Der Nenner der Sortino-Ratio, über den sich niemand einig ist

Sortino ändert an Sharpe zwei Dinge, nicht eines

Die geläufige Zusammenfassung lautet, Sortino ersetze die Gesamtvolatilität durch die Abwärtsvolatilität. Richtig und unvollständig: sie ersetzt im Zähler auch den risikofreien Zins durch eine Mindestrendite, also ein Ziel, das du wählst, und keinen Satz, den der Markt stellt. Diese beiden Änderungen sind unabhängig, und sie zu vermengen ist genau der Weg, auf dem man am Ende eine gegen ein Nullziel gerechnete Sortino-Ratio mit einer gegen eine Benchmark gerechneten vergleicht und die Differenz für eine Aussage über die Fonds hält. Soll der Vergleich etwas bedeuten, lege zuerst das Ziel fest und nenne es, und lass dann den Nenner arbeiten.

Wenn der Nenner arbeitet, kann er eine Rangfolge umkehren, und diese Umkehr ist der Daseinsgrund der Kennzahl. Stelle unserem stetigen Fonds A einen Fonds B gegenüber, dessen zwölf Monate 0,5, 8,0, 0,4, 0,6, 7,5, 0,5, −0,4, 9,0, 0,5, 0,4, −0,2 und 0,6 Prozent lauten — im Wesentlichen flach, mit drei explosiven Monaten. Fonds B hat eine annualisierte Standardabweichung von 12,3881 Prozent gegen 4,3338 bei Fonds A, Sharpe setzt also A voran, 2,5843 gegen 1,8728. Doch fast die gesamte Schwankung von B geht nach oben: nur zwei Monate fallen unter das Ziel, und die Summe ihrer quadrierten Unterschreitungen beträgt 0,8650 gegen 2,0875 bei A, sodass Bs annualisierte Abwärtsabweichung 0,9301 Prozent gegen 1,4448 bei A beträgt. Sortino setzt B voran, 24,9448 gegen 7,7518. Keine der Kennzahlen versagt. Sharpe beantwortet eine Frage danach, wie stark die Rendite schwankt; Sortino beantwortet eine Frage danach, wie oft und wie schwer sie enttäuscht. Das sind verschiedene Fragen, und ein Manager, der nie Geld verliert, aber häufig sehr viel verdient, wird von der ersten bestraft und von der zweiten belohnt.

Zwei Nenner, ein Faktor, und eine Rangfolge, die daran kippt

Die Beziehung zwischen den beiden Konventionen ist mechanisch. Beide gehen von derselben Summe quadrierter Unterschreitungen aus; die eine teilt durch die Zahl aller Perioden, die andere durch die Zahl der Unterschreitungen; der zweite Nenner ist also der erste mal der Quadratwurzel aus Gesamtzahl durch Unterschreitungszahl, und die zweite Ratio ist die erste geteilt durch genau diesen Faktor. Bei Fonds A mit drei von zwölf Monaten unter dem Ziel beträgt der Faktor exakt zwei. Bei Fonds B mit zwei von zwölf beträgt er 2,4495. Sieh, was das heißt: die zweite Konvention bestraft einen Fonds umso härter, je weniger schlechte Perioden er hatte, weil ein kleinerer Divisor das gemessene Abwärtsrisiko aufbläht. Ein Fonds mit einem einzigen schlechten Monat in zwölf wird mit der Wurzel aus zwölf, also 3,4641, bestraft — allein für die Seltenheit dieses Monats.

Diese Eigenschaft ist keine Kuriosität; sie kann eine Rangfolge im Alleingang umkehren. Vergleiche einen Fonds C mit Renditen von 2,0, −0,2, 2,1, −0,3, 2,2, −0,1, 2,0, −0,2, 2,3, −0,3, 2,1 und −0,1 Prozent — sechs von zwölf Monaten knapp unter dem Ziel, keiner davon ernst — mit einem Fonds D von 1,6, 1,7, 1,5, 1,8, −0,9, 1,7, 1,6, 1,8, 1,5, 1,7, −0,8 und 1,7 Prozent, der das Ziel nur zweimal verfehlt, dafür deutlicher. Teilt man durch alle zwölf Monate, gewinnt Fonds D, 6,2996 gegen 5,3598. Teilt man nur durch die Monate unter dem Ziel, gewinnt Fonds C, 3,7900 gegen 2,5718. Gleiche Daten, gleiches Ziel, entgegengesetzte Schlüsse — und die ganze Umkehr rührt daher, dass C mit der Wurzel aus zwei bestraft wird und D mit der Wurzel aus sechs. Vergleichst du zwei Sortino-Ratios, müssen sie gleich gerechnet worden sein; sagt die Quelle nicht wie, ist die Zahl mit nichts vergleichbar.

Verschiebe das Ziel, und derselbe Fonds erreicht 17,90 oder −1,83

Die Mindestrendite leistet mindestens so viel wie die Nennerkonvention — und anders als diese soll sie eine Entscheidung sein. Halte die zwölf Renditen von Fonds A fest und schiebe das Ziel nach oben. Gegen ein Ziel von null beträgt die Sortino-Ratio 17,9021. Gegen 3 Prozent im Jahr 9,7199. Gegen 4,20 Prozent, unseren Bezugsfall, 7,7518. Gegen 6 Prozent im Jahr 5,5199, gegen 12 Prozent 1,2944, und gegen 18 Prozent wird sie mit −0,7195 negativ. Eine Reihe, eine Nennerkonvention, und eine Zahl, die von achtzehn bis unter null reicht. Zwei Dinge bewegen sich, wenn das Ziel steigt: der Zähler schrumpft unmittelbar, und der Nenner wächst, weil mehr Perioden unter die Linie fallen und die vorhandenen Unterschreitungen tiefer werden.

Das ist ein Argument dafür, das Ziel bewusst zu wählen statt einen Voreinstellungswert zu übernehmen. Ein Ziel von null fragt, ob der Fonds je Geld verloren hat, und ist die richtige Wahl für Kapitalerhalt. Ein Ziel in Höhe des risikofreien Zinses reproduziert die Frage von Sharpe und macht beide Kennzahlen in der Absicht vergleichbar. Ein Ziel in Höhe der Inflation fragt, ob die Kaufkraft erhalten blieb. Ein Ziel in Höhe dessen, was deine Verpflichtungen verlangen — eine zu zahlende Rente, eine Entnahmerate, eine Hürde in einer Vergütungsvereinbarung —, ist die Fassung der Frage mit echten Folgen, und genau für sie wurde Sortinos Rahmen gebaut. Nenne das Ziel jedes Mal im selben Atemzug wie die Zahl, denn eine Sortino-Ratio ohne ihr Ziel ist keine schwach spezifizierte Größe, sondern eine unspezifizierte.

Wo die Kennzahl entartet — und was dann zu tun ist

Die Fehlerfälle sind allesamt Fehler des Nenners, und man sollte sie erkennen, weil sie wie außergewöhnliche Leistung aussehen. Fiel keine Periode unter das Ziel, ist die Summe der quadrierten Unterschreitungen null, die Abwärtsabweichung null und die Ratio unendlich. Das ist kein Fonds mit unbegrenzter risikoadjustierter Rendite; es ist eine Stichprobe ohne jede Information über Abwärtsrisiko, und der redliche Bericht besteht aus der Zahl der Perioden und der Feststellung, dass keine verfehlte — nicht aus einer Kennzahl. Fiel genau eine Periode darunter, ist die Ratio endlich, ruht aber vollständig auf dieser einen Beobachtung: unser Beispiel aus elf Monaten um 1,2 Prozent und einem Monat bei −9,0 Prozent ergibt eine annualisierte Abwärtsabweichung von 9,3500 Prozent nach der Alle-Perioden-Konvention und 32,3894 Prozent nach der anderen — ein Faktor 3,4641 auf einem einzigen Datenpunkt. Kleine Stichproben tun das jeder Risikokennzahl an, Abwärtsmaße trifft es härter, weil sie den größten Teil der Stichprobe konstruktionsbedingt verwerfen.

Zwei Gewohnheiten beheben das meiste. Erstens: nenne die Zahl der unterschreitenden Perioden neben der Ratio; das ist eine Zahl mehr, und sie sagt einem Leser sofort, ob der Nenner auf drei oder auf dreißig Beobachtungen ruht — und sie erlaubt ihm, selbst zwischen den beiden Konventionen umzurechnen, indem er mit der Wurzel aus Gesamtzahl durch diese Zahl multipliziert oder dividiert. Zweitens: behandle die Annualisierung als das, was sie ist, eine Annahme. Eine monatliche Abweichung mit der Wurzel aus zwölf zu multiplizieren unterstellt unabhängige, identisch verteilte Perioden — genau die Annahme, die bei den Strategien versagt, die man am häufigsten mit Sortino misst: alles mit autokorrelierten Renditen, illiquiden Bewertungen oder einem Short-Volatility-Profil bekommt sein Risiko durch diese Skalierung unterzeichnet. Die Ratio ist ein Vergleichswerkzeug zwischen gleich gemessenen Reihen über dasselbe Fenster, keine Naturkonstante, und sie gehört mit Ziel, Konvention, Frequenz und Stichprobenlänge zitiert.

Häufige Fragen

Welche Konvention verwendet dieser Rechner, und wie rechne ich in die andere um?

Er teilt die Summe der quadrierten Unterschreitungen durch die Zahl der Perioden der Reihe, nicht durch die Zahl der Unterschreitungen; die ausgewiesene Abwärtsabweichung ist also die Wurzel eines unteren partiellen Moments zweiter Ordnung um dein Ziel. Die Umrechnung ist eine Multiplikation. Für die nur auf Unterschreitungen bezogene Größe multipliziere die ausgewiesene Abwärtsabweichung mit der Quadratwurzel aus der Gesamtzahl der Perioden geteilt durch die Zahl der Unterschreitungen — gleichbedeutend: teile die ausgewiesene Sortino-Ratio durch dieselbe Wurzel. Bei drei Unterschreitungen in zwölf Perioden ist der Faktor zwei; bei zwei in zwölf 2,4495; bei einer in zwölf 3,4641. Der Rechner weist die Zahl der Unterschreitungen nicht eigens aus, sie ist aber aus deiner Reihe leicht abzulesen — und genau diese Zahl solltest du neben der Ratio festhalten.

Ist eine hohe Sortino-Ratio ein besserer Beleg als eine hohe Sharpe-Ratio?

Sie ist der bessere Beleg für eine engere Frage und der schlechtere Beleg für Robustheit. Sortino ist das richtige Instrument, wenn die Renditeverteilung wirklich asymmetrisch ist und man sich nicht sagen lassen will, ein großer Gewinn sei ein Risiko — das Argument ist echt, und unser Fonds B zeigt es. Doch sie wird aus weniger Beobachtungen geschätzt als die Sharpe-Ratio, weil sie jede Periode über dem Ziel wegwirft: ihr Stichprobenfehler ist auf denselben Daten breiter, und in einem kurzen Fenster schmeichelt sie leichter. Sie lässt sich auch leichter manipulieren: jede Strategie, die Versicherung verkauft — Optionsstillhaltergeschäfte, Carry, Kreditrisiko, illiquide Bewertungen —, erzeugt eine lange Reihe kleiner Gewinne und seltener großer Verluste, also genau die Form, die bei Sortino gut abschneidet, bis der seltene Verlust eintritt. Der redliche Gebrauch liest beide zusammen, mit der Zahl der Unterschreitungen und der schlechtesten Einzelperiode, und ist misstrauisch statt beeindruckt, wenn sie in der für den Manager günstigen Richtung auseinanderfallen.

Wo steht die Treynor-Ratio neben diesen beiden?

Sie beantwortet dieselbe Art Frage mit einem dritten Nenner, und die Wahl zwischen den dreien ist in Wahrheit eine Wahl darüber, was du für Risiko hältst. Sharpe teilt die Überrendite durch die Gesamtvolatilität und behandelt damit jede Schwankung als Risiko. Sortino teilt sie durch die Abwärtsabweichung um ein Ziel und behandelt nur Enttäuschung als Risiko. Treynor teilt sie durch das Beta und behandelt nur die Marktexponierung als Risiko, wobei implizit unterstellt wird, alles Übrige sei wegdiversifiziert. Diese Unterstellung ist der Hinweis: Treynor ist das richtige Maß für einen Baustein in einem bereits diversifizierten Portfolio, wo sich das spezifische Risiko tatsächlich gegen die anderen Positionen aufhebt, und das falsche Maß für eine Einzelposition oder einen konzentrierten Fonds, wo genau das von Treynor verworfene Risiko dasjenige ist, das du trägst. Für Manager-Rankings folgt daraus eine praktische Konsequenz: ein Fonds mit gutem Treynor und schlechtem Sortino sagt dir, dass seine Probleme nicht marktgetrieben sind — und das ist genau der Fall, in dem die Treynor-Zahl am wenigsten darüber aussagt, was du erleben wirst.

Wie viele Perioden brauche ich, bevor die Zahl etwas bedeutet?

Stelle die Frage zum Nenner statt zur Stichprobe, denn dort ist die Schätzung dünn. Es zählt nicht, wie viele Perioden du hast, sondern wie viele davon unter das Ziel gefallen sind, denn nur sie tragen Information über Abwärtsrisiko. Zwölf Monatsbeobachtungen mit drei Unterschreitungen liefern einen aus drei Zahlen geschätzten Nenner, und ein einziger anderer Monat würde ihn spürbar verschieben. Sechsunddreißig Monatsbeobachtungen mit zehn Unterschreitungen sind eine andere Sache. Keine Schwelle macht aus einer schlechten Schätzung eine gute, aber eine Disziplin hilft: rechne die Kennzahl über mehrere überlappende Fenster und schau auf die Streuung statt auf den Punktschätzer, und setze das Ziel zur Gegenprobe auf null — denn ein Fonds, dessen Kennzahl bei einer kleinen Zielverschiebung einbricht, wurde nie gemessen, er wurde durch die Lage der Linie geschmeichelt.