Il moto del proiettile spiegato: gittata, altezza, tempo di volo — e perché 45° non è sempre il massimo

Due moti indipendenti tenuti insieme da un solo orologio

Scomponi la velocità iniziale: orizzontalmente v₀ cos θ, verticalmente v₀ sin θ. Nulla spinge di lato il proiettile una volta in aria, quindi la componente orizzontale non cambia e la distanza orizzontale è semplicemente velocità per tempo. In verticale è un problema di caduta libera con partenza verso l'alto. I due assi non si parlano se non attraverso il tempo comune, e quel solo fatto genera tutte e tre le formule. Il tempo di volo viene dal ritorno a zero dell'asse verticale: T = 2v₀ sinθ/g. Immetti quel tempo nell'asse orizzontale e ottieni la gittata, v₀ cos θ × T, che la trigonometria comprime in v₀² sin(2θ)/g.

L'indipendenza dei due assi ha una conseguenza controintuitiva: una palla sparata in orizzontale e una palla semplicemente lasciata cadere dalla stessa quota toccano terra nello stesso istante. La velocità orizzontale compra distanza, mai tempo di volo. Spiega anche perché la sola componente verticale fissa il punto più alto e la durata, mentre la sola componente orizzontale converte quella durata in distanza. Quando un problema mescola le due — sostituendo 20 m/s dove spetta solo la componente verticale di 10,0 m/s di un lancio a 30° — tutti i numeri successivi sono sbagliati dello stesso fattore trigonometrico.

Perché 45° massimizza la gittata e perché gli angoli complementari pareggiano

La formula della gittata contiene l'angolo solo attraverso sin(2θ), e un seno raggiunge il valore massimo 1 quando il suo argomento vale 90 gradi, cioè per θ = 45°. Lì la gittata si riduce a v₀²/g, che a 20 m/s fa 40,79 m. La stessa espressione spiega i pareggi: sin(2θ) assume lo stesso valore in θ e in 90° − θ, perché 2(90° − θ) = 180° − 2θ e il seno di un angolo è uguale a quello del suo supplemento. Così 30° e 60° atterrano entrambi a 35,32 m, e 15° e 75° entrambi a 20,39 m, a parità di velocità di lancio.

Gittata uguale non significa traiettoria uguale, e scegliere fra due angoli in parità è una decisione vera. Il tiro a 60° sale a 15,30 m e resta 3,53 s in aria; quello a 30° culmina a 5,10 m e ricade in 2,04 s. Chi rilancia verso una base vuole l'opzione tesa, perché il tempo in aria è tempo per il corridore; un pezzo d'artiglieria che tira oltre un crinale vuole quella ripida. Vale anche sapere quanto sia piatto il massimo: 40° e 50° danno entrambi 40,17 m, appena l'1,5 per cento sotto il miglior valore possibile di 40,79 m, quindi un paio di gradi d'errore di mira non costano quasi nulla.

L'ipotesi che quasi ogni esempio reale viola

R = v₀² sin(2θ)/g si ricava chiedendo quando il proiettile torna alla quota di partenza. Quasi nulla lo fa. Una palla lascia la mano all'altezza della spalla e cade sull'erba; un peso è lanciato da sopra il suolo; un sasso è gettato da una scogliera. Con una quota di lancio h il tempo di volo diventa t = (v₀ sinθ + √(v₀² sin²θ + 2gh))/g e la gittata è v₀ cos θ × t. Per 20 m/s a 45° rilasciati da 2,00 m fanno 42,70 m invece di 40,79 m — il 4,7 per cento in più, e la formula del terreno piano sottostima ogni volta.

Anche l'angolo ottimale si sposta. Lanciando da una quota, il miglior angolo soddisfa sin²θ = v₀²/(2v₀² + 2gh), che in questo esempio dà 43,66° e una gittata di 42,74 m. Il guadagno rispetto al mantenere 45° è di quattro centimetri, quindi in pratica la quota conta assai più della riottimizzazione dell'angolo. La resistenza dell'aria è l'altra omissione, e la più pesante per tutto ciò che è leggero o veloce: una palla realmente lanciata perde gittata e il suo angolo migliore scende ben sotto i 45°, ragione per cui le formule qui riportate sono presentate come l'idealizzazione senza attrito e non come la descrizione di un lancio reale.

Domande frequenti

45 gradi sono sempre il miglior angolo di lancio?

Solo quando lancio e arrivo sono alla stessa quota e si ignora la resistenza dell'aria. Alza il punto di lancio e l'ottimo scende sotto i 45°: da 2,00 m a 20 m/s il miglior angolo è 43,66°. Aggiungi la resistenza dell'aria e scende ancora, perché una traiettoria più tesa passa meno tempo a essere frenata. Mira sotto il punto di partenza e l'ottimo sale invece sopra i 45°. Il risultato dei 45° è la conseguenza pulita di un'ipotesi pulita, non una regola universale.

Un proiettile più pesante arriva meno lontano?

Nelle formule idealizzate no: la massa non compare né in R, né in H, né in T, quindi due oggetti lanciati alla stessa velocità e angolo seguono traiettorie identiche a prescindere dal peso. Nella realtà l'attrito rompe il pareggio, e lo rompe a favore del più pesante: la forza frenante dipende da dimensione e forma, mentre l'inerzia che vi si oppone dipende dalla massa, perciò un corpo denso di uguale forma viene rallentato meno. Ecco perché una biglia d'acciaio va più lontano di una di plastica dello stesso diametro lanciata allo stesso modo, benché le formule senza attrito le diano in parità.

Qual è la velocità nel punto più alto della traiettoria?

Non zero — è la svista classica. Al vertice si è annullata solo la componente verticale; quella orizzontale v₀ cos θ è intatta, perché in orizzontale non ha agito nulla. Un lancio di 20 m/s a 30° viaggia ancora a 20 × cos 30° = 17,32 m/s al culmine, e a 60° fa ancora 10,0 m/s. Nemmeno l'accelerazione al vertice è nulla: sono i 9,80665 m/s² pieni diretti verso il basso, ed è proprio per questo che la velocità verticale non resta a zero.