La legge di Hooke spiegata: F = kx, costanti elastiche reali e dove smette di valere

F = kx: quale forza, quale segno, quali unità

In F = kx, x non è la lunghezza della molla. È lo spostamento rispetto alla sua lunghezza naturale, a vuoto, e misurare dal banco o dalla cima della spira è l'errore di montaggio più frequente dell'intero argomento. La costante k si misura in newton al metro: una molla con k = 200 N/m richiede 200 N per allungarsi di un metro intero, o 2,00 N per allungarsi di 1,00 cm. Appendici una massa di 1,00 kg e la forza applicata è il suo peso, mg = 1,00 × 9,80665 = 9,80665 N con l'accelerazione normale di gravità del NIST, così la molla si ferma a x = 9,80665 / 200 = 0,0490 m, poco meno di 5 cm.

Troverai la legge scritta sia F = kx sia F = −kx, ed entrambe sono corrette perché nominano forze diverse. F = kx è la forza che applichi per tenere la molla all'allungamento x; F = −kx è la forza di richiamo che la molla esercita in risposta, e il segno meno dice soltanto che punta verso la posizione di riposo. L'energia immagazzinata si ottiene sommando quella forza lungo il percorso: U = ½kx². Il fattore un mezzo conta, e il quadrato pure. Sulla stessa molla da 200 N/m, x = 0,05 m accumula 0,25 J, x = 0,10 m accumula 1,00 J, x = 0,20 m accumula 4,00 J e x = 0,30 m accumula 9,00 J. La forza cresce in proporzione all'allungamento; l'energia cresce con il suo quadrato, ed è per questo che tendere un arco il doppio quadruplica all'incirca l'energia che può restituire.

Di che cosa è fatta una costante elastica, e come si combinano le molle

k non è una proprietà del materiale; è la proprietà di un oggetto preciso. Per una barra dritta tirata per il lungo, k = EA/L. Un'asta d'acciaio di 1,00 m e 1 mm² di sezione, con modulo di Young vicino a 200 GPa, ha k = 200 × 10⁹ × 1 × 10⁻⁶ / 1,00 = 2,00 × 10⁵ N/m, quindi una massa di 1,00 kg la allunga di 0,049 mm. Tagliala a 0,50 m e k raddoppia a 4,00 × 10⁵ N/m: stesso acciaio, doppia rigidezza. Una molla elicoidale segue k = Gd⁴/(8D³n), con d il diametro del filo, D il diametro medio della spira e n il numero di spire attive. Filo d'acciaio da 1,0 mm avvolto in spire da 10 mm, 20 giri, modulo di taglio 79,3 GPa, dà k = 496 N/m. Porta il filo a 2,0 mm e k diventa 7 930 N/m — esattamente sedici volte, perché d entra alla quarta potenza.

Due molle unite una dopo l'altra, in serie, sono più cedevoli di ciascuna presa da sola, perché ognuna aggiunge il proprio allungamento: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. Unisci 100 N/m a 300 N/m e la coppia si comporta come 75 N/m. Verificalo con un carico di 1,00 kg: gli stessi 9,80665 N attraversano entrambe, quindi la prima si allunga di 9,80665/100 = 9,81 cm e la seconda di 9,80665/300 = 3,27 cm, in tutto 13,08 cm — esattamente 9,80665/75. Affiancate, in parallelo, si dividono il carico e le costanti si sommano: k = k₁ + k₂ = 400 N/m, la coppia si allunga di 9,80665/400 = 2,45 cm, e le due molle sopportano 2,452 N e 7,355 N, che tornano a fare 9,80665 N. Due molle identiche da 100 N/m danno 50 N/m in serie e 200 N/m in parallelo: è il controllo più rapido su quale regola hai appena usato.

Dove la legge di Hooke smette di essere vera

La legge di Hooke è un'approssimazione al primo ordine di una curva, non una legge di natura. Riporta la forza in funzione dell'allungamento per una molla reale: il tracciato è dritto solo su un intervallo limitato. Il punto in cui comincia a piegare è il limite di proporzionalità; poco oltre sta il limite elastico, il massimo allungamento dal quale la molla torna ancora esattamente alla lunghezza iniziale. Superato quello il materiale snerva e resta deformato in modo permanente: togli il carico e la molla è più lunga di prima. In F = kx non c'è alcun avviso, ed è per questo che i costruttori pubblicano una freccia massima di lavoro accanto al valore di k, e per questo un esperimento che continua ad aggiungere masse finisce per dare punti che si scostano dalla retta interpolata.

Le molle di compressione hanno un secondo limite, più netto, all'altro estremo: appena le spire si toccano, la molla è a pacco e la sua rigidezza diventa quella di un corto cilindro d'acciaio, enorme e senza rapporto con k. L'abitudine utile è considerare k valida entro un intervallo dichiarato di x, e dichiarare quell'intervallo. La stessa prudenza vale quando la legge di Hooke fa le veci della rigidezza dei materiali in generale. La relazione lineare sforzo-deformazione dietro k = EA/L descrive bene metalli e ceramiche a piccole deformazioni, ma gomma, polimeri e tessuti biologici si allontanano dalla retta quasi subito, perciò adattare loro un unico k è una scelta di modellazione da dichiarare, non una misura da citare.

Domande frequenti

La legge di Hooke è F = kx o F = −kx?

Entrambe, per forze diverse. F = kx dà il modulo della forza che applichi per tenere la molla allo spostamento x, ed è ciò che di solito chiedono un calcolatore o una relazione di laboratorio. F = −kx dà la forza di richiamo che la molla esercita su ciò che vi è attaccato, e il segno meno registra che punta verso la posizione di riposo: è quella che si sostituisce nella seconda legge di Newton per ricavare il moto armonico semplice. Se la domanda chiede quanto devi tirare, lascia perdere il segno; se chiede la forza sulla massa, tienilo.

Quali sono le unità della costante elastica?

Newton al metro, N/m, che in unità SI di base è kg/s². Poiché F = kx, k = F/x: una forza in newton divisa per una lunghezza in metri. Due conversioni fanno inciampare: 1 N/mm = 1 000 N/m, la forma usata dai cataloghi di automobili e macchine, e 1 kgf/cm ≈ 980,665 N/m, ancora presente su schede tecniche datate. Se inserisci una costante espressa in N/mm in una formula che attende N/m, tutte le forze escono mille volte più piccole: controlla l'unità sulla scheda prima del calcolo, non dopo.

La legge di Hooke vale per gli elastici?

Solo su un allungamento iniziale molto breve, e già lì in modo grossolano. La curva forza-allungamento di un elastico ha forma a S, quindi un solo k non può descriverla: l'elastico è cedevole all'inizio e poi si irrigidisce di colpo quando le catene polimeriche si distendono. Mostra anche isteresi — la curva di ritorno sta più in basso di quella di andata, quindi parte dell'energia immessa torna come calore anziché come moto. Per questo un elastico è una pessima scelta per l'esperimento di Hooke e i calcoli del tipo ½kx² non si trasferiscono. Usa una molla elicoidale d'acciaio se il punto dell'esperimento è la legge lineare.