Come funziona l'effetto Doppler: la formula, la convenzione dei segni e perché muovere la sorgente non è lo stesso che muovere l'ascoltatore

Una formula, una convenzione dei segni, enunciata prima di ogni numero

Scrivi l'effetto Doppler acustico una volta sola, come f' = f(v + v_o)/(v − v_s). Qui f è la frequenza emessa dalla sorgente, f' quella udita dall'osservatore e v la velocità del suono nel mezzo — 343 m/s in aria a 20 °C. I due simboli restanti sono velocità con segno misurate rispetto al mezzo, non l'una rispetto all'altra: v_o è la componente di velocità dell'osservatore verso la sorgente, positiva in avvicinamento e negativa in allontanamento; v_s è quella della sorgente verso l'osservatore, di nuovo positiva in avvicinamento. Inserire un v_s positivo riduce il denominatore e alza l'altezza: è il controllo fisico da fare prima di fidarsi di qualunque risultato.

Fai il conto su un la di diapason, f = 440 Hz. Una sorgente in avvicinamento a 30 m/s dà f' = 440 × (343 + 0)/(343 − 30) = 440 × 343/313 = 482,17 Hz. La stessa sorgente in allontanamento corrisponde a v_s = −30, quindi f' = 440 × 343/373 = 404,61 Hz. Nel passaggio l'altezza cala di 77,56 Hz, un rapporto di frequenze di 1,1917, che sulla scala musicale sono 304 cent — quasi esattamente tre semitoni. È l'intervallo che si sente davvero quando un'auto passa a 108 km/h, e conviene memorizzarlo come controllo di plausibilità: se un calcolatore ti restituisce mezzo semitono o un'ottava per un veicolo stradale, qualcosa non torna nelle unità.

Muovere la sorgente e muovere l'ascoltatore danno numeri diversi

L'unica formula combinata nasconde un'asimmetria reale. Quando si muove la sorgente, insegue le proprie onde e accorcia davvero la lunghezza d'onda nell'aria: una sorgente da 440 Hz ha λ = 343/440 = 0,7795 m da ferma, e avvicinandosi a 30 m/s emette λ' = (343 − 30)/440 = 0,7114 m. L'ascoltatore fermo incontra quelle onde più corte ai soliti 343 m/s e sente 343/0,7114 = 482,17 Hz. Quando invece si muove l'ascoltatore, la lunghezza d'onda nell'aria resta 0,7795 m; l'ascoltatore semplicemente incontra le creste a una velocità di avvicinamento di 343 + 30 = 373 m/s e sente 373/0,7795 = 478,48 Hz. Due meccanismi diversi, due numeri diversi, con gli stessi 30 m/s.

Lo scarto cresce con la velocità. A 10 m/s vale 0,39 Hz, appena udibile; a 30 m/s 3,69 Hz; a 50 m/s 10,95 Hz, cioè 515,09 contro 504,14, ovvero 37 cent — circa un terzo di semitono, nettamente udibile per un orecchio allenato. Una sottigliezza da enunciare con cura, perché è facile esagerare: il rapporto tra l'altezza in avvicinamento e quella in allontanamento è lo stesso nei due casi, (v + velocità)/(v − velocità), quindi un passaggio copre lo stesso intervallo musicale chiunque sia a muoversi. Ciò che cambia è dove quell'intervallo si colloca rispetto alla nota emessa. Dichiara quale dei due è in moto, altrimenti la risposta è solo approssimativamente giusta.

Dove la formula del suono si ferma: Mach 1, il meteo e la luce

Spingi v_s verso v e il denominatore crolla. Una sorgente da 440 Hz in avvicinamento a 300 m/s si sente a 3 510 Hz; a 340 m/s a 50 307 Hz; a esattamente 343 m/s l'espressione divide per zero. Fisicamente la sorgente sta ora al passo dei propri fronti d'onda, questi si accumulano in un unico urto, e l'immagine Doppler continua non descrive più nulla. Oltre quella velocità la formula restituisce frequenze negative: è il modo in cui l'algebra avvisa di aver lasciato il proprio dominio. Una seconda dipendenza, più discreta, è il mezzo stesso: v = 331,3 × √(1 + T/273,15) per aria secca, quindi la velocità del suono è 325,18 m/s a −10 °C e 351,89 m/s a 35 °C. La stessa avvicinata a 30 m/s dà allora 484,72 Hz in una giornata fredda e 481,01 Hz in una calda. Conta anche un vento costante, poiché v_o e v_s sono definite rispetto all'aria, non rispetto al suolo.

La luce è un problema diverso, non la stessa formula con un v più grande. Il suono ha bisogno di un mezzo, ed è ciò che permette di distinguere il caso della sorgente da quello dell'osservatore; la luce non ne ha, quindi esiste solo la velocità relativa tra sorgente e osservatore e i due casi devono dare risposte identiche. La formula Doppler relativistica longitudinale fa esattamente questo: f' = f√((1 + β)/(1 − β)) in avvicinamento, con β = v/c, e la reciproca in allontanamento. A β = 0,1 il fattore esatto è 1,105542, mentre le scorciatoie ricalcate sul suono danno 1/(1 − β) = 1,111111 per una sorgente in moto e 1 + β = 1,100000 per un osservatore in moto. Nessuna delle due è giusta, e per giunta si contraddicono: il segnale più chiaro possibile che l'equazione acustica non si trasferisce. A β = 0,5 una sorgente in avvicinamento è spostata verso il blu di un fattore 1,732 e una in allontanamento verso il rosso fino a 0,577.

Domande frequenti

Perché la sirena scende di tono quando l'ambulanza passa?

Perché il segno di v_s si inverte nell'istante del passaggio. In avvicinamento l'ambulanza insegue il proprio suono e la lunghezza d'onda che ti raggiunge è compressa, quindi l'altezza sale; una volta passata, fugge dal suono che emette, la lunghezza d'onda si allunga e l'altezza scende. Una sirena da 700 Hz su un veicolo a 25 m/s si sente a 755,0 Hz in avvicinamento e a 652,4 Hz dopo, un calo di 102,6 Hz. La sirena in sé non cambia mai; nulla del suono che lascia il veicolo è diverso prima e dopo. Il calo non è nemmeno graduale: è più rapido nel punto di passaggio più vicino, perché è lì che la componente della velocità lungo la linea verso il tuo orecchio passa da positiva a negativa.

Quale velocità del suono devo mettere nella formula?

La velocità nel mezzo che l'onda attraversa davvero, alla sua temperatura reale. Per aria secca, v = 331,3 × √(1 + T/273,15) m/s, che dà 331,3 m/s a 0 °C, 343,2 m/s a 20 °C e 351,9 m/s a 35 °C — i 343 m/s dei manuali sono un valore a temperatura ambiente, non una costante. L'effetto sul risultato è modesto ma reale: una sorgente da 440 Hz in avvicinamento a 30 m/s si sente a 484,72 Hz a −10 °C e a 481,01 Hz a 35 °C. Pressione e quota contano poco per l'aria, ma il mezzo sì: il suono viaggia vicino a 1 480 m/s in acqua, quindi uno spostamento Doppler subacqueo alla stessa velocità della sorgente è circa 4,6 volte minore.

Posso usare la stessa formula Doppler per la luce?

No. La formula acustica distingue una sorgente in moto da un osservatore in moto perché il suono si propaga in un mezzo che definisce un sistema di riposo; la luce non ha un mezzo, quindi solo la velocità relativa ha senso fisico e i due casi devono coincidere. L'espressione longitudinale corretta è f' = f√((1 + β)/(1 − β)) in avvicinamento e f√((1 − β)/(1 + β)) in allontanamento, con β = v/c. A β = 0,1 questo dà un fattore di 1,105542, mentre le scorciatoie acustiche danno 1,111111 e 1,100000 a seconda del corpo che si immagina in moto — diversi tra loro ed entrambi sbagliati. Alle velocità quotidiane i tre coincidono a poche parti per milione, ed è per questo che gli autovelox possono usare la forma semplice; a una frazione apprezzabile di c, non più.