Frequenza di capitalizzazione: da dove viene la capitalizzazione continua

Calcola la successione e l'intero argomento crolla

Un tasso nominale annuo r accreditato n volte l'anno accredita r/n ogni volta, e ogni accredito matura interessi fino a fine anno. Un anno così vale (1 + r/n)^n. Poni r = 0,06 e fai salire n su 10 000 €: annuale dà 10 600,00 €, semestrale 10 609,00 €, trimestrale 10 613,64 €, mensile 10 616,78 €, giornaliera 10 618,31 €, oraria 10 618,36 €, al secondo 10 618,37 €. La successione cresce strettamente e tuttavia si arresta a vista d'occhio. Da giornaliera a al secondo — 86 400 volte più eventi di capitalizzazione — si guadagnano sei centesimi.

Si arresta perché ogni divisione in più fa due cose opposte. Dimezzare l'accredito fa iniziare prima gli interessi sugli interessi, il che aiuta — ma ogni metà è anche metà grande, e alla seconda resta solo mezzo anno per capitalizzare, il che annulla quasi tutto il guadagno. L'effetto netto si riduce come 1/n. Il tetto è e^r: 1,0618365465 per r = 0,06, cioè 10 618,37 €. Nessun calendario di capitalizzazione, per fine che sia, lo supera. È tutto qui il contenuto della capitalizzazione continua, ed è per questo che l'espressione intimidisce assai più di quanto l'aritmetica meriti.

Perché il tetto è proprio e

La costante e è definita come il limite di (1 + 1/k)^k quando k cresce senza limite: 2 per k = 1, 2,5937 per k = 10, 2,7048 per k = 100, 2,71815 per k = 10 000, convergendo a 2,718281828… Riscrivi la nostra successione con k = n/r, così che r/n = 1/k e n = k·r. Allora (1 + r/n)^n diventa ((1 + 1/k)^k)^r, e quando n cresce k cresce con lui: la parentesi tende a e e il tutto tende a e^r. È questa l'intera derivazione. La capitalizzazione continua non è un altro tipo di interesse; è lo stesso interesse dopo la sostituzione.

Ne seguono subito due formule che vale la pena memorizzare al posto di tutto il resto. Far crescere un importo P per t anni a un tasso capitalizzato in continuo r dà P·e^(r·t). Attualizzare all'indietro — l'operazione dietro ogni calcolo di valore attuale, compresi quelli del nostro articolo gemello su valore attuale e valore futuro — dà P·e^(−r·t). Sono inverse esatte, si compongono in modo pulito su qualsiasi orizzonte e, a differenza di (1 + i)^n, non ti costringono a decidere che cosa sia un periodo.

Un tasso nominale non è un tasso che incassi davvero

Il numero pubblicizzato su un conto di risparmio o su una carta è quasi sempre nominale: un'etichetta annualizzata di un tasso periodale, ottenuta moltiplicando e non capitalizzando. Sei per cento nominale capitalizzato mensilmente significa 0,5 per cento al mese, e dodici mesi allo 0,5 per cento fanno il 6,1678 per cento, non il 6. Il tasso effettivo annuo vale TAE = (1 + r/n)^n − 1; al contrario, il tasso nominale che produce un TAE desiderato vale r = n·((1 + TAE)^(1/n) − 1). Nulla in questa coppia di formule è facoltativo: il tasso nominale esiste solo come convenzione di esposizione, il tasso effettivo è il denaro.

È esattamente qui che il TAEG e il rendimento effettivo divergono, e perché i due stanno ai lati opposti dello stesso prodotto. Su un deposito la cifra di rendimento è capitalizzata: è la più grande e quella che le banche amano mostrare. Sul credito in evidenza c'è di norma il tasso nominale, così il 24 per cento nominale addebitato mensilmente fa il 26,82 per cento effettivo e addebitato giornalmente il 27,11 per cento — il titolare della carta paga circa tre punti più di quanto l'annuncio suggerisca. Aggiungi la seconda complicazione e lo scarto si allarga: un TAEG ai sensi della normativa europea sul credito al consumo incorpora le spese obbligatorie e può quindi superare il tasso di interesse effettivo ancor prima di considerare la capitalizzazione. Confronta i depositi sul rendimento effettivo, i crediti sulla cifra tutto compreso che definisce la tua autorità, e non confrontare mai l'uno con l'altro.

Quando la distinzione vale denaro e quando no

È la parte che quasi tutte le spiegazioni saltano, ed è l'unica che dice al lettore se debba interessarsene. Su 10 000 € per un anno al 6 per cento, la capitalizzazione mensile rende 10 616,78 € e quella continua 10 618,37 €: una differenza di 1,59 €, cioè lo 0,016 per cento del capitale. Nessuno dovrebbe cambiare una decisione per questo. Al 24 per cento — un tasso di carta plausibile — lo stesso scarto annuo vale 30,07 € su 10 000 €, diciannove volte di più in euro ma sempre lo 0,24 per cento del saldo. Non è la distinzione a rendere cara una carta; è il 24 per cento.

È il tempo a trasformare l'errore di arrotondamento in un numero vero. Tieni il 6 per cento per dieci anni e lo scarto mensile-continuo su 10 000 € sale a 27,22 €; tienilo trenta e arriva a 270,72 €, sempre lo 0,45 per cento. Tieni invece il 24 per cento per trent'anni e la mensile dà 12 475 611 € contro 13 394 308 € in continua — uno scarto di 918 696 €, cioè il 7,4 per cento del saldo. È questa la regola onesta: la questione della frequenza è un dettaglio di arrotondamento sui prodotti al consumo a tassi ordinari, e diventa un importo vero solo dove il tasso è alto e l'orizzonte lungo, il che in pratica significa modelli e non conti.

Dove la capitalizzazione continua serve davvero

La valutazione delle opzioni è il caso più netto. Il quadro di Black-Scholes attualizza con e^(−r·T) e modella il prezzo dell'attività come esponenziale di un processo con deriva capitalizzata in continuo, perché la matematica di una diffusione non contiene alcun periodo naturale — non c'è mese, solo istante. I desk obbligazionari e di swap quotano allo stesso modo in capitalizzazione continua quando vogliono un tasso che si sommi da una scadenza all'altra senza che una convenzione di conteggio dei giorni si metta di mezzo. In nessuno di questi casi qualcuno sostiene che una banca accrediti interessi a ogni istante; il tasso continuo è un cambio di coordinate che rende docile l'algebra.

I rendimenti logaritmici si sommano, le percentuali no

Prendi 10 000 €, guadagna il 50 per cento, poi perdi il 50 per cento. Le percentuali fanno media zero; il denaro no. 10 000 € diventano 15 000 €, poi 7 500 € — un rendimento totale del −25 per cento e una media per periodo del −13,40 per cento, non 0. I rendimenti percentuali si compongono per moltiplicazione, e alla moltiplicazione non importa quale sia la media dei fattori. Questa sola asimmetria sta dietro alla maggior parte delle letture sbagliate di uno storico, e dietro a ogni affermazione che un fondo sia «in pari» dopo un'andata e ritorno violenta.

I rendimenti logaritmici lo correggono esattamente. Definisci il rendimento logaritmico di un periodo come ln(fine ÷ inizio). Qui ln(1,5) = 0,405465 e ln(0,5) = −0,693147; la loro somma vale −0,287682, ed e^(−0,287682) = 0,750000, il vero fattore cumulato. I rendimenti logaritmici si sommano nel tempo perché il logaritmo trasforma prodotti in somme — la stessa proprietà che rende il tasso capitalizzato in continuo l'unità naturale di un modello multiperiodale. Il prezzo di quella comodità: i log non si sommano tra le attività di un portafoglio, dove i rendimenti semplici lo fanno. Usa i log sull'asse del tempo e i rendimenti semplici sull'asse delle posizioni, mai il contrario.

Domande frequenti

La capitalizzazione continua esiste davvero in banca?

No. Gli interessi si accreditano in date discrete — giorno, mese, trimestre — perché un conto è un libro contabile e un libro ha scritture. La capitalizzazione continua è il limite a cui quei calendari tendono, usata perché rende le formule più pulite, non perché qualcuno registri una scrittura ogni istante. Il suo valore pratico è togliere il periodo dall'algebra: e^(r·t) funziona per ogni t, quindi un tasso quotato in continuo si sposta tra orizzonti senza convenzioni di capitalizzazione da discutere. Trattala come unità di modellazione e convertila in tasso effettivo annuo appena vuoi confrontarla con un prodotto.

Perché il rendimento del mio conto di risparmio supera il tasso pubblicizzato?

Perché le due cifre rispondono a domande diverse. Il tasso pubblicizzato è di norma nominale — il tasso periodale moltiplicato fino a coprire l'anno — mentre il rendimento capitalizza gli interessi effettivamente accreditati. Al 6 per cento nominale accreditato mensilmente, il rendimento vale (1,005)^12 − 1 = 6,17 per cento; accreditato giornalmente, 6,18 per cento. Lo scarto si allarga col tasso, ed è per questo che è invisibile su un deposito a tasso basso e vistoso su una carta di credito. Per confrontare due conti, pretendi la cifra capitalizzata per entrambi e verifica la frequenza di capitalizzazione scritta nelle condizioni invece di darla per scontata.

Capitalizzare più spesso mi aiuta o mi penalizza?

Dipende interamente da quale lato del bilancio ti trovi. Sul denaro che ti è dovuto — un deposito, un'obbligazione, un investimento — capitalizzare più spesso è strettamente meglio, perché gli interessi iniziano prima a produrre interessi. Sul denaro che devi è strettamente peggio per la stessa ragione: una carta che capitalizza giornalmente costa più di una allo stesso tasso nominale che capitalizza mensilmente. La direzione non cambia mai; cambia solo l'ampiezza, e come mostra l'articolo è piccola ai tassi ordinari. Se due offerte dichiarano lo stesso tasso nominale ma frequenze diverse, convertile entrambe in tasso effettivo annuo prima di scegliere.

Come converto un tasso continuo in un tasso annuo ordinario?

Un'esponenziale per verso. Un tasso capitalizzato in continuo r corrisponde a un tasso effettivo annuo di e^r − 1: con r = 0,06 fa il 6,1837 per cento. All'indietro, il tasso continuo equivalente a un tasso effettivo annuo vale ln(1 + TAE): un 6 per cento effettivo è un 5,8269 per cento continuo. Nota il verso di ogni conversione — a parità di denaro il tasso continuo è sempre il minore dei due, perché capitalizza più spesso e ha quindi bisogno della cifra dichiarata più bassa per arrivare allo stesso punto. Confonderli è l'errore più frequente in un foglio di calcolo che contiene entrambe le convenzioni.

Perché gli analisti usano rendimenti logaritmici invece delle percentuali?

Perché si sommano, e sommare è ciò di cui la statistica ha bisogno. Sommare una colonna di rendimenti logaritmici dà esattamente il rendimento logaritmico cumulato, così media, deviazione standard e riscalatura temporale si comportano bene. I rendimenti percentuali si compongono in modo moltiplicativo, quindi la loro media aritmetica sovrastima quel che è successo — l'esempio +50 poi −50 fa media zero mentre il denaro è sceso del 25 per cento. I rendimenti logaritmici sono anche simmetrici: un raddoppio è +0,693 e un dimezzamento −0,693, mentre la coppia percentuale è +100 e −50. L'unica cosa che non sanno fare è aggregare un portafoglio in un dato istante, dove i rendimenti semplici sono lo strumento corretto.