Hebel, Liquidation und die Asymmetrie der Verluste

Den Liquidationspreis herleiten

Nimm eine isolierte Long-Position. Du hinterlegst Eigenkapital E, und die Handelsplattform lässt dich ein Nominalvolumen N = L × E steuern, wobei L der Hebel ist. Fällt der Preis um einen Bruchteil d, verliert die Position N × d, dein verbleibendes Eigenkapital ist also E − N·d. Die Plattform schließt dich, wenn dieses verbleibende Eigenkapital auf die Erhaltungsanforderung sinkt, also einen Satz m auf den aktuellen Wert der Position, N × (1 − d).

Gleichsetzen: E − N·d = m·N·(1 − d). Setze E = N ÷ L ein und teile durch N, und jeder Bezug auf die Positionsgröße verschwindet: 1 ÷ L − d = m − m·d. Fasse die d-Terme zusammen, und du erhältst d = (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m). Der Liquidationspreis einer bei P eröffneten Long-Position ist also P × (1 − d), und für eine Short-Position liefert dasselbe Argument mit umgekehrtem Vorzeichen d = (1 ÷ L + m) ÷ (1 + m). Beachte, was nicht in der Formel steht: deine Kontogröße, der Vermögenswert, die Marktrichtung. Nur Hebel und Erhaltungssatz.

Die verbreitete Abkürzung lautet, eine Position bei L× sterbe bei einer Bewegung von 1 ÷ L — 5 Prozent bei 20×, 10 Prozent bei 10×. Das ist die Antwort für m gleich null, und sie ist stets zu großzügig. Bei 0,5 Prozent Erhaltungssatz liquidiert ein Einstieg bei 100 eine 5×-Long bei 80,402 statt 80, eine 10×-Long bei 90,452 statt 90, eine 20×-Long bei 95,477 statt 95 und eine 100×-Long bei 99,497 statt 99. Auf der Short-Seite, wo die Position wächst, während sie sich gegen dich bewegt, sind die Abstände größer: 5,473 Prozent bei 20× statt 4,523. Jede dieser Zahlen setzt eine saubere Ausführung ohne Gebühren und ohne Kurslücke durch das Liquidationsniveau voraus, und alle drei Annahmen scheitern genau unter den Bedingungen, die Liquidationen erzeugen.

Bei 20× passt die tödliche Bewegung in einen normalen Tag

Setzen wir Zahlen auf die Hebel, die Leute tatsächlich nutzen. Bei 0,5 Prozent Erhaltungssatz überlebt eine 2×-Long einen Rückgang von 49,75 Prozent, eine 5×-Long 19,60 Prozent, eine 10×-Long 9,55 Prozent, eine 20×-Long 4,52 Prozent, eine 50×-Long 1,51 Prozent und eine 100×-Long 0,50 Prozent. Handelsplattformen halten diesen Satz über die Hebelstufen nicht konstant, und höherer Hebel trägt meist einen höheren Satz: Bei 2,5 Prozent fällt der 20×-Wert auf 2,56 Prozent, und bei 5 Prozent ist eine 20×-Position gar nicht anbietbar, weil die Erhaltungsanforderung bereits die gesamte Einlage ausmachen würde. Deshalb markiert die Tabelle oben die Hochhebelfelder beim Satz von 2,5 Prozent als unmöglich statt als kleine Zahlen — eine Börse muss m senken, wenn sie das maximale L anhebt, und der konkrete Tarif unterscheidet sich nach Plattform und Instrument und ist dort nachzulesen.

Ob 2,56 oder 4,52 Prozent viel sind, hängt vom Vermögenswert ab, und bei einem volatilen sind sie es nicht. Erinnere dich an die Arithmetik des Begleitartikels zur Volatilität: Ein Wert mit 60 Prozent annualisierter Volatilität hat eine tägliche Standardabweichung von 3,141 Prozent. Das ist ein Tag mit einer Standardabweichung. Bei einem solchen Wert ist der Liquidationsabstand von 2,56 Prozent bei 20× kleiner als die typische Bewegung eines einzelnen gewöhnlichen Tages, und der Abstand von 4,52 Prozent etwa das Anderthalbfache davon — eine Größenordnung, die regelmäßig vorkommt, ohne Nachrichten, mehrmals im Monat. Dies ist der Satz, den man behalten sollte: Bei hohem Hebel muss der Markt deine These nicht widerlegen, um deine Position zu schließen, er muss nur verrauscht sein.

Die Erholungsasymmetrie, die auch ohne Hebel gilt

Verliere einen Bruchteil L deines Kapitals, und dir bleibt (1 − L). Um zum Ausgangspunkt zurückzukehren, muss dieser Rest mit 1 ÷ (1 − L) multipliziert werden, der nötige Gewinn ist also g = 1 ÷ (1 − L) − 1. Die Funktion ist konvex und beschleunigt stark. 5 Prozent Verlust brauchen 5,26 Prozent zurück. 10 Prozent brauchen 11,11. 20 Prozent brauchen 25,00. 25 Prozent brauchen 33,33, ein Drittel braucht 50,00, die Hälfte braucht 100,00. 60 Prozent Verlust brauchen 150 Prozent; 75 Prozent brauchen 300; 90 Prozent brauchen 900; 95 Prozent brauchen 1 900; 99 Prozent brauchen 9 900 Prozent, das Hundertfache, um dort zu stehen, wo man schon stand.

Das hat mit Hebel oder einem bestimmten Markt nichts zu tun. Es ist eine Eigenschaft von Prozentsätzen, und deshalb driftet ein Portfolio, das Gewinne und Verluste gleicher prozentualer Größe abwechselt, nach unten — genau die Tatsache, die der Begleitartikel zur Volatilität Volatilitätsverlust nennt. Die Asymmetrie erklärt auch, warum das Vermeiden großer Verluste wichtiger ist als das Einfangen großer Gewinne: Ein einziger Verlust von 50 Prozent hebt eine Verdopplung auf, in welcher Reihenfolge sie auch eintreffen.

Der Hebel multipliziert Verlust und Erholungsanforderung zugleich

Setze beides zusammen. Eine Position bei k× verwandelt eine Marktbewegung x in eine Eigenkapitalbewegung kx. Eine Gegenbewegung von 2 Prozent kostet 4 Prozent Eigenkapital bei 2×, 10 Prozent bei 5×, 20 Prozent bei 10×, 40 Prozent bei 20× und 50 Prozent bei 25×. Setze jede dieser Zahlen in die Erholungsformel ein, und der nötige Eigenkapitalgewinn beträgt 4,17; 11,11; 25,00; 66,67 beziehungsweise 100,00 Prozent. Übersetze nun zurück in Marktbewegung, für eine Position, die nachbesichert wird, um denselben Hebel auf dem verringerten Eigenkapital zu halten: Der Markt muss sich um 2,08 Prozent bei 2×, 2,22 bei 5×, 2,50 bei 10× und 3,33 bei 20× bewegen, um eine 2-Prozent-Bewegung rückgängig zu machen. Bei 20× muss der Markt 1,67-mal so weit wieder hinauf wie er hinunterfiel.

Eine Unterscheidung zählt hier und wird oft verwischt. Eröffnest du eine Position mit festem Nominalvolumen und rührst sie nie an, lässt dich ein Preis, der fällt und dann exakt zu deinem Einstieg zurückkehrt, bei null: Die Asymmetrie steckt im Eigenkapitalprozentsatz, nicht im Preis. Die zusätzliche Strecke entsteht, wenn der Hebel gehalten wird — bei Nachbesicherung, beim Nachlegen zum Halten desselben Vielfachen, oder bei einem Produkt, das täglich auf konstanten Hebel rebalanciert. Im gehaltenen Fall schrumpft die Position mit dem Eigenkapital, dieselbe Markterholung kauft also weniger zurück, als sie gekostet hat. Produkte mit konstantem Hebel sind der alltägliche Fall davon, und deshalb verlangen Aufsichtsbehörden von ihnen den Hinweis, dass sie nicht für lange Haltedauern gedacht sind.

Wiederholte Hebelwetten verlieren selbst mit positivem Vorteil

Das ist das Ergebnis, das Leute überrascht, und es ist dasselbe Argument über das geometrische Mittel, das der Begleitartikel zur Volatilität entwickelt. Baue einen wirklich günstigen Markt: In jeder Periode bewegt er sich mit Wahrscheinlichkeit 0,52 um +2 Prozent und mit 0,48 um −2 Prozent. Die erwartete Bewegung ist 0,52 × 2 − 0,48 × 2 = +0,08 Prozent je Periode. Das ist ein echter Vorteil, wie ihn fast niemand hat, und er ist bei jedem Hebel positiv: Halte die Position bei k×, und die erwartete arithmetische Rendite je Periode beträgt 0,08k Prozent, was mit steigendem k unbegrenzt wächst.

Die Aufzinsungsrate ist eine andere Größe. Weil sich Ergebnisse multiplizieren, zählt der erwartete Logarithmus: g(k) = 0,52·ln(1 + 0,02k) + 0,48·ln(1 − 0,02k). Bei 1× sind das +0,0600 Prozent je Periode. Bei 2× sind es +0,0800 Prozent, das Maximum, das genau auf den Kelly-Anteil (p − q) ÷ b = 0,04 ÷ 0,02 = 2 fällt. Bei 3× geht es auf +0,0600 zurück. Bei k = 3,9957 — im Wesentlichen 4× — kreuzt die Kurve null und wird darüber negativ: −0,1012 Prozent je Periode bei 5×, −1,2302 bei 10×, −7,0231 bei 20× und −12,1869 bei 25×. Über 50× ist eine einzige Gegenperiode der totale Ruin, denn 0,02 × 50 = 1.

Über 250 Perioden machen die exakten Binomialwahrscheinlichkeiten das Bild greifbar. Ungehebelt lässt dich dieser günstige Markt in 32,87 Prozent der Fälle unter deinem Startkapital. Bei 2× steigt das leicht auf 37,56 Prozent, weiterhin mit dem besten zusammengesetzten Ergebnis. Bei 5× sind es 57,50 Prozent, und 9,19 Prozent der Läufe liegen 90 Prozent oder mehr im Minus. Bei 10× endest du in 82,88 Prozent der Fälle unter dem Start und liegst in 57,50 Prozent der Läufe 90 Prozent oder mehr im Minus. Bei 20× lauten die Werte 99,54 und 99,06 Prozent. Die erwartete Rendite war durchweg positiv. Was der steigende Hebel bewirkte, war die Verwandlung eines günstigen Spiels in ein ungünstiges, ohne das Spiel zu ändern.

Finanzierung, Gebühren und der ehrliche Schluss

Alles Obige unterstellte, die Position sei kostenlos zu halten. Sie ist es nicht. Perpetual Futures erheben eine periodische Finanzierungszahlung zwischen Long- und Short-Seite, und dieser Mechanismus — wie der Satz gesetzt wird, welche Seite zahlt und warum es ihn gibt — wird im Begleitartikel zu Finanzierungsraten hergeleitet statt hier wiederholt. Für diesen Artikel zählt, wie der Hebel ihn skaliert: Die Finanzierung fällt auf das Nominalvolumen an, und dein Nominalvolumen ist das k-Fache deines Eigenkapitals, die Kosten als Prozentsatz deines eigenen Kapitals sind also das k-Fache des genannten Satzes. Bei einem angenommenen Satz von 0,01 Prozent je acht Stunden, also 0,03 Prozent am Tag auf das Nominalvolumen, zahlt eine 1×-Position 0,03 Prozent des Eigenkapitals am Tag und eine 20×-Position 0,60 Prozent — 16,52 Prozent über dreißig Tage. Dieser Satz ist eine Veranschaulichung und keine Notierung; reale Finanzierung schwankt fortlaufend, kann negativ sein und ist bei der Plattform nachzulesen.

Nimm Handelsgebühren hinzu, die ebenfalls auf das Nominalvolumen erhoben und daher ebenfalls mit k multipliziert werden, nimm Slippage bei Ein- und Ausstieg hinzu, und der Bremseffekt wird zu einem dritten Mechanismus, der in dieselbe Richtung wirkt wie die beiden obigen. Nichts davon ändert die Form des Schlusses, und alles verstärkt ihn.

Der Schluss ist nicht ermutigend, und es gibt keinen ehrlichen Weg, ihn dazu zu machen. Europäische Aufsichtsbehörden verlangen von Anbietern gehebelter Privatkundenprodukte, den Anteil der Kleinanlegerkonten zu veröffentlichen, die Geld verlieren, und die Analyse hinter diesen Produktinterventionsmaßnahmen nannte Werte in der Größenordnung von drei Vierteln bis nahezu neun Zehnteln je nach Anbieter. Das ist keine Aussage über ein bestimmtes Unternehmen oder Instrument, und die aktuelle Angabe zu dem Produkt, das du dir ansiehst, steht auf der Seite dieses Anbieters — aber die Richtung passt zu allem oben Hergeleiteten. Dieser Artikel existiert, um die Arithmetik lesbar zu machen, nicht um nahezulegen, dass ihr Verständnis eine verlierende Struktur in eine gewinnende verwandelt. Nichts hier ist Beratung, und das Sicherste, was diese Formeln dir sagen können, ist, wie sehr du recht behalten müsstest.

Häufige Fragen

Ist der Liquidationspreis einfach mein Einstieg minus 1 ÷ Hebel?

Nein, und die Abkürzung ist stets optimistisch. Der richtige Abstand ist (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m), wobei m die Erhaltungsmargenrate ist; die Abkürzung ist der Sonderfall m = 0. Bei 0,5 Prozent Erhaltungssatz lauten die wahren Werte 19,60 Prozent bei 5× statt 20, 9,55 bei 10× statt 10 und 4,52 bei 20× statt 5. Bei 2,5 Prozent beträgt der Abstand bei 20× nur 2,56 Prozent. Beim Einstieg abgezogene Gebühren und bereits berechnete Finanzierung mindern dein Eigenkapital, bevor der Preis sich überhaupt bewegt, was das Niveau noch näher rückt, und in schnellen Märkten kann die Ausführung schlechter ausfallen als das Auslöseniveau. Behandle jeden veröffentlichten Liquidationspreis als besten Fall, nicht als Grenze.

Warum ist der Liquidationsabstand bei einer Short-Position anders?

Weil eine Short-Position wächst, während sie sich gegen dich bewegt. Steigt der Preis, steigt das geschuldete Nominalvolumen mit, also steigt auch die Erhaltungsanforderung — ein Prozentsatz des aktuellen Nominalvolumens —, während dein Eigenkapital fällt. Dieselbe Algebra mit umgekehrten Vorzeichen ergibt d = (1 ÷ L + m) ÷ (1 + m) statt (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m). Bei 20× und 0,5 Prozent Erhaltungssatz überlebt eine Long 4,523 Prozent gegen sich und eine Short 5,473 Prozent, die Short hat prozentual also etwas mehr Luft. Ein Vorteil ist das nicht: Der schlechteste Fall der Long ist begrenzt, da der Preis nicht unter null fallen kann, während der Verlust der Short keine Obergrenze hat — die wichtigere Asymmetrie zwischen beiden Seiten.

Wenn meine erwartete Rendite positiv ist, warum verschlechtert mehr Hebel die Lage?

Weil erwartete Rendite und die Rate, mit der Geld tatsächlich aufzinst, zwei verschiedene Größen sind, und nur die zweite bestimmt, was am Ende bleibt. Der Hebel multipliziert die erwartete Rendite mit k und die Varianz mit k zum Quadrat, und die Aufzinsungsrate ist ungefähr die erwartete Rendite minus der halben Varianz — die Strafe wächst also schneller als die Belohnung. Im durchgerechneten Beispiel kompoundiert ein Markt mit echtem Vorteil von +0,08 Prozent je Periode ungehebelt mit +0,0600 Prozent, erreicht bei 2× das Maximum von +0,0800, kreuzt bei etwa 4× die Null und fällt bei 10× auf −1,2302 Prozent je Periode. Über 250 Perioden endet diese 10×-Position in 82,88 Prozent der Fälle unter dem Startkapital und in 57,50 Prozent der Läufe 90 Prozent oder mehr im Minus — während die erwartete Rendite durchweg positiv bleibt. Das ist derselbe Volatilitätsverlust wie im Begleitartikel, angewandt auf eine Position, deren Volatilität du gewählt hast.

Schützt mich ein Stop-Loss vor der Liquidation?

Er kann den Ausstieg näher als das Liquidationsniveau legen, was etwas wert ist, aber er beseitigt die Arithmetik nicht. Ein Stop ist die Anweisung, bei Berühren einer Schwelle zum Markt zu schließen; der tatsächlich erzielte Preis hängt also davon ab, was in diesem Moment verfügbar ist. In einer schnellen Bewegung kann er deutlich schlechter als die Schwelle sein, und springt der Markt über beide Niveaus, geschehen Stop und Liquidation praktisch am selben Ort. Das tiefere Problem ist, dass der Stop bei hohem Hebel kaum Platz hat: Bei 20× liegt die Liquidation je nach Erhaltungssatz 2,56 oder 4,52 Prozent entfernt, jeder Stop muss also darin liegen — bei einem volatilen Wert weit innerhalb der gewöhnlichen Tagesbewegung. Wo ein Stop im Verhältnis zur eigenen Volatilität eines Werts zu setzen ist, wird im Begleitartikel zur Stop-Platzierung entwickelt.

Gibt es einen mathematisch sicheren Hebel?

Kein Niveau ist sicher, und die Arithmetik zeigt nur, welche Niveaus sich selbst zerstören. Im durchgerechneten Beispiel ist die Aufzinsungsrate bei 2× maximal, was mit dem Kelly-Anteil (p − q) ÷ b = 2 zusammenfällt, und wird oberhalb von etwa 4× negativ. Doch diese Zahl hängt vollständig davon ab, p und b zu kennen — die wahre Wahrscheinlichkeit und Größe deines Vorteils —, und niemand kennt sie; sie werden aus einer Stichprobe geschätzt, und ein überschätzter Vorteil erzeugt eine überhebelte Position mit negativer Aufzinsungsrate, die auf dem Papier dennoch positiv aussieht. Praktiker, die diesen Rahmen nutzen, setzen deshalb routinemäßig nur einen Bruchteil davon ein. Die ehrliche Zusammenfassung: Die Arithmetik kann dir ein Niveau nennen, oberhalb dessen du auf Dauer sicher verlierst, und kann dir kein Niveau nennen, bei dem du sicher bist. Nichts in diesem Artikel ist eine Empfehlung, überhaupt Hebel einzusetzen.