Le quattro equazioni della cinematica: quale usare e cosa ciascuna omette

Cinque variabili, quattro equazioni, una assente in ciascuna

In realtà qui c'è una sola fisica — l'accelerazione è il tasso di variazione della velocità e lo spostamento è l'area sotto un grafico velocità-tempo — e le quattro equazioni sono quattro modi di scriverla. Solo due sono indipendenti; le altre due si ottengono eliminando una variabile fra le prime due. Ecco perché ogni equazione tralascia esattamente una delle cinque grandezze: la variabile assente è quella eliminata per ricavarla.

La conseguenza è una regola di scelta che rende meccanico l'intero argomento. Leggi il problema, segna le variabili che fornisce e quella che chiede: una delle cinque resterà intatta. Quella variabile intatta nomina la tua equazione. Un'auto che rallenta da 25 m/s fino a fermarsi con 5,00 m/s² di decelerazione non dice nulla sul tempo né lo chiede, quindi è v² = v₀² + 2aΔx e la risposta sta in una riga: 62,5 m. Raddoppiare la velocità d'ingresso a 50 m/s quadruplica quella distanza a 250 m, perché lo spostamento va con il quadrato della velocità — la cosa più utile che questa equazione insegni.

La caduta libera sono le stesse quattro equazioni con a già nota

La caduta libera non è un argomento a parte. È il caso ad accelerazione costante con a già fornita: vicino alla superficie terrestre, l'accelerazione normale di gravità vale esattamente 9,80665 m/s² per definizione. Lascia cadere qualcosa da fermo per 45,0 m senza che sia dato alcun tempo: v² = v₀² + 2aΔx dà v = √(2 × 9,80665 × 45,0) = 29,71 m/s; se invece vuoi il tempo, Δx = ½at² si riordina in t = √(2 × 45,0 / 9,80665) = 3,029 s. Rimettere quel tempo in v = at restituisce 29,71 m/s, ed è questa la verifica che vale la pena fare.

Il numero 9,80665 m/s² è una convenzione definita, non una misura del tuo luogo. La gravità locale reale varia di qualche millesimo con latitudine e quota, ben al di sotto della precisione di qualsiasi problema che inizi dicendo di trascurare la resistenza dell'aria. È questa seconda ipotesi a limitare davvero la risposta: un oggetto denso e compatto lasciato cadere per qualche decina di metri è ben descritto, mentre un foglio di carta, o qualunque cosa cada per molti secondi, raggiunge una velocità limite di cui le equazioni non sanno nulla.

L'ipotesi che rende valide tutte e quattro

Ognuna di queste equazioni presuppone che l'accelerazione sia costante sull'intero intervallo. Non è un tecnicismo da ignorare in silenzio. La quarta forma, Δx = ½(v₀ + v)t, sembra usare soltanto una velocità media e quindi dovrebbe valere sempre — ma la media aritmetica delle velocità iniziale e finale coincide con la vera velocità media solo se la velocità varia linearmente, cioè esattamente nel caso di accelerazione costante. Applicala a un'auto che accelera forte e poi procede per inerzia e ti darà, senza avvisare, una distanza sbagliata.

Quando l'accelerazione varia davvero, il rimedio onesto è spezzare il moto in intervalli in cui sia approssimativamente costante, applicare le equazioni a ciascuno e sommare gli spostamenti. È così che si calcola realmente uno spazio di arresto: una fase di reazione a velocità costante e poi una fase di frenata a decelerazione pressoché costante. Se l'accelerazione varia con continuità e ti serve di meglio, le equazioni smettono di essere algebra e diventano analisi — la velocità come integrale dell'accelerazione, lo spostamento come integrale della velocità — e le quattro formule sono soltanto la risposta in forma chiusa del caso particolare in cui l'integranda è costante.

Domande frequenti

Perché ci sono quattro equazioni e non una sola?

Perché cinque variabili legate da due relazioni indipendenti si combinano in quattro modi utili, e ogni combinazione elimina una variabile diversa. Averle tutte e quattro permette di risolvere ogni problema risolubile in un passo anziché due. Si potrebbe sopravvivere con le sole v = v₀ + at e Δx = v₀t + ½at², ma qualsiasi testo che taccia il tempo costringerebbe allora a risolvere prima un'equazione di secondo grado, cioè proprio il lavoro in più che v² = v₀² + 2aΔx esiste per risparmiarti.

La decelerazione è un'accelerazione negativa?

Solo rispetto al verso che hai dichiarato positivo. L'accelerazione è un vettore: conta se punta nel verso del moto o contro di esso. Un'auto che frena procedendo nel verso positivo ha a negativa; la stessa auto che frena in retromarcia ha a positiva, pur continuando a rallentare. L'abitudine sicura è tracciare un asse, dichiarare quale verso è positivo e lasciare che i segni di v₀, v e a discendano da quella dichiarazione e non dalle parole del testo.

Queste equazioni valgono in due dimensioni?

Sì, applicate separatamente a ciascun asse. Moto orizzontale e verticale sono indipendenti: scrivi un insieme di equazioni per x e un altro per y, e l'unica grandezza in comune è il tempo trascorso t. È esattamente così che si risolve il moto di un proiettile: l'accelerazione orizzontale è nulla, quindi x = v₀ cos θ × t, mentre l'asse verticale porta tutta l'accelerazione di caduta libera. Non mescolare mai le componenti dentro una stessa equazione: una velocità di 20 m/s a 30 gradi non è un numero sostituibile a v₀ nell'equazione verticale, lo è solo la sua componente verticale di 10,0 m/s.