Lunghezza della cinghia fra due pulegge: la geometria, e perché il risultato non è ciò che ordini

Perché non è due volte l'interasse più le due circonferenze

La somma ingenua conta quasi tutto due volte. Una cinghia tocca ogni puleggia lungo un arco e poi se ne va in tangente; non fa mai il giro completo di nessuna delle due. Sulla puleggia grande l'arco supera di poco la mezza circonferenza, sulla piccola resta di poco sotto, e i due scarti dalla metà si compensano quasi alla perfezione — ecco perché la risposta esatta contiene una sola circonferenza media, π(D1 + D2)/2, e non due intere. Somma le due circonferenze complete e avrai contato un giro intero di ciascuna puleggia che la cinghia non compie mai.

I rami dritti sono l'altra metà della sorpresa, e vanno nel verso opposto: sono più corti dell'interasse, non più lunghi. Ogni tangente è il cateto di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è l'interasse e l'altro cateto la semidifferenza dei diametri, quindi misura la radice di C² − ((D1 − D2)/2)². Con pulegge da 200 e 100 mm distanti 400 mm, ogni ramo dritto misura 396,86 mm invece di 400 — 3,14 mm in meno, due volte. Il termine correttivo (D1 − D2)²/(4C) della formula è ciò che recupera questo e poco più, ed è l'unico punto in cui la differenza di taglia fra le due pulegge compare. Nell'esempio metrico vale 6,25 mm su 1 277,49 — mezzo punto percentuale. Con due pulegge dello stesso diametro è esattamente zero, l'avvolgimento è esattamente 180° su entrambe, e la cinghia è semplicemente due volte l'interasse più una circonferenza.

La formula, la variante incrociata e quanto deriva l'approssimazione

Lo strumento implementa le forme chiuse classiche. Aperta: L = 2C + π(D1 + D2)/2 + (D1 − D2)²/(4C). Incrociata: gli stessi primi due termini, ma la correzione diventa (D1 + D2)²/(4C), perché una cinghia incrociata avvolge entrambe le pulegge per più di metà. Nell'esempio metrico l'aperta dà 1 277,49 mm e l'incrociata 1 327,49 mm — 50 mm in più con lo stesso materiale, cosa da sapere prima di ordinare. Lo strumento stampa inoltre i primi due termini da soli, come secondo risultato, con l'etichetta di lunghezza senza il termine di correzione: 1 271,24 mm. Quel numero non è una cinghia, è una diagnosi: ti dice quanta parte della risposta è geometria pura e quanta viene dallo scarto fra le pulegge.

Entrambe le forme chiuse sono approssimazioni, non identità. La risposta esatta richiede un arcoseno, perché l'angolo di avvolgimento su ogni puleggia dipende dalla geometria: 180° più due volte l'arcoseno della semidifferenza sull'interasse sulla puleggia grande, e 180° meno lo stesso sulla piccola. Lancia il caso predefinito dello strumento e la deriva è invisibile: 1 277,49 mm contro 1 277,50 esatti, otto micron. Forza il rapporto e cresce: pulegge da 250 e 50 mm distanti 160 mm avvolgono la piccola per soli 102,6°, e lì la formula esce 2,33 mm corta, cioè lo 0,27 %. Le cinghie incrociate derivano più in fretta perché il loro termine correttivo è più grande. Il segno dell'errore è sempre lo stesso — l'approssimazione sottostima — ed è il verso giusto in cui sbagliare, dato che è preferibile trovare la cinghia un filo tesa a metà della regolazione piuttosto che un filo lenta a fine corsa.

La lunghezza calcolata è un ingresso di catalogo, non un ordine

Nessuno fabbrica una cinghia al millimetro che hai scelto tu. Le cinghie sono stampate e vulcanizzate su tamburi in una serie normalizzata di lunghezze, marcate con una lettera di sezione e un codice di lunghezza, e tenute a magazzino in quella serie — ed è esattamente per questo che il flusso utile va al contrario di come ci si aspetta. Calcoli la lunghezza che la tua geometria attuale richiede, la cerchi, la trovi fra due misure a magazzino, e a quel punto scegli attorno a quale misura disponibile costruire la trasmissione, spostando il motore di conseguenza.

L'aritmetica di quello spostamento è più facile di quanto sembri, perché la lunghezza è dominata dal suo primo termine. Deriva e ottieni dL/dC = 2 − (D1 − D2)²/(4C²), che nell'esempio metrico vale 1,984 — chiamalo due. Ogni millimetro di spostamento del motore cambia il fabbisogno di cinghia di poco meno di due millimetri, e lo stesso rapporto vale in pollici. Quindi se lo strumento dice 1 277,49 mm a 400 mm di interasse e tu vuoi atterrare su 1 250 mm, devi perdere 27,49 mm di cinghia, cioè avvicinare gli alberi di 13,86 mm: imposta C a 386,14 mm. Rimetti 386,14 nello strumento e restituisce 1 250,00 mm — la verifica che conviene fare invece di fidarsi della derivata.

Due vincoli pratici delimitano quella scelta. Il motore deve conservare corsa sufficiente in entrambi i versi: gioco per calzare la cinghia nuova senza farla passare a forza sopra la flangia, cosa che rovina i cavetti, e corsa di tensionamento di riserva per l'allungamento che prenderà nelle prime ore di esercizio. E c'è un pavimento sull'angolo di avvolgimento. Sotto i 120° circa sulla puleggia piccola, una cinghia trapezoidale inizia a slittare prima di trasmettere la potenza nominale, cosa che la tabella qui sotto traduce in un interasse minimo per una data coppia di pulegge. Entrambi sono motivi per progettare verso il centro del campo di regolazione e non verso un numero.

Velocità, rapporto e quale puleggia è motrice

Inserisci una velocità motrice e lo strumento aggiunge due numeri che decidono se la trasmissione serve a qualcosa. La velocità condotta è quella motrice per il rapporto dei diametri: una puleggia da 200 mm a 1 450 giri/min che ne trascina una da 100 mm dà 2 900 giri/min — ma solo se il selettore dice che è la 200 a trascinare. Ribaltalo e lo stesso materiale riporta 725 giri/min, perché il rapporto si inverte. Quel selettore è facile da lasciare com'è per distrazione, e il sintomo è un numero del tutto plausibile, sbagliato del quadrato del rapporto se poi ci ragioni sopra in termini di coppia.

L'altro numero è la velocità lineare della cinghia, pari alla circonferenza della puleggia motrice per la sua velocità: 15,18 m/s nell'esempio metrico. Conta perché ogni sezione di cinghia ha un intervallo di velocità in cui si comporta bene, ed entrambi gli estremi sono reali. Troppo lenta, la cinghia deve portare troppa forza per trasmettere la stessa potenza: le serve una sezione maggiore o più rami. Troppo veloce, la forza centrifuga inizia a sollevare la cinghia dalla gola, tagliando proprio l'aderenza di cui vive, e la sezione scalda. Nota che questa uscita resta in metri al secondo qualunque sia il mercato, perché il motore di visualizzazione non ha una conversione imperiale prevista per quell'unità.

Ciò che lo strumento non ti dirà

Non verifica che la disposizione sia fisicamente possibile. Chiedigli pulegge da 200 e 100 mm con soli 120 mm fra gli alberi e restituisce 732,07 mm senza commenti, benché i due raggi sommino 150 mm e le pulegge occuperebbero quindi lo stesso spazio. Metti l'interasse a zero: un'uscita va all'infinito mentre l'altra mostra ancora un finito 471,24 mm, il secondo termine che si calcola tranquillo per conto suo. Metti a zero il diametro condotto: ti darà ancora una lunghezza di cinghia e una velocità, e solo il campo della velocità condotta resta vuoto. È sempre la stessa classe di lacuna: la formula viene valutata, il disegno no.

Il selettore di unità merita un avviso a sé, perché governa tutte e tre le lunghezze insieme. Digita 200, 100 e 400 lasciando l'unità su pollici e ottieni una cinghia da 32 448,2 mm — aritmeticamente perfetta, e che descrive una trasmissione grande come un autobus. Non c'è alcun riscontro fra i diametri e l'interasse, e nulla nel risultato segnala l'incoerenza. La regola è semplice: imposta l'unità prima di digitare qualsiasi cosa, e controlla il risultato contro il doppio dell'interasse — la cinghia vale sempre poco più di quello più una circonferenza media, e mai altro.

Domande frequenti

Quale diametro si misura su una puleggia trapezoidale?

Quello su cui la cinghia gira davvero, che non è quello che il calibro raggiunge più facilmente. Una cinghia trapezoidale affonda nella sua gola: la linea di contatto sta sotto il diametro esterno della puleggia, di una quantità che dipende dalla sezione della cinghia e dall'usura della gola. I cataloghi lo chiamano diametro primitivo o effettivo e lo stampano per ogni puleggia; usa quel valore. Misurare sui bordi e inserire quel risultato sovrastima entrambi gli archi e dà una cinghia lunga di qualche punto percentuale — abbastanza da esaurire la corsa di regolazione. Cinghie piatte e dentate sono più semplici: una piatta gira sulla superficie esterna, una dentata su una linea primitiva appena sopra il fondo dei denti, di nuovo indicata a catalogo.

Quanto deve essere tesa la cinghia?

Abbastanza tesa da non slittare, e non di più, perché tutto ciò che va oltre finisce nei cuscinetti e non nel carico. Il metodo d'officina è la freccia: si preme il centro del ramo libero più lungo con una forza nota e si verifica che la cinghia ceda di una distanza data, dell'ordine di 1/64 della campata per unità di campata, con forza e freccia entrambe prese dalla tabella del costruttore per quella sezione. Che la regola sia relativa alla campata dipende dal fatto che un ramo lungo è intrinsecamente più molle a parità di tensione. Due errori sono frequenti e opposti: tendere troppo perché la trasmissione ha fischiato una volta, cosa che uccide i cuscinetti del motore e dell'albero mesi dopo senza che si colleghino le due cose; e non ricontrollare mai, quando una cinghia nuova fa gran parte del suo assestamento e allungamento nelle prime ore — la routine giusta è tendere, farla girare brevemente sotto carico e ritendere.

Perché la cinghia incrociata richiede più lunghezza di quella aperta?

Perché incrociare la cinghia aumenta l'avvolgimento su entrambe le pulegge insieme, invece di scambiarlo fra loro. In una trasmissione aperta la cinghia guadagna arco sulla puleggia grande e ne perde altrettanto sulla piccola, così il totale resta vicino a una circonferenza media. Incrociala e deve attraversare due volte la linea dei centri, cosa che avvolge ciascuna puleggia per più di metà e allunga entrambi i rami dritti. Ecco perché il termine correttivo passa da (D1 − D2)² a (D1 + D2)², un numero molto più grande: nell'esempio metrico porta la cinghia da 1 277,49 mm a 1 327,49 mm, 50 mm in più. Quell'avvolgimento in più spiega anche perché le trasmissioni incrociate fanno buona presa e perché si consumano in fretta — la cinghia sfrega contro sé stessa all'incrocio —, per questo servono a invertire un albero lento, non a trasmettere potenza vera.

Lo strumento dà due lunghezze. Quale uso?

La prima, sempre. La seconda porta l'etichetta di lunghezza senza il termine di correzione ed è solo i primi due termini della formula: due volte l'interasse più una circonferenza media, 1 271,24 mm nell'esempio metrico contro i 1 277,49 mm totali. È la lunghezza che servirebbe se entrambe le pulegge fossero avvolte per esattamente 180°, cosa che accade solo se sono della stessa taglia. Il suo uso è diagnostico: lo scarto fra i due numeri ti dice a colpo d'occhio quanta parte della risposta viene dalla differenza di taglia fra le pulegge, e se quello scarto diventa grande rispetto al totale sei nella zona in cui la forma chiusa comincia ad allontanarsi dal risultato esatto con arcoseno. Su due pulegge uguali le due uscite coincidono: è lo strumento che ti dice che il termine correttivo è zero.

Non posso semplicemente misurare la vecchia cinghia?

Puoi, e prima dovresti leggere il codice stampato sul dorso, perché quella è la risposta senza misurare nulla. Se la marcatura è illeggibile, misurare funziona, con due trappole. Una cinghia usata si è allungata, a volte dell'uno per cento o più, quindi misurarla dà una lunghezza che non è mai stata una taglia di catalogo. E una cinghia trapezoidale si misura sulla sua linea primitiva, né all'esterno né all'interno: passare un metro attorno alla faccia esterna sovrastima e attorno a quella interna sottostima — il rimedio consueto è avvolgere uno spago nella gola di una puleggia di dimensione nota. Il calcolatore aggira entrambe partendo dalla geometria che è ancora sulla macchina: due pulegge misurabili e un interasse misurabile, e nulla di tutto ciò si è allungato.