Il valore atteso è un numero che non accade mai

Le probabilità devono sommare a uno

Un insieme che non somma a uno non è una distribuzione di probabilità, e un calcolo condotto su di esso è privo di senso in un modo difficile da cogliere. Inserire 50, 30 e 20 — percentuali, che la dicitura non vietava — restituiva un valore atteso cento volte più grande, senza nulla a segnalare il problema. Lo strumento ora controlla la somma e non restituisce nulla anziché una cifra sbagliata, perché normalizzare in silenzio avrebbe salvato il caso delle percentuali riparando di soppiatto un refuso come 0,5 · 0,3 · 0,1 in una distribuzione che nessuno intendeva. Se la risposta torna vuota, è dalle probabilità che bisogna guardare.

Un valore atteso positivo non è un motivo per puntare l'affitto

Il valore atteso tratta ogni unità di denaro come equivalente a tutte le altre, buona approssimazione per poste piccole e cattiva per quelle grandi. La perdita di un mese di affitto non è compensata da una pari possibilità di vincere un mese di affitto, perché uno di quegli esiti toglie una casa e l'altro aggiunge una fortuna. Quell'asimmetria spiega perché una media favorevole sia condizione necessaria di una buona scommessa e mai sufficiente — l'altra metà della domanda è quante prove servono alla media per imporsi, e cosa la peggiore serie di sfortuna plausibile lascia lungo il cammino per continuare.

Domande frequenti

Quante prove prima che la media si assesti?

Dipende dalla dispersione dei risultati e non dalla loro media, e di solito ne servono ben più di quanto l'intuito suggerisca. L'incertezza attorno a una media osservata si riduce con la radice del numero di prove, quindi dimezzarla ne richiede quattro volte tante. Per una scommessa con risultati vicini, qualche decina di prove dà un quadro stabile; per una che paga trentacinque volte la posta una volta su trentasette, migliaia di giri possono finire ancora lontano dal valore atteso in un verso o nell'altro, ed è esattamente per questo che una serie fortunata non prova nulla.

I risultati possono essere qualcosa di diverso dal denaro?

Sì — qualsiasi grandezza che si possa sommare e moltiplicare va bene, ed è ciò che fa viaggiare così lontano l'idea. Tempo di consegna atteso, numero atteso di difetti in un lotto, costo di riparazione atteso su una flotta o chiamate attese all'ora a un servizio di assistenza sono lo stesso calcolo con altre unità. L'unico requisito è che sommare la grandezza significhi qualcosa: una temperatura attesa su tre stanze è una media legittima, mentre un valore atteso calcolato su categorie con etichette numeriche — codici postali, numeri di maglia, codici di risposta — è aritmetica senza oggetto.