Die Sharpe Ratio und was sie stillschweigend voraussetzt

Eine Division — und was der Nenner wirklich zählt

Die Kennzahl lautet (Rp − Rf) ÷ σp. Der Zähler ist die Rendite über dem, was eine risikofreie Anlage gezahlt hätte — der Teil, der überhaupt dem Eingehen von Risiko zuzuschreiben ist. Der Nenner ist die Standardabweichung derselben Renditereihe über denselben Zeitraum. Der Quotient liest sich eindeutig: Einheiten Überrendite je Einheit Volatilität. Ein Fonds mit 1,2167 Prozent Monatsrendite gegen einen monatlichen risikofreien Zins von 0,15 Prozent und einer monatlichen Standardabweichung von 2,1595 Prozent erreicht (1,2167 − 0,15) ÷ 2,1595 = 0,4939.

Alles Weitere folgt aus der Wahl des Nenners. Die Standardabweichung misst die Streuung um den Mittelwert ohne Rücksicht auf das Vorzeichen: Eine Beobachtung 4 Punkte über dem Durchschnitt und eine 4 Punkte darunter liefern genau denselben quadrierten Term. Eine Managerin, die ihren eigenen Durchschnitt deutlich übertrifft, wird dafür ebenso bestraft wie eine, die ihn um denselben Betrag verfehlt. Das ist kein Fehler der Arithmetik — so ist die Standardabweichung nun einmal —, aber es heißt, dass die Kennzahl eine engere Frage beantwortet als die, die die meisten Leser zu stellen glauben. Sie misst nicht Risiko. Sie misst Schwankung und behandelt Schwankung als Stellvertreter für Risiko.

William Sharpe selbst war darin vorsichtig. Sein Aufsatz von 1966 nannte das Maß ein Reward-to-Variability-Verhältnis, und seine Rückschau von 1994 stellt klar, dass der Nenner die Standardabweichung der Differenzrendite ist und die ganze Konstruktion ein Ex-ante-Konzept, das notgedrungen auf Ex-post-Daten angewandt wird. Der Name, der geblieben ist, ist weniger vorsichtig als die Aufsätze es waren.

Zwei Fonds, eine Sharpe Ratio: die Spiegelkonstruktion

Hier eine Zwölfmonatsreihe für Fonds A, in Prozent: 0,4; 0,3; 0,5; −0,2; 6,2; 0,3; 0,5; 0,4; −0,1; 5,4; 0,4; 0,5. Dein Mittelwert ist 1,2167, ihre Stichproben-Standardabweichung 2,1595. Bilde nun Fonds B, indem du jede Beobachtung am Mittelwert von A spiegelst — Bᵢ = 2μ − Aᵢ — was 2,03; 2,13; 1,93; 2,63; −3,77; 2,13; 1,93; 2,03; 2,53; −2,97; 2,03; 1,93 ergibt. Die Spiegelung am Mittelwert lässt den Mittelwert unverändert und jede Abweichung gleich groß, also hat B ebenfalls den Mittelwert 1,2167 und die Standardabweichung 2,1595. Die Sharpe Ratio ist folglich identisch: 0,4939 für beide, nicht ungefähr, sondern exakt — und sie bliebe identisch bei jedem risikofreien Zins, den du einsetzen möchtest.

Die beiden Fonds sind nicht im Entferntesten gleichwertig. As schlechtester Monat liegt bei −0,2 Prozent und sein tiefster Rückgang bei 0,2 Prozent; Bs schlechtester Monat bei −3,77 Prozent und sein tiefster Rückgang bei 3,77 Prozent, das Neunzehnfache. As Streuung liegt fast vollständig auf der Oberseite — zwei herausragende Monate mit 6,2 und 5,4 —, die von B auf der Unterseite. Beide kommen über das Jahr etwa gleich weit: 15,34 Prozent für A und 15,32 für B. Wer die Wahl bekommt, nimmt A, und dafür braucht es keine Rechnung.

Die Sortino Ratio trennt sie, weil sie nur den Nenner ändert. Der Zähler bleibt gleich — Durchschnittsrendite minus einer minimal akzeptablen Rendite, hier derselbe risikofreie Zins von 0,15 Prozent —, und die Standardabweichung wird durch die Abwärtsabweichung ersetzt: die Wurzel aus dem Mittel der Quadrate von min(rᵢ − MAR; 0), null für jeden Monat über der Schwelle. As Abwärtsabweichung beträgt 0,1242, seine Sortino Ratio 8,59. Bs Abwärtsabweichung beträgt 1,4449, seine Sortino Ratio 0,74. Die Rangfolge, die die Sharpe Ratio nicht ausdrücken konnte — ein Fonds ist 11,6-mal besser —, holt genau dieser Nennerwechsel zurück.

Eine Warnung zu Sortino: Für den Divisor in der Abwärtsabweichung gibt es keine einheitliche Konvention. Die Summe der quadrierten Unterschreitungen durch die Gesamtzahl der Beobachtungen zu teilen, wie hier, ist die übliche Wahl und hält das Maß über Reihen hinweg vergleichbar; nur durch die Zahl der Verlustperioden zu teilen ergibt eine andere, größere Zahl und eine andere Rangfolge. Eine Sortino Ratio ohne genannte Konvention ist so rutschig wie eine Sharpe Ratio ohne genannte Frequenz.

Die Wurzel aus zwölf ist eine Wahl, keine Arithmetik

Sharpe Ratios werden jährlich zitiert, aber aus monatlichen oder täglichen Beobachtungen berechnet. Die Brücke, die alle benutzen, ist die Multiplikation der Periodenkennzahl mit der Wurzel aus der Zahl der Perioden im Jahr: √12 = 3,4641 bei Monatsdaten, √252 ≈ 15,87 bei Tagesdaten. Dieser Faktor stammt aus der Varianz einer Summe. Sind zwölf Monatsrenditen unabhängig, ist die Varianz ihrer Summe das Zwölffache der Varianz einer einzelnen, die Standardabweichung wächst also um √12, während der Mittelwert um 12 wächst — und ihr Verhältnis wächst um 12 ÷ √12 = √12. Die ganze Konvention ruht auf diesem ersten Wort: unabhängig.

Renditen sind häufig nicht unabhängig. Illiquide oder selten bewertete Bestände — Private Credit, Immobilien, strukturierte Positionen, alles mit verzögerter Bewertung — erzeugen geglättete Reihen, in denen auf einen guten Monat oft ein weiterer guter folgt. Das ist positive Autokorrelation, und sie drückt die gemessene Standardabweichung der kurzen Perioden, ohne die wahre jährliche zu drücken. Andrew Los Aufsatz von 2002 liefert die Korrektur: Der ehrliche Annualisierungsfaktor für q Perioden lautet q ÷ √(q + 2·Σₖ₌₁^(q−1)(q − k)·ρₖ) und fällt nur dann auf √q zusammen, wenn jede Autokorrelation ρₖ null ist.

Setzen wir eine plausible Zahl ein. Nimm eine Autokorrelation erster Ordnung von 0,2 mit dem üblichen geometrischen Abklingen an — ein Glättungsgrad, der in einem Fonds mit schwer bewertbaren Beständen nichts Besonderes ist. Der korrigierte Faktor für zwölf Monate beträgt 2,879 statt 3,464. Unsere monatliche Sharpe Ratio von 0,4939 annualisiert zu 1,422 statt zu den 1,711, die im Factsheet stehen: Der veröffentlichte Wert ist 20,3 Prozent zu hoch. Bei einer Autokorrelation von 0,3 sind es 32,5 Prozent, bei 0,5 sogar 63,3 Prozent. Bei mean-reverting Renditen läuft die Korrektur andersherum: Bei ρ = −0,2 untertreibt die √12-Konvention um 16,9 Prozent. Die Tabelle oben zeigt die gesamte Spanne.

Versicherung zu verkaufen erzeugt eine wunderbare Sharpe Ratio

Betrachte eine Strategie, deren Auszahlungsprofil strukturell dem eines Versicherers entspricht: Sie kassiert meistens eine kleine, verlässliche Prämie und zahlt selten einen großen Schaden. Der Verkauf weit aus dem Geld liegender Optionen, Carry-Geschäfte und viele als Absolute Return bezeichnete Strategien haben diese Form. Modelliere sie als 35 Monate mit je rund 0,90 Prozent bei winziger Schwankung und dann einen Monat mit −22 Prozent.

In den ersten 35 Monaten beträgt die durchschnittliche Monatsrendite 0,90 Prozent und die monatliche Standardabweichung 0,0574 Prozent, weil nie etwas passiert. Die monatliche Sharpe Ratio lautet (0,90 − 0,15) ÷ 0,0574 = 13,07, was nach der √12-Konvention zu 45,3 annualisiert. Diese Zahl ist absurd und sie ist arithmetisch korrekt. Sie ist das exakte Ergebnis der exakten Formel auf den exakten Daten, und eine Dreijahreshistorie reicht den meisten Allokatoren für einen ernsthaften Blick.

Füge den 36. Monat hinzu. Der Mittelwert fällt auf 0,2639 Prozent, die Standardabweichung springt auf 3,8171 Prozent, und die monatliche Sharpe Ratio wird 0,030 — annualisiert 0,10. Eine Beobachtung hat den Wert von 45,3 auf 0,10 bewegt. Die Verteilung hat nun eine Schiefe von −5,75 und eine Exzess-Kurtosis von 31,0, und die Standardabweichung ist schlicht nicht dafür gebaut, so eine Form zu beschreiben: Sie fasst eine Verteilung in zwei Zahlen, und diese wird von zwei Zahlen nicht im Entferntesten erfasst. Beachte auch, was die kumulierte Rendite tat — 36,83 Prozent über 35 Monate, 6,73 Prozent über 36 — und dass die Rückkehr vom −22-Prozent-Monat bei 0,90 Prozent monatlich weitere 28 Monate braucht.

Die allgemeine Lehre ist nicht, dass die Kennzahl lügt. Sie ist, dass ein Maß, das auf den ersten beiden Momenten einer Stichprobe beruht, ein Risiko nicht sehen kann, das in der Stichprobe noch nicht aufgetaucht ist. Ist der Verlust selten genug, enthält eine Historie realistischer Länge meist keinen, und die Kennzahl liest das Fehlen des Verlusts als Beleg für Sicherheit. Frage, wie der schlechteste plausible Monat der Strategie aussieht, nicht wie hoch ihre historische Standardabweichung war.

Was eine Sharpe Ratio nennen muss, um überhaupt etwas zu bedeuten

Eine nackte Zahl ist nicht interpretierbar. Drei Dinge müssen mitkommen. Erstens der Zeitraum: 0,4939 über zwölf Monate und 0,4939 über zehn Jahre sind verschiedene Aussagen, und ein kurzes Fenster wird von Zufall beherrscht — Los Aufsatz handelt weitgehend davon, wie breit das Konfidenzintervall um eine geschätzte Sharpe Ratio ist. Zweitens der verwendete risikofreie Zins: Dieselbe Reihe schneidet gegen 0,15 Prozent monatlich anders ab als gegen 0,35 Prozent, und der Abstand wächst, je niedriger die Rendite der Strategie ist. Drittens die Beobachtungsfrequenz und die Annualisierungsmethode, denn wie die Tabelle zeigt, kann dieselbe zugrunde liegende Leistung als 1,048 oder als 2,060 veröffentlicht werden, je nachdem, was angenommen wurde.

Zwei weitere Bedingungen sind strukturell und nicht darstellerisch. Die Kennzahl ist nur zwischen zwei über dasselbe Fenster gemessenen Dingen vergleichbar, weil die Marktbedingungen den Zähler beherrschen; und sie ist überhaupt nur zwischen Strategien vergleichbar, deren Renditeverteilungen grob dieselbe Form haben. Einen Long-only-Aktienfonds gegen ein Optionsverkaufsprogramm allein nach Sharpe zu reihen, vergleicht eine annähernd symmetrische Verteilung mit einer stark linksschiefen, und das Maß hat keine Möglichkeit, den Unterschied zu registrieren.

Wofür die Kennzahl weiterhin wirklich taugt

Nichts davon macht die Sharpe Ratio nutzlos. Eine Aufgabe erfüllt sie hervorragend: den Vergleich zweier Portfolios ähnlichen Charakters über dasselbe Fenster, wenn die Frage lautet, ob die Mehrrendite des einen die Mehrschwankung wert war. Das ist die Frage, die Sharpe 1966 stellte, und dafür ist die Kennzahl das richtige Werkzeug. Sie hat zudem eine saubere theoretische Rolle: Sie ist die Steigung der Geraden vom risikofreien Zins zu einem Portfolio im Mittelwert-Standardabweichungs-Raum, sodass die höchste Sharpe Ratio jenes Portfolio benennt, das man hebeln oder enthebeln würde, um jedes gewünschte Risikoniveau zu erreichen.

Das praktische Vorgehen ist kurz. Berechne sie, und berechne die Sortino Ratio daneben — beide zusammen sagen, ob die bestrafte Volatilität die Art ist, die dich stört. Sieh dir die schlechteste Einzelperiode und den tiefsten Rückgang an, die keine Kennzahl enthält. Nenne Fenster, risikofreien Zins und Frequenz, wann immer du einen Wert zitierst, und behandle jede Sharpe Ratio über etwa 2 bei einer laufenden Strategie als Frage statt als Antwort.

Häufige Fragen

Was gilt als gute Sharpe Ratio?

Es gibt keine Schwelle, die für sich allein etwas bedeutet, denn die Zahl hängt vom Fenster, vom risikofreien Zins, von der Beobachtungsfrequenz und von der Annualisierungsannahme ab. Die verbreiteten Faustregeln — 1 akzeptabel, 2 gut, 3 hervorragend — sind Konventionen über annualisierte Werte aus weitgehend symmetrischen Verteilungen und brechen außerhalb dieser Bedingungen sofort. Unser Beispiel zeigt das: Dieselbe monatliche Sharpe Ratio von 0,4939 erscheint zwischen 1,048 und 2,060, allein je nach Annahme über die Autokorrelation. Und ein sehr hoher Wert ist öfter eine Warnung als ein Lob: Das Versicherungsbeispiel dieses Artikels erreichte annualisiert 45,3 über 35 Monate und 0,10 über 36.

Sollte ich stattdessen die Sortino Ratio verwenden?

Daneben, nicht stattdessen. Sortino ersetzt die Standardabweichung durch die Abwärtsabweichung und bestraft damit die Aufwärtsstreuung nicht mehr — genau die Korrektur, die das Spiegelbeispiel braucht: 8,59 gegen 0,74, wo Sharpe 0,4939 gegen 0,4939 sah. Sie erbt aber jede andere Schwäche, darunter das Annualisierungsproblem und die Blindheit für einen noch nicht eingetretenen Verlust, und fügt eine eigene hinzu: Die Divisorkonvention in der Abwärtsabweichung ist nicht standardisiert, sodass zwei Anbieter für dieselbe Reihe unterschiedliche Sortino Ratios veröffentlichen können. Berechne beide, nenne deine Konventionen und lies auch den Drawdown.

Welcher risikofreie Zins gehört in den Zähler?

Einer, dessen Laufzeit und Währung zum Messzeitraum und zur Portfoliowährung passen — eine kurze Staatsanleihenrendite, für eine Monatsreihe auf Monatsbasis umgerechnet. Sharpes eigene Notiz von 1994 ist strenger als die gängige Praxis: Die korrekte Konstruktion ist eine Differenzrendite, Portfolio minus risikofreier Anlage Periode für Periode, und die Standardabweichung gehört zu dieser Differenz, nicht zum Portfolio allein. Wo der risikofreie Zins nahezu konstant ist, fallen beide zusammen; wo er stark schwankt, nicht. Praktische Folgen: nie Währungen mischen, nie eine lange Anleiherendite für ein kurzes Fenster verwenden und stets nennen, welcher Satz benutzt wurde, da dieselbe Reihe bei 0,15 Prozent und bei 0,35 Prozent monatlich unterschiedlich abschneidet.

Kann ich eine aus Tagesdaten berechnete Sharpe Ratio mit einer aus Monatsdaten vergleichen?

Nicht gefahrlos, selbst nach Annualisierung beider. Die Annualisierung macht sie nur vergleichbar, wenn die Renditen bei beiden Frequenzen unabhängig sind, und das sind sie bei den meisten realen Reihen nicht: Tagesdaten nehmen kurzfristiges Rauschen und jede Tag-zu-Tag-Rückkehr zum Mittel auf, Monatsdaten glätten beides weg. Welche Frequenz die niedrigere gemessene Standardabweichung liefert, liefert die höhere Sharpe Ratio, und keine Regel sagt, welche das sein wird. Vergleiche Gleiches mit Gleichem — gleiche Frequenz, gleiches Fenster, gleiche risikofreie Reihe, gleiche Annualisierungsmethode — oder vergleiche nicht. Nennt ein Factsheet die verwendete Frequenz nicht, ist die dort stehende Kennzahl nicht überprüfbar.

Warum zeigt ein geglätteter, illiquider Fonds eine höhere Sharpe Ratio?

Weil der Nenner an gemeldeten Renditen gemessen wird, und gemeldete Renditen schwer bewertbarer Vermögenswerte sind veraltet. Wird eine Position verzögert oder gutachterlich statt über Handel bewertet, verteilt sich eine Bewegung ihres wahren Werts über mehrere Berichtsperioden. Diese Verteilung erhöht die Korrelation aufeinanderfolgender Perioden und senkt die gemessene periodenweise Standardabweichung, während die wahre Jahresschwankung unverändert bleibt. Die √12-Konvention behandelt dann den künstlich kleinen Monatswert, als stamme er aus unabhängigen Ziehungen, und multipliziert den Fehler in die Jahreszahl hinein. Bei einer monatlichen Autokorrelation von 0,2 ist die veröffentlichte Kennzahl 20,3 Prozent zu hoch, bei 0,3 sind es 32,5 Prozent. Positive Autokorrelation einer Monatsreihe zu prüfen lohnt sich, bevor man diesen Fonds mit einem täglich bewerteten vergleicht.

Bedeutet eine negative Sharpe Ratio etwas?

Sie bedeutet, dass das Portfolio über das Fenster weniger als den risikofreien Zins erbracht hat — mehr nicht. Die Größe ist nicht interpretierbar, denn einen negativen Zähler durch die Standardabweichung zu teilen kehrt die übliche Reihenfolge um: Von zwei verlustreichen Portfolios mit demselben Rückstand liegt das volatilere näher an null und sieht daher besser aus. Ein Fonds, der 2 Prozent gegen den risikofreien Zins verlor, bei 4 Prozent Standardabweichung, erreicht −0,50; einer, der dieselben 2 Prozent bei 8 Prozent Standardabweichung verlor, erreicht −0,25 und wirkt überlegen. Er ist es nicht. Ist der Zähler negativ, lies die Kennzahl nicht weiter, sondern Rendite und Drawdown direkt.