Rapporti di trasmissione: perché il tachimetro mente dopo aver cambiato gomme

La trasmissione è una lunga moltiplicazione

Fra l'albero motore e l'asfalto non ci sono che rapporti. Il cambio fa girare l'albero di uscita più lentamente dell'ingresso, del rapporto della marcia inserita. Il finale riduce ancora, del rapporto al ponte. La ruota gira allora a quella velocità ridotta, e ogni suo giro porta l'auto avanti di una circonferenza di rotolamento. Moltiplica le riduzioni fra loro e hai il rapporto complessivo; dividi i giri motore per esso e moltiplica per la circonferenza, e la risposta è la velocità su strada. Nella catena non c'è altra fisica, e ogni domanda sulla trasmissione — velocità massima, regime di crociera, perché la prima sembra così brutale — si risolve riordinando quella sola riga.

Tieni le unità oneste e il conto non sbaglia mai. Se la circonferenza è in metri e il regime in giri al minuto, allora giri ÷ (marcia × finale) dà giri ruota al minuto, moltiplicare per la circonferenza dà metri al minuto, e moltiplicare per 60 e dividere per 1 000 dà km/h. Condensa le costanti e ottieni la forma davvero utile per confrontare le marce: km/h ogni 1 000 giri = 60 × circonferenza ÷ (marcia × finale). Quel numero, uno per marcia, è una descrizione completa del cambio. Tutto il resto è divisione.

Un cambio a sei marce, calcolato dalla prima alla sesta

Prendi un tipico cambio a sei marce di una trazione anteriore: 3,545, 1,955, 1,281, 0,973, 0,778 e 0,646, dietro un finale di 4,056, su pneumatici 205/55 R16 la cui circonferenza ricaviamo più sotto come 1,9852 m. Moltiplica ogni marcia per il finale e ottieni i rapporti complessivi: 14,379, 7,929, 5,196, 3,946, 3,156 e 2,620 a uno. Dividi 60 × 1,9852 per ciascuno e ottieni la velocità ogni 1 000 giri: 8,28, 15,02, 22,92, 30,18, 37,75 e 45,46 km/h. Quella sola colonna dice tutto ciò che il cambio fa. La sesta gira il motore 2,62 volte per ogni giro di ruota; la prima lo gira 14,38 volte.

Leggila in avanti per dimensionare un'andatura di crociera. A 120 km/h in sesta il motore gira a 120 ÷ 45,46 × 1 000 = 2 640 giri. Leggila all'indietro per dimensionare un'accelerazione: 3 000 giri danno 24,9 km/h in prima, 45,1 in seconda, 68,8 in terza, 90,5 in quarta, 113,2 in quinta e 136,4 in sesta. I salti fra le marce si stringono salendo — dalla prima alla seconda un fattore 1,81, dalla quinta alla sesta solo 1,20 — perché serve una prima molto ridotta per mettere l'auto in movimento, mentre le marce alte devono solo mantenerla contro la resistenza.

Lo stesso rapporto che divide la velocità moltiplica la coppia, ed ecco la sensazione della prima. Fai passare 280 N·m di coppia motore attraverso un rapporto complessivo di 14,379:1 e alle ruote arrivano 4 026 N·m, al netto delle perdite di trasmissione. Dividi per il raggio di rotolamento di 0,31595 m: sono 12 742 N di forza di trazione. Su un'auto da 1 400 kg valgono 9,10 m/s² di accelerazione, cioè 0,93 g — più di quanto gli pneumatici sull'asciutto possano reggere. Non è una curiosità da foglio di calcolo: è la ragione per cui una partenza decisa slitta in prima e non ci riesce in terza. In prima il limite è lo pneumatico, e aggiungere coppia motore non cambia assolutamente nulla.

Ricavare la circonferenza dalla sigla

Una sigla come 205/55 R16 sono tre misure, e due non sono nell'unità che sembrano. Il 205 è la larghezza di sezione in millimetri. Il 55 è il rapporto di aspetto: l'altezza del fianco in percentuale di quella larghezza, cioè 205 × 55 ÷ 100 = 112,75 mm. Il 16 è il diametro del cerchio in pollici, cioè 16 × 25,4 = 406,4 mm. Lo pneumatico ha un fianco sopra il cerchio e uno sotto, quindi il diametro esterno è 406,4 + 2 × 112,75 = 631,9 mm, e la circonferenza π × 631,9 = 1 985 mm. Nota bene la conseguenza: lo stesso numero di serie su uno pneumatico più largo dà un fianco più alto, ed ecco perché un 225/55 R16 ha 22 mm di diametro in più di un 205/55 R16 pur condividendo il 55 e il 16.

Una riserva onesta su quella circonferenza. π × diametro è il valore geometrico di uno pneumatico scarico; uno pneumatico che porta un'auto si schiaccia, per cui la distanza realmente percorsa per giro — la circonferenza di rotolamento che i costruttori pubblicano — è tipicamente inferiore del due o tre per cento. Conta se vuoi una risposta assoluta in metri per giro. Conta molto meno di quanto si creda per tutto ciò che segue, perché ogni confronto qui è un rapporto fra due circonferenze: se entrambi gli pneumatici si schiacciano di una percentuale simile, il rapporto non cambia. Usa la geometria per confrontare misure; usa la circonferenza di rotolamento pubblicata dal costruttore se ti serve il valore assoluto per una taratura del tachimetro.

Due sigle, confrontate come si deve

Fai la derivazione sulla coppia che si chiede davvero, 205/55 R16 contro 225/45 R17. Il primo misura 406,4 + 2 × 112,75 = 631,9 mm. Il secondo ha un fianco di 225 × 45 ÷ 100 = 101,25 mm su un cerchio da 431,8 mm, cioè 431,8 + 2 × 101,25 = 634,3 mm. La differenza è di 2,4 mm, lo 0,38 %. Sembra un anticlimax finché non se ne vede il motivo: è un abbinamento plus-size, e il plus-sizing esiste proprio per tenere costante il diametro esterno spostando materiale dal fianco al cerchio. Lo pneumatico sembra tutt'altro, l'assetto è più rigido, lo sterzo più incisivo — e il tachimetro se ne accorge appena. 100 km/h indicati diventano 100,4 km/h reali.

L'errore diventa reale solo quando lo scambio non è progettato. Tieni il cerchio da 16 pollici e passa da 205/55 a 225/55: il diametro sale a 653,9 mm, +3,48 %, e 100 km/h indicati sono in realtà 103,5 km/h. Spingiti fino al 215/65 R16 — una sigla dall'aria comunissima, e una misura che si monta fisicamente — e il diametro arriva a 685,9 mm, +8,55 %. 100 km/h indicati diventano allora 108,5 km/h reali, e 50 km/h indicati davanti a una scuola sono 54,3 km/h reali. Il cambiamento funziona nei due sensi: un 205/45 R16 misura 590,9 mm, −6,49 %, e 100 km/h indicati sono solo 93,5 km/h. Quel verso è più sicuro sul piano legale e peggiore in pratica, perché ti si dice che vai più forte di quanto vai.

Il contachilometri si muove con il tachimetro, e di un numero leggermente diverso, il che inganna molti. Se la circonferenza sale dell'8,55 %, la distanza registrata viene divisa per 1,0855: scende quindi del 7,87 % e non dell'8,55 %, perché aumenti e diminuzioni percentuali non sono simmetrici. Su 1 000 km reali il contachilometri ne scrive 921, 79 km in meno. Ogni cifra derivata dalla distanza eredita lo stesso errore: il consumo calcolato esce del 7,87 % basso sul chilometraggio, quindi l'auto sembra più assetata di quanto sia, e gli intervalli di manutenzione arrivano tardi in distanza reale.

Perché il tachimetro sbaglia, e in che verso

Un tachimetro non misura la velocità. Misura una frequenza di rotazione — dell'albero di uscita del cambio sulle auto vecchie, dei mozzi tramite i sensori ABS su quelle moderne — e la converte in velocità con un solo numero che il costruttore ha scritto nello strumento in fase di progetto: la circonferenza di rotolamento della misura di pneumatico di origine. Cambia lo pneumatico e hai cambiato la realtà senza avvisare lo strumento. Ogni giro copre ora più terreno di quanto lo strumento creda, quindi la lettura è bassa esattamente del rapporto fra le circonferenze. La relazione non è approssimata e nient'altro nella trasmissione la influenza — rapporti del cambio, finale, tipo di trasmissione si semplificano tutti, perché il tachimetro sta a valle di essi e a monte dello pneumatico.

C'è una seconda fonte di errore, voluta e ben più grande di quanto si immagini, che agisce nel verso opposto. I costruttori tarano lo strumento perché segni in eccesso di proposito, tipicamente dal tre al sei per cento, così che usura degli pneumatici, variazioni di pressione e tolleranze di fabbricazione non possano mai portare un'auto a segnare in difetto. Quell'ottimismo di fabbrica è un budget che puoi spendere. Se il tuo tachimetro segna il 5 % in più e monti uno pneumatico più grande del 5 % in circonferenza, i due si annullano e lo strumento diventa quasi esattamente veritiero — cosa che suona allettante ed è di fatto il punto in cui hai consumato tutto il margine legale.

L'asimmetria legale: segnare in eccesso è ammesso, in difetto mai

In gran parte d'Europa la precisione dei tachimetri è governata dal Regolamento UNECE n. 39, e la regola è scritta come una banda unilaterale. La velocità indicata non può mai essere inferiore a quella reale, e non può superarla di più del 10 % della velocità reale più 4 km/h. A 100 km/h reali uno strumento conforme può quindi mostrare da 100 a 114; a 50 reali, da 50 a 59. Dall'altro lato non c'è alcuna tolleranza. Un tachimetro che segna 98 mentre vai a 100 non è conforme per quanto buono sia in media, perché il regolamento non parla di esattezza in senso statistico — parla di non dire mai a un guidatore che va più piano di quanto vada.

Quell'asimmetria decide quali cambi di pneumatico siano accettabili. Montare una circonferenza maggiore spinge l'indicazione verso il basso rispetto al vero e mangia l'eccesso di fabbrica; spingiti abbastanza e finisci dal lato illegale della riga. Montare una circonferenza minore spinge l'indicazione verso l'alto, il che resta legale all'infinito ma rende lo strumento sempre più inutile. La regola pratica dei gommisti — restare entro circa il 3 % del diametro originale — è un compromesso che ti tiene dentro la banda con un eccesso di fabbrica di taglia tipica, proteggendo insieme le tarature di ABS e controllo di stabilità, la scalatura e il passaruota. Non è un limite legale in sé, e vale la pena consultare la documentazione del tuo veicolo, che di solito elenca esplicitamente le misure omologate.

Gli Stati Uniti hanno un approccio nettamente più leggero. Lo standard federale su comandi e display richiede che un'autovettura abbia un tachimetro, ma non impone la banda di precisione unilaterale del Regolamento n. 39, quindi la tolleranza dipende in larga misura dalla prassi dei costruttori e dall'applicazione a livello statale, non da un requisito di omologazione. La conseguenza tecnica è identica in entrambi i casi: lo strumento continua a fidarsi di una circonferenza che gli è stata detta una volta, e continua a sbagliare esattamente del rapporto fra pneumatico nuovo e vecchio. L'unica differenza è se sbagliare verso il basso sia anche un problema di omologazione.

Domande frequenti

Come calcolo la velocità su strada dai giri motore?

Dividi i giri motore per il rapporto della marcia, dividi ancora per il rapporto finale e moltiplica per la circonferenza di rotolamento dello pneumatico. Ottieni una distanza al minuto; converti alla fine nell'unità che preferisci. La forma compatta è velocità = giri × circonferenza ÷ (marcia × finale), e conviene calcolarla una volta per marcia come velocità ogni 1 000 giri. Con una sesta di 0,646 dietro un finale di 4,056 e uno pneumatico da 1,9852 m, il rapporto complessivo è 2,620:1 e la risposta è 45,46 km/h ogni 1 000 giri — quindi 3 000 giri sono 136,4 km/h e 120 km/h sono 2 640 giri. Due avvertenze. Usa la circonferenza di rotolamento invece di π × diametro se ti serve meglio del 3 % di esattezza assoluta, e ricorda che un automatico con convertitore slitta un po' prima del lock-up, per cui la velocità misurata resterà leggermente sotto quella calcolata ai bassi regimi.

Come ricavo il diametro di uno pneumatico dalla sua sigla?

Scomponi la sigla. In 205/55 R16, il 205 è la larghezza di sezione in millimetri, il 55 l'altezza del fianco in percentuale di quella larghezza, e il 16 il diametro del cerchio in pollici. Il fianco vale quindi 205 × 55 ÷ 100 = 112,75 mm, il cerchio 16 × 25,4 = 406,4 mm, e poiché c'è un fianco sopra e uno sotto il cerchio, il diametro esterno è 406,4 + 2 × 112,75 = 631,9 mm. Moltiplica per π per la circonferenza geometrica, 1 985 mm. La trappola è il rapporto di aspetto: è una percentuale, non una lunghezza, quindi lo stesso secondo numero dà altezze di fianco diverse su larghezze diverse. Un 225/55 R16 ha un fianco di 123,75 mm e un diametro di 653,9 mm, 22 mm più del 205/55 R16 pur riportando entrambi 55 e 16. Ricalcola sempre dalla sigla invece di supporre che due misure dall'aria simile coincidano.

Con gomme più grandi il tachimetro segna in eccesso o in difetto?

In difetto. Lo strumento conta i giri e li moltiplica per la circonferenza con cui è stato programmato, quindi se ogni giro copre ora più terreno di quanto creda, segnala meno velocità di quella reale. L'errore vale esattamente il rapporto fra le circonferenze. Passare da un diametro di 631,9 mm a uno di 685,9 mm è un +8,55 %: 100 km/h indicati sono 108,5 km/h reali e 50 km/h indicati sono 54,3. È il verso che l'omologazione europea vieta, perché il Regolamento n. 39 consente a un tachimetro di segnare in eccesso ma mai in difetto. In pratica un aumento modesto è spesso assorbito dall'eccesso di fabbrica, tipicamente dal tre al sei per cento — ma quel margine esiste per coprire usura e tolleranze, e spenderlo in un cambio di misura non lascia nulla in riserva.

Di quanto posso cambiare misura prima che conti?

La regola del mestiere è restare entro circa il 3 % del diametro originale, e quella regola fa più lavori insieme, non solo quello del tachimetro. Al 3 % l'errore di lettura resta dentro l'eccesso di fabbrica sulla maggior parte delle auto. Tiene inoltre i riferimenti di velocità ruota di ABS e controllo di stabilità abbastanza vicini alla loro taratura, lascia la scalatura praticamente invariata ed evita di strisciare nel passaruota a fondo sterzo o a fondo corsa. Calcola la differenza dalle sigle invece di indovinarla: da 205/55 R16 a 225/45 R17 è solo +0,38 % ed è un abbinamento plus-size progettato apposta, mentre da 205/55 R16 a 225/55 R16 è +3,48 % e già esce dalla regola pur sembrando un passo piccolo. E tratta quel 3 % come prassi ingegneristica e non come legge — l'autorità è l'elenco delle misure omologate nella documentazione del tuo veicolo.

Il cambio di misura influisce anche sul contachilometri?

Sì, e di una percentuale leggermente diversa, cosa che sorprende. Il contachilometri conta gli stessi giri del tachimetro, quindi moltiplica per la stessa circonferenza sbagliata. Con uno pneumatico più grande dell'8,55 %, la distanza registrata è quella vera divisa per 1,0855, un ammanco del 7,87 % — non dell'8,55 %, perché un aumento percentuale e la corrispondente diminuzione non sono mai lo stesso numero. Su 1 000 km reali il contachilometri mostra 921. Tutto ciò che si calcola da quella cifra eredita l'errore: il consumo ai cento chilometri esce falsato del 7,87 %, il chilometraggio di rivendita è sottostimato, gli intervalli di manutenzione arrivano più tardi in distanza reale del previsto, e i limiti chilometrici di garanzia si raggiungono più tardi di quanto il costruttore avesse calcolato. Nel verso opposto, uno pneumatico più piccolo fa registrare al contachilometri il 6,94 % in più con una circonferenza minore del 6,49 %.