portent pas sur les mêmes objets.

Le couple partageant une chambre est le cas le plus souvent mal traité, parce qu'on y mélange deux questions. Pour le loyer, un couple dans une chambre est un seul enchérisseur avec un seul budget : il occupe une chambre et propose un seul jeu de nombres. Pour tout ce qui varie avec le nombre de personnes, il en compte deux : eau, chauffage, électricité, produits d'entretien, file d'attente à la salle de bains. La convention praticable consiste à partager le loyer par chambre selon la méthode ci-dessus et la consommation par tête, et à l'écrire dès le départ, car le foyer qui découvre ce désaccord au septième mois a une conversation plus difficile que celui qui l'a réglé la première semaine.

Deux dispositions supplémentaires évitent des ennuis plus tard. Décide à l'avance ce qui se passe au départ de quelqu'un : soit l'arrivant reprend simplement la chambre du partant à son prix, ce qui est simple et un peu injuste pour un nouveau venu aux goûts différents, soit tout l'appartement est repartagé avec de nouvelles offres, ce qui est plus équitable et signifie que le loyer de chacun peut bouger. L'un ou l'autre convient ; ne pas décider, non. Et vérifie comment ton bail est réellement rédigé, car qui doit quoi au bailleur est une question juridique distincte de qui doit quoi à qui : un bail unique assorti d'une clause de solidarité peut rendre chaque colocataire redevable de la totalité du loyer quel que soit l'arrangement privé, alors lis le bail et, si l'enjeu le justifie, prends un avis local.

Questions fréquentes

Pourquoi mes offres doivent-elles totaliser le loyer entier ?

Parce que cette contrainte rend comparables les nombres de personnes différentes. Sans elle, un colocataire pourrait tout gonfler et un autre tout dégonfler, et les totaux mesureraient l'enthousiasme plutôt que la préférence. Exiger que les trois nombres de chacun totalisent le loyer transforme l'exercice en une répartition d'une même somme : ce qui porte l'information, c'est la forme de tes offres — de combien une chambre vaut plus qu'une autre à tes yeux — et non leur niveau. C'est aussi ce qui fonde la garantie : quand les valeurs de chacun totalisent au moins le loyer, il existe des prix sans envie où personne ne paie sa chambre plus cher qu'il ne l'a valorisée.

Que se passe-t-il si deux personnes enchérissent le plus haut sur la même chambre ?

Rien ne casse ; c'est précisément le cas pour lequel la procédure est faite. L'affectation est choisie pour maximiser la somme des offres sur l'ensemble des chambres, et non chambre par chambre : l'un des deux l'obtient et les prix s'ajustent pour que l'autre n'y trouve rien à redire. En pratique, celui qui obtient la chambre disputée la paie visiblement plus cher et l'autre est compensé par un prix plus bas sur la sienne, le test d'envie confirmant que la compensation suffit. Si le test échoue aux prix à excédent égal, on décale les prix jusqu'à ce que toutes les inégalités tiennent — le résultat d'existence garantit qu'une solution est là.

Peut-on manipuler la procédure en enchérissant stratégiquement ?

En principe oui, et en pratique les incitations sont assez désagréables pour décourager la manœuvre. Surévaluer une chambre augmente le prix que tu paies si tu l'obtiens ; sous-évaluer une chambre expose à recevoir une chambre non désirée à un prix calculé sur ta propre sous-évaluation. Deux garde-fous comptent plus que toute théorie. D'abord, les offres doivent être scellées et révélées simultanément, une révélation en séquence permettant au dernier de jouer contre des personnes plutôt que sur des chambres. Ensuite, chacun doit savoir avant d'enchérir comment les prix seront calculés, pour que personne n'ait à deviner le mécanisme en même temps que les chambres.

La méthode fonctionne-t-elle à quatre, cinq colocataires ou plus ?

Oui, et les mathématiques ne changent pas ; seule la recherche grossit. À trois, six affectations possibles ; à quatre, vingt-quatre ; à cinq, cent vingt, et à un moment les vérifier à la main cesse d'avoir un sens. L'étape que tu effectues est le problème d'affectation classique, que des algorithmes standard résolvent efficacement quelle que soit la taille du foyer, et l'étape de tarification reste un petit système d'inégalités. Des implémentations publiques existent — l'outil de partage de loyer de Spliddit et l'interactif bâti autour de la méthode de Su sont les plus connus — donc au-delà de quatre chambres, utilise un solveur plutôt qu'un tableur et un samedi après-midi.

Comment compter un couple partageant une chambre ?

Sépare les deux questions. Pour le loyer, c'est un seul enchérisseur avec un seul budget : le couple occupe une chambre, soumet un seul jeu de valeurs totalisant le loyer, et paie un seul prix. Pour tout ce qui varie avec le nombre d'habitants — eau, chauffage, électricité, produits d'entretien, et la pression réelle sur la salle de bains et la cuisine — il en compte deux, et un partage par tête de ces charges est le traitement honnête. Conviens-en avant toute installation et écris-le, car c'est l'un des deux ou trois désaccords qui ressortent immanquablement plus tard et qu'il est très difficile de régler une fois que quelqu'un s'estime lésé depuis des mois.

Un partage privé change-t-il ce que nous devons au bailleur ?

Non, et c'est ici que le partage équitable s'arrête et que le droit du bail commence. Qui doit quoi à qui à l'intérieur de l'appartement est un arrangement privé entre colocataires ; qui doit quoi au bailleur est déterminé par le bail. Un bail unique, surtout assorti d'une clause de solidarité, peut rendre chaque locataire redevable envers le bailleur de la totalité du loyer quel que soit le partage interne : un colocataire qui cesse de payer expose donc les autres pour l'intégralité. Des baux séparés par chambre fonctionnent encore autrement. Lis le document lui-même et, si l'enjeu le justifie, prends conseil dans le pays où tu loues plutôt que de te fier à une description générale.