Di quanto sbaglia «nominale meno inflazione»? Di esattamente un anno di inflazione

Una riga di algebra sostituisce tutta la discussione

Parti da che cosa dovrebbe significare il rendimento reale: quanto in più puoi comprare, non quante unità di moneta in più detieni. Se un paniere costa 100 oggi e 103 l'anno prossimo, e il tuo denaro passa da 100 a 108, allora l'anno prossimo puoi comprare 108 ÷ 103 = 1,048544 panieri — un guadagno del 4,8544 per cento in cose. Quella divisione è la definizione, non un suo affinamento. Riscrivendola si ottiene (n − i) ÷ (1 + i), il che mostra esattamente da dove viene la sottrazione ed esattamente che cosa le manca: la sottrazione è il numeratore da solo, con il denominatore dimenticato. Poiché il denominatore vale (1 + i), dimenticarlo moltiplica la risposta per (1 + i), e moltiplicare per (1 + i) è esattamente non convertire la moneta dell'anno scorso in moneta di oggi.

I mercati che non possono permettersi di sbagliare non sottraggono. I titoli di Stato indicizzati all'inflazione funzionano scalando il capitale con un coefficiente costruito sull'indice dei prezzi al consumo — una moltiplicazione, applicata ogni giorno, proprio perché la cedola reale del titolo sia una cedola reale e non una cedola reale meno una convenzione di arrotondamento. Gli istituti di statistica deflazionano le serie nominali dividendole per un indice dei prezzi, per la stessa ragione. Ovunque la risposta debba sopravvivere al contatto con un sistema di regolamento, l'operazione è la divisione; la sottrazione sopravvive solo dove nessuno deve pagare la differenza.

Perché il prodotto dei due tassi è l'intuizione sbagliata

La regola popolare dice che la scorciatoia va bene quando i tassi sono bassi e cede quando sono alti, e di solito lo spiega col termine incrociato n × i. Quel termine incrociato c'è davvero nello sviluppo — l'errore assoluto vale (n − i) × i ÷ (1 + i), cioè, per i piccolo, circa n × i meno i al quadrato — ma prendere il prodotto per il motore produce una previsione falsa che si costruisce facilmente. Tieni n × i fisso a 0,0060 e percorri quella curva. Con n = 60 per cento e i = 1 per cento l'errore è 0,5842 punti. Con n = 20 per cento e i = 3 per cento è 0,4951. Con n = 6 per cento e i = 10 per cento è −0,3636, e con n = 2 per cento e i = 30 per cento è −6,4615. Stesso prodotto, errori che coprono sette punti ed entrambi i segni. Il motore non è il prodotto: è la distanza fra n e i, scalata da i.

La regola che regge è quella relativa, e regge senza eccezioni perché è un'identità e non un'approssimazione: la scorciatoia è sempre alta di esattamente i della risposta vera. Questo ti dà una correzione mentale applicabile senza calcolatrice. Calcola n − i, poi toglici quella percentuale di inflazione. All'8 per cento nominale e al 3 di inflazione, 5 per cento meno il 3 per cento di 5 per cento fa 4,85 — la risposta esatta a tre cifre. La deflazione la ribalta: con un 2 per cento nominale e prezzi in calo dell'1 per cento, il rendimento reale esatto è 3,0303 per cento e la scorciatoia dice 3,0000, sicché ora la scorciatoia è bassa dell'1 per cento della risposta, perché i è negativo. L'identità regge in entrambe le direzioni e non bada al segno.

Quindici centesimi di punto diventano 1 762,61 € in trent'anni

Uno scarto di 0,1456 punti percentuali suona come una lite sull'arrotondamento finché non lo si capitalizza. Metti 10 000 € a lavorare all'8 per cento nominale per trent'anni con un'inflazione del 3. Il capitale nominale arriva a 100 626,57 €. Deflazionalo come si deve — dividi per 1,03 alla trentesima, o equivalentemente capitalizza al tasso reale esatto — e vale 41 456,81 € in moneta di oggi. Capitalizza invece il 5 per cento della scorciatoia e ottieni 43 219,42 €. La scorciatoia sovrastima il risultato di 1 762,61 €, cioè il 4,25 per cento del capitale reale. Che l'errore relativo passi dal 3,00 per cento in un anno al 4,25 in trenta dipende dal fatto che i due fattori di crescita differiscono di un rapporto costante, e un rapporto costante si capitalizza: 1,05 × 1,03 ÷ 1,08 fa 1,0013889, e 1,0013889 alla trentesima fa 1,0425.

La stessa logica di capitalizzazione demolisce una seconda scorciatoia dall'aria innocua: mediare l'inflazione su più anni e applicarla una volta. Prendi tre anni all'8 per cento nominale contro un'inflazione del 2, 7 e 3 per cento. Concatena i rendimenti reali esatti anno per anno: la crescita reale cumulata è 12,0599 per cento, cioè una media geometrica del 3,8684 per cento l'anno. Applica invece l'inflazione media aritmetica del 4 per cento e ottieni 3,8462 per cento. Lo scarto qui è di soli 0,0222 punti, e va sempre nella stessa direzione — mediare l'inflazione sottostima il rendimento reale — perché il deflatore è convesso nel tasso. È piccolo quando l'inflazione è stabile e cresce con la varianza, cioè proprio quando si è tentati di prendere la media.

Il fisco colpisce il rendimento nominale, e questo schiaccia la correzione di Fisher

Quasi tutti i sistemi fiscali tassano il numero di unità monetarie guadagnate, non il potere d'acquisto guadagnato. Questo ha una conseguenza dalla forma chiusa pulita. Se l'imposta prende una frazione t del rendimento nominale, il rendimento reale che conservi cala di t × n ÷ (1 + i), ed espresso come frazione del rendimento reale che avresti avuto, l'aliquota effettiva sul tuo rendimento reale è t × n ÷ (n − i). All'8 per cento nominale, al 3 di inflazione e con un'aliquota del 30, fa 0,30 × 8 ÷ 5 = 48 per cento: un'aliquota dichiarata del 30 per cento prende il 48 per cento di quello che hai davvero guadagnato. Percorri la scala e l'aritmetica non perdona — il 15 per cento nominale è il 24,0 per cento del rendimento reale, il 26,375 è il 42,2, il 30 è il 48,0, il 40 è il 64,0.

La stessa formula dà il tasso di inflazione al quale il tuo rendimento reale al netto delle imposte tocca lo zero: risolvendo per i si ottiene i = n × (1 − t). All'8 per cento nominale con un'aliquota del 30, un'inflazione del 5,6 per cento ti lascia esattamente dove eri partito in potere d'acquisto, nonostante un guadagno positivo, imponibile e dichiarabile ogni anno. Ecco l'ordine onesto dei tre effetti di questa pagina. La correzione di Fisher vale 0,15 punti nel nostro esempio. L'imposta vale 2,33 punti. E imposta e inflazione interagiscono invece di sommarsi, perché l'imposta colpisce un rendimento che include la compensazione dell'inflazione. Sistema prima l'involucro fiscale, poi la formula, e non lasciare mai che la seconda discussione scacci la prima.

Domande frequenti

La sottrazione è mai l'operazione giusta?

Sì, in due casi onesti. Il primo è il calcolo a mente in cui conosci la direzione della distorsione e non cambia la decisione: al 2 per cento di inflazione la scorciatoia è alta del 2 per cento della risposta, il che su un rendimento reale del 3 fa sei centesimi di punto, e nessuna decisione di risparmio si gioca lì. Il secondo è lavorare con rendimenti composti in modo continuo, dove la relazione è davvero una sottrazione: se definisci il rendimento logaritmico come il logaritmo naturale di uno più il rendimento semplice, allora il rendimento reale logaritmico è esattamente quello nominale logaritmico meno l'inflazione logaritmica, senza alcun termine correttivo, perché i logaritmi trasformano la divisione in differenza. È per questo che le grandezze a capitalizzazione continua sono la convenzione in buona parte del lavoro obbligazionario e accademico. La trappola è mescolare le convenzioni — sottrarre un'inflazione logaritmica da un rendimento nominale semplice produce un numero che non è né l'uno né l'altro.

Quale tasso di inflazione devo inserire — l'indice pubblicato o il mio?

Dipende da che cosa serve la risposta, e i due usi richiedono davvero input diversi. Se confronti il tuo risultato con un parametro di riferimento, un fondo, un rendimento obbligazionario o un altro investitore, usa l'indice pubblicato della tua area valutaria, perché è quello con cui deflazionano tutti gli altri e un confronto ha senso solo in un'unità comune. Se ti chiedi se potrai permetterti qualcosa in futuro, l'indice pubblicato è una media ponderata di un paniere nazionale, e il tuo paniere non è quel paniere: chi ha una spesa dominata dall'affitto in una certa città, o dai servizi per l'infanzia, o dall'energia, subisce un'inflazione personale che può restare lontanissima dal titolo per anni. Fai entrambi. La cifra pubblicata ti dice come sei andato; la tua ti dice che cosa comprerà. E nota l'asimmetria implicata dall'identità di sopra: poiché l'errore scala con i, un tasso personale di qualche punto sopra quello nazionale non sposta soltanto la risposta, peggiora anche la scorciatoia nella stessa proporzione.

E se l'inflazione è negativa?

La formula non cambia e la distorsione si rovescia. Con un 2 per cento nominale e prezzi in calo dell'1, il rendimento reale esatto è 1,02 ÷ 0,99 − 1 = 3,0303 per cento, mentre la scorciatoia dice 3,0000 — la scorciatoia ora è bassa, di esattamente l'1 per cento della risposta, che è di nuovo i con il proprio segno. La deflazione favorisce il risparmiatore esattamente come l'inflazione lo punisce, e l'effetto su un rendimento reale è più grande di quanto ci si attenda: prezzi in calo del 5 per cento trasformano un 2 per cento nominale in un 7,3684 per cento reale, dove la scorciatoia direbbe 7. L'unico punto in cui l'aritmetica si rompe davvero è un'inflazione di esattamente meno 100 per cento, dove il denominatore si annulla e il rendimento reale è indefinito — curiosità matematica più che scenario economico, ma la ragione per cui un calcolatore ben fatto rifiuta quell'input invece di restituire un infinito.

In che cosa differisce dal deflazionare semplicemente l'importo finale alla fine?

Non differisce affatto, ed è il miglior controllo dell'intero esercizio. Capitalizzare al tasso reale esatto e deflazionare il risultato nominale con l'indice dei prezzi sono la stessa operazione scritta in due modi, perché dividere una volta alla fine per (1 + i) elevato al numero di anni è algebricamente identico a dividere per (1 + i) dentro ogni anno. I nostri numeri lo mostrano: 10 000 € all'8 per cento per trent'anni fanno 100 626,57 €, divisi per 1,03 alla trentesima danno 41 456,81 €, e capitalizzare 10 000 € al tasso reale esatto del 4,8544 per cento per trent'anni dà pure 41 456,81 €. Se le tue due strade non concordano, una delle due contiene una sottrazione. La ragione pratica per preferire il tasso reale è che rende leggibile il confronto con un obiettivo: un reale del 4,8544 per cento ti dice subito che il potere d'acquisto quadruplica all'incirca in trent'anni, mentre un 8 per cento nominale e una serie di inflazione a parte non ti dicono nulla finché non hai fatto la divisione comunque.