Che cos'è il numero di Reynolds? La formula, le unità che si semplificano e perché 2 300 vale solo per i tubi

La formula, e la verifica che le unità si semplificano davvero

Re = ρvL/μ. Invece di fidarti della parola adimensionale, inserisci le unità. La densità ρ è in kg·m⁻³, la velocità v in m·s⁻¹, la lunghezza L in m, quindi il numeratore ρvL porta kg·m⁻³ × m·s⁻¹ × m = kg·m⁻¹·s⁻¹. La viscosità dinamica μ si misura in pascal-secondo, e un pascal è un newton al metro quadrato, dunque Pa·s = (kg·m·s⁻² / m²)·s = kg·m⁻¹·s⁻¹ — la stessa combinazione. Numeratore e denominatore portano unità identiche, si semplificano, e resta un numero nudo senza alcuna unità. Ecco perché un numero di Reynolds di 14 900 significa la stessa cosa in ogni laboratorio del mondo, e perché scriverlo con un'unità accanto è sempre un errore.

Svolgi un caso per intero. L'acqua a 20 °C ha ρ = 998,2 kg/m³ e μ = 1,002 × 10⁻³ Pa·s. Spingila a 1,0 m/s in un tubo di 15 mm di diametro interno: il numeratore è 998,2 × 1,0 × 0,015 = 14,973 kg·m⁻¹·s⁻¹; dividi per 1,002 × 10⁻³ kg·m⁻¹·s⁻¹ e ottieni 14 943, che la maggior parte degli ingegneri annoterebbe come 1,5 × 10⁴. La seconda forma è spesso più rapida: viscosità cinematica ν = μ/ρ = 1,002 × 10⁻³ / 998,2 = 1,0038 × 10⁻⁶ m²/s, quindi Re = vL/ν = 1,0 × 0,015 / 1,0038 × 10⁻⁶ = di nuovo 14 943. Anche lì le unità si semplificano in modo pulito, poiché m·s⁻¹ × m ÷ m²·s⁻¹ = 1. Usa la forma che corrisponde alla viscosità della tua tabella, e non mescolare mai le due.

2 300 appartiene ai tubi: le soglie arrivano con una geometria

Il numero di Reynolds è definito solo quando dici che cos'è L, perché L non è una proprietà fissa dell'oggetto: è la scala di lunghezza che scegli per caratterizzare il moto. Per il moto dentro un tubo, L è il diametro interno, ed è per quella scelta che valgono i numeri familiari: sotto circa 2 300 il moto resta laminare, sopra circa 4 000 è turbolento, e in mezzo è di transizione e dipende dai disturbi all'ingresso e dalla rugosità della parete. Nel tubo da 15 mm qui sopra, 2 300 corrisponde a 0,154 m/s, circa 1,6 L/min, e 4 000 a 0,268 m/s. Apri di più il rubinetto e sei in regime turbolento.

Cambia la geometria e la soglia cambia con essa. Su una lastra piana in corrente libera, il valore usuale di transizione è Re ≈ 5 × 10⁵ con L misurata come distanza dal bordo d'attacco: in aria a 50 m/s si raggiunge appena 0,152 m dietro il bordo, e in acqua a 1,5 m/s a 0,335 m. Il moto attorno a un cilindro comincia a rilasciare una scia di vortici regolare già da Re ≈ 47, e una sfera attraversa la crisi di resistenza vicino a Re ≈ 3 × 10⁵. Nessuno di quei numeri è 2 300, e nessuno lo contraddice: sono problemi diversi con lunghezze caratteristiche diverse. Un numero di Reynolds citato senza nominare L, e una soglia citata senza nominare una geometria, sono informazioni incompiute.

A che cosa serve davvero il numero: confrontare flussi di taglia diversa

Il numero di Reynolds non è un verdetto sulla bontà di un flusso; dice quale fisica domina. A Re basso vince la viscosità e l'inerzia è trascurabile: per questo un batterio a Re = 6 × 10⁻⁵ non scivola da nessuna parte — ferma il flagello e si arresta in una frazione della propria lunghezza. A Re alto vince l'inerzia, i piccoli disturbi crescono invece di smorzarsi, e il moto diventa turbolento. Gli undici ordini di grandezza della tabella qui sopra non sono una scala di qualità: sono la mappa di quale termine delle equazioni di Navier-Stokes ti è lecito trascurare.

Il guadagno pratico è la similitudine dinamica. Due flussi con lo stesso numero di Reynolds e la stessa geometria si comportano allo stesso modo, qualunque sia la loro taglia assoluta: il disegno delle linee di corrente e il coefficiente di resistenza si trasferiscono. È l'intera base delle prove in galleria del vento e in vasca di rimorchio, e insieme la loro difficoltà centrale. Per eguagliare i 4,9 × 10⁶ dell'ala reale con un modello in scala un decimo in aria ordinaria servirebbe dieci volte la velocità, 500 m/s, cioè Mach 1,46 — e non è affatto più la stessa fisica. La via d'uscita abituale è alzare la densità: pressurizzare la galleria dieci volte riporta Re ai 50 m/s originari, Mach 0,15, ed è per questo che le gallerie aerodinamiche serie sono recipienti in pressione più che grandi ventilatori.

Domande frequenti

Un numero di Reynolds alto è buono o cattivo?

Né l'uno né l'altro: è una descrizione, non un voto. Un numero di Reynolds alto significa che domina l'inerzia e che il moto sarà probabilmente turbolento, il che aumenta le perdite di carico in un tubo ma migliora miscelazione e scambio termico, e su un'ala può ritardare il distacco e ridurre la resistenza. Un numero basso significa che domina la viscosità e che il moto è ordinato e prevedibile, ottimo per un film lubrificante e inutile per agitare un reattore. Chiediti che cosa deve fare il flusso prima di decidere quale estremo della scala ti conviene.

Quale lunghezza uso per L?

Quella con cui è stata definita la soglia con cui intendi confrontarti. In un tubo circolare usa il diametro interno; per un condotto non circolare, il diametro idraulico, quattro volte l'area della sezione diviso il perimetro bagnato. Lungo una lastra piana usa la distanza dal bordo d'attacco, così Re cresce andando a valle. Per un'ala, la corda; per una sfera o un cilindro investito di traverso, il diametro; per un corpo che nuota, la lunghezza del corpo. Il numero non significa nulla da solo, quindi indica L ogni volta che riporti Re.

Che differenza c'è tra viscosità dinamica e cinematica?

La viscosità dinamica μ misura la resistenza di un fluido al taglio e si esprime in pascal-secondo; la viscosità cinematica ν è quella resistenza divisa per la densità, ν = μ/ρ, e si esprime in metri quadrati al secondo. L'acqua a 20 °C ha μ = 1,002 × 10⁻³ Pa·s e ν = 1,0038 × 10⁻⁶ m²/s; l'aria alla stessa temperatura ha un μ molto minore, 1,825 × 10⁻⁵ Pa·s, ma un ν quindici volte maggiore, 1,5158 × 10⁻⁵ m²/s, perché è assai meno densa. Usa Re = ρvL/μ con la prima e Re = vL/ν con la seconda: entrambe danno lo stesso risultato, ma mescolarle produce un errore di un fattore ρ.