As diagonais de um polígono são uma malha completa menos o perímetro

Porque as topologias de malha completa param em números pequenos

A contagem cresce com o quadrado do número de nós, pelo que cada máquina acrescentada custa mais do que a anterior. Passar de dez nós para vinte sobe as ligações de 45 para 190, e chegar a cem leva-as a 4.950 — cem vezes mais ligações por dez vezes mais máquinas. É por isso que as malhas completas sobrevivem apenas entre um punhado de routers de núcleo ou num pequeno agregado, e por isso tudo o que é maior passa por concentradores, espinhas ou intermediários. A mesma aritmética explica que uma reunião de doze pessoas ofereça sessenta e seis conversas paralelas possíveis, e que os custos de coordenação de uma equipa subam mais depressa do que o seu efetivo.

As outras duas saídas são mais simples do que parecem

Todo o polígono de n lados se corta em n−2 triângulos traçando as diagonais a partir de um mesmo vértice, e como cada triângulo leva 180 graus, a soma dos ângulos interiores vale (n−2) × 180: 720 para um hexágono, 3.240 para um icoságono. O resultado vale para polígonos irregulares tanto como regulares, e não se importa com a convexidade — um contorno amolgado tem a mesma soma de ângulos que um arrumado com o mesmo número de vértices. É a verificação mais rápida sobre um levantamento: soma os ângulos interiores medidos e vê se caem no número que devem dar.

Perguntas frequentes

Cruzam-se todas as diagonais por dentro?

Só num polígono convexo. Amolga o contorno e algumas diagonais saem inteiramente da forma, passam pelo entalhe e voltam a entrar — continuam a ser diagonais no sentido aqui usado, que conta pares de vértices não adjacentes sem se importar por onde a linha passa. A contagem mantém-se portanto em n(n−3)/2 seja qual for a forma, ao passo que o número de cruzamentos interiores não: num polígono convexo onde três diagonais nunca se encontram num mesmo ponto, os cruzamentos interiores valem o número de maneiras de escolher quatro vértices, pois cada quarteto dá exatamente um cruzamento.

Porque não tem nenhuma um triângulo?

Porque cada vértice é adjacente a todos os outros, pelo que não resta nenhum par não adjacente para unir. A fórmula confirma-o sem tratamento especial: 3 × 0 ÷ 2 vale zero, e o 4 × 1 ÷ 2 de um quadrilátero dá as duas diagonais que qualquer um sabe traçar. Que a expressão trate bem os casos mais pequenos é uma garantia modesta mas real a seu respeito — uma fórmula de contagem que precisasse de uma exceção em n = 3 assinalaria uma dedução errada nalgum ponto, mais do que uma esquisitice dos triângulos.