Volatilität ist nicht Risiko, und die Wurzel der Zeit ist eine Wahl

Woher die Quadratwurzel tatsächlich kommt

Volatilität heißt Standardabweichung der Renditen, aber eine Standardabweichung existiert nur relativ zu einer Periode. Eine tägliche und eine monatliche Standardabweichung sind verschiedene Zahlen für denselben Vermögenswert; um überhaupt etwas zu vergleichen, muss man sich auf eine Periode einigen, und die Konvention ist das Jahr. Die Brücke lautet: annualisierte Volatilität = Standardabweichung der Periode × √(Perioden pro Jahr).

Die Herleitung braucht zwei Zeilen. Die Jahresrendite ist die Summe der Periodenrenditen — in Logarithmen exakt. Die Varianz einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist die Summe ihrer Varianzen; gibt es n Perioden im Jahr mit je der Varianz σ², beträgt die Jahresvarianz nσ². Wurzel ziehen, und die jährliche Standardabweichung ist σ√n. Das ist alles. Für Tagesdaten eines täglich handelnden Vermögenswerts: √365 = 19,105; für einen Markt mit 252 Handelstagen: √252 = 15,875; wöchentlich √52 = 7,211; monatlich √12 = 3,464; quartalsweise exakt 2.

Beachte, was dafür angenommen werden musste: dass aufeinanderfolgende Renditen unabhängig sind, damit die Kovarianzterme in der Varianz der Summe sämtlich verschwinden. Nichts in den Daten garantiert das. Die Wurzel der Zeit ist Folge eines Modells der Preisbewegung — unabhängige Zuwächse — und ist das Modell falsch, ist der Faktor es mit ihm. Das ist der Unterschied zwischen einer Rechenoperation und einer Modellentscheidung, und fast jede Volatilitätszahl, die du liest, wird zitiert, als wäre sie das Erste.

Wie stark sich die Antwort verschiebt, wenn Renditen nicht unabhängig sind

Behalte die Annahme konstanter Periodenvarianz bei, erlaube aber eine seriell korrelierte Rendite mit geometrisch abklingendem Koeffizienten ρ. Die Varianz einer n-Perioden-Summe lautet dann σ²·[n + 2·Σₖ₌₁^(n−1)(n − k)·ρᵏ] statt nσ². Teile durch nσ², und du erhältst ein Varianzverhältnis, das genau angibt, wie falsch die naive Skalierung liegt.

Nimm einen Vermögenswert mit einer täglichen Standardabweichung von 3,141 Prozent — genau der Wert, der unter der Unabhängigkeitsannahme mit 365 Tagen zu 60,0 Prozent annualisiert. Beträgt die tägliche Autokorrelation 0,05, liegt die ehrliche annualisierte Volatilität bei 63,1 Prozent, und der veröffentlichte Wert untertreibt um 4,9 Prozent. Bei 0,1 sind es 66,3 Prozent, eine Untertreibung um 9,5. Bei 0,2 sind es 73,4 Prozent, eine Untertreibung um 18,3. Trendende, momentumgetriebene Märkte liegen auf dieser Seite, und die Standardformel sagt dir, sie seien ruhiger, als sie sind.

Bei mean-reverting Reihen läuft die Korrektur andersherum. Bei einer täglichen Autokorrelation von −0,1 beträgt der ehrliche Jahreswert 54,3 statt 60,0 Prozent, bei −0,2 sogar 49,0: Die Standardformel übertreibt um 10,5 beziehungsweise 22,4 Prozent. Keine der beiden Richtungen ist ein kleiner Effekt, und keine ist an einer allein zitierten Volatilitätszahl zu erkennen. Wann immer eine Volatilität zählt — Positionsgröße, Optionsbewertung, Vergleich zweier Werte —, lohnt es sich, die Autokorrelation der zugrunde liegenden Reihe zu messen, bevor der √t-Faktor angewandt wird.

Log-Renditen, einfache Renditen, und warum die Formel Erstere will

Eine einfache Rendite ist (P₁ − P₀) ÷ P₀. Eine Log-Rendite ist ln(P₁ ÷ P₀). Die obige Herleitung verlangte, dass die Jahresrendite die Summe der Periodenrenditen ist — für Log-Renditen wahr, für einfache falsch. Zwei Monate mit +50 und −50 Prozent summieren sich als einfache Renditen zu null; das tatsächliche Ergebnis ist 1,50 × 0,50 − 1 = −25 Prozent. Als Log-Renditen summieren sie sich zu ln(1,5) + ln(0,5) = −28,768 Prozent, und exp(−0,28768) − 1 = exakt −25 Prozent. Nur eine der beiden Konventionen besitzt die Additivität, auf der das Varianzargument beruht.

Bei kleinen Bewegungen fallen beide zusammen, weshalb die Wahl meist unsichtbar bleibt. Eine einfache Rendite von 1 Prozent ist eine Log-Rendite von 0,995 Prozent, ein Unterschied von 0,005 Punkten. Bei 5 Prozent sind es 0,121 Punkte, bei 10 Prozent 0,469, bei 20 Prozent 1,768 und bei 50 Prozent 9,453. Auch Verluste laufen auseinander, und zwar asymmetrisch: −20 Prozent einfach sind −22,314 Prozent im Log, −50 Prozent einfach sind −69,315 Prozent. Bei einem ruhigen Index spielt die Konvention kaum eine Rolle. Bei einem Wert, der regelmäßig 10 oder 20 Prozent am Tag bewegt, sind die auf einfachen und die auf logarithmischen Renditen berechnete Volatilität verschiedene Zahlen, und nur eine gehört in die √t-Formel.

Es gibt eine zweite, leisere Abhängigkeit: die gewählte Abtastfrequenz. Ein Wert mit 60 Prozent annualisierter Volatilität hat eine tägliche Standardabweichung von 3,141 Prozent, eine wöchentliche von 8,321 Prozent und eine monatliche von 17,321 Prozent. Das ist dieselbe Volatilität in drei Ausdrucksformen, solange die Unabhängigkeitsannahme hält — und hält sie nicht, annualisieren sie zu drei verschiedenen Zahlen. Stündlich statt täglich abzutasten fängt Mikrostrukturrauschen ein, das mit dem Risiko, das irgendwen interessiert, nichts zu tun hat, und √8760 = 93,595 verstärkt es. Eine Frequenz zu wählen heißt zu wählen, was als Preisbewegung zählt.

Volatilitätsverlust: warum eine positive Durchschnittsrendite dennoch Geld verlieren kann

Hier steckt das Geld. Der Durchschnitt einer Renditemenge und die Rate, mit der Geld tatsächlich durch sie hindurch aufzinst, sind zwei verschiedene Größen, und die zweite ist stets die kleinere. Die sauberste Demonstration braucht zwei Perioden: +50 Prozent, dann −50 Prozent. Das arithmetische Mittel ist null. Das zusammengesetzte Ergebnis ist 1,5 × 0,5 = 0,75, ein Verlust von 25 Prozent, und das geometrische Mittel je Periode ist √0,75 − 1 = −13,397 Prozent. Nichts ist schiefgegangen; das tut ein Durchschnitt, wenn sich die Größen multiplizieren statt zu addieren.

Die Größe der Lücke steuert die Volatilität. Bei symmetrischen Bewegungen von ±x mit arithmetischem Mittel null ist das geometrische Mittel √(1 − x²) − 1, und die Grundgesamtheits-Standardabweichung genau x. Bei ±10 Prozent beträgt das geometrische Mittel −0,501 Prozent gegen ein vorhergesagtes −σ² ÷ 2 = −0,500. Bei ±20 Prozent −2,020 gegen −2,000; bei ±30 Prozent −4,606 gegen −4,500; bei ±50 Prozent −13,397 gegen −12,500. Die Faustregel — das arithmetische Mittel übersteigt die Aufzinsungsrate um etwa σ² ÷ 2 — ist bei niedriger Volatilität sehr gut und unterschätzt den Schaden bei hoher Volatilität.

Wende es nun auf etwas an, das wie eine Anlage aussieht. Nimm einen Wert, dessen Renditen ein arithmetisches Mittel von 8,00 Prozent pro Jahr haben — eine durchaus respektable und eindeutig positive Zahl — und variiere nur die Volatilität. Bei lognormalen Renditen ist die Aufzinsungsrate exakt statt genähert, und die Tabelle oben zeigt beides. Bei 10 Prozent Volatilität kompoundiert der Wert mit 7,46 Prozent. Bei 30 Prozent mit 3,25 Prozent, womit er mehr als die Hälfte seiner Durchschnittsrendite allein an die Schwankung verloren hat. Bei 39,23 Prozent Volatilität kompoundiert er mit exakt null. Bei 60 Prozent mit −9,79 Prozent im Jahr: positive Durchschnittsrendite, und aus 10 000 € werden in zehn Jahren 3 569 €.

Eine Simulation mit 400 000 Ziehungen bestätigt die geschlossene Form, statt sie zu ersetzen: Bei 30 Prozent Volatilität ergab sich ein simulierter einfacher Mittelwert von 7,97 Prozent bei einer Aufzinsungsrate von 3,23; bei 60 Prozent 8,24 Prozent und −9,65. Die Break-even-Volatilität für 8 Prozent Durchschnittsrendite liegt bei 39,23 Prozent — darüber ist die Durchschnittsrendite positiv und das Geld schrumpft. Das ist der Mechanismus hinter der bekannten Warnung, dass täglich rebalancierte Hebelprodukte ihren Index über lange Haltedauern nicht abbilden: die Tagesrendite zu verdoppeln vervierfacht den Verlust.

Warum Volatilität nicht dasselbe ist wie Risiko

Volatilität misst, wie stark Preise sich bewegen. Risiko ist die Möglichkeit eines Ergebnisses, das du nicht akzeptieren kannst. Beides überschneidet sich, ist aber nicht dasselbe, und drei Lücken zählen. Erstens ist Volatilität symmetrisch: Sie zählt einen Anstieg um 10 Prozent und einen Rückgang um 10 Prozent gleich, worauf der Begleitartikel zur Sharpe Ratio ausführlich eingeht. Zweitens wird Volatilität an eingetretenen Renditen gemessen und ist damit blind für einen Verlust, der noch nicht eingetreten ist — ein Wert kann vollkommen ruhig sein bis zu dem Moment, in dem er es nicht mehr ist, und keine Menge vergangener Daten enthält das Ereignis. Drittens sagt Volatilität nichts über Dauerhaftigkeit: Ein diversifizierter Index, der 30 Prozent fällt, und eine Einzelposition, die 30 Prozent fällt, werden gleich verbucht, obwohl nur eine von beiden einen Mechanismus zur Rückkehr hat.

Wozu Volatilität wirklich taugt, sind Positionsgrößen und Vergleiche. Ein Wert mit 60 Prozent annualisierter Volatilität verbringt unter einer selbst schon unvollkommenen Normalverteilungsannahme die meiste Zeit in einem Band von rund 60 Prozent um seinen Trend, und das reicht, um zu entscheiden, wie viel davon du halten kannst, ohne dass das ganze Portfolioergebnis daran hängt. Sie ist außerdem der richtige Eingangswert für Optionspreise und der richtige Nenner beim Vergleich zweier Renditen. Sie ist keine Aussage darüber, wie viel du verlieren kannst.

Was zu nennen ist, wann immer du eine Volatilität zitierst

Vier Dinge, keines optional. Die Abtastfrequenz, weil stündliche, tägliche, wöchentliche und monatliche Daten für denselben Wert verschiedene Antworten geben. Das Fenster, weil eine über 30 Tage und eine über zwei Jahre berechnete Volatilität verschiedene Zeiträume beschreiben und nicht austauschbar sind. Die Renditekonvention, logarithmisch oder einfach, weil sie auseinanderlaufen, sobald die Bewegungen groß werden. Und der tatsächlich verwendete Annualisierungsfaktor, denn 365 und 252 unterscheiden sich um 20 Prozent, und beide sind vertretbar, je nachdem ob der Wert täglich handelt.

Eine letzte Unterscheidung, die man auseinanderhalten sollte: Alles Obige ist realisierte Volatilität, rückwärts aus bereits eingetretenen Preisen berechnet. Implizite Volatilität ist ein völlig anderes Objekt — es ist jener Volatilitätswert, mit dem ein Bewertungsmodell den gehandelten Preis einer Option reproduziert, also eine vorausschauende Zahl aus dem, was Leute zahlen, und keine Messung des Geschehenen. Beide werden in denselben Einheiten zitiert und regelmäßig verwechselt, und sie beantworten verschiedene Fragen.

Häufige Fragen

Soll ich mit 365 Tagen oder mit 252 annualisieren?

Nimm die Zahl der Perioden, in denen sich der Wert tatsächlich bewegen kann. Ein Markt, der an Wochenenden und Feiertagen schließt, liefert rund 252 Beobachtungen im Jahr, also ist √252 = 15,875 richtig; ein durchgehend handelnder Wert liefert 365, also ist √365 = 19,105 richtig. Beide unterscheiden sich um 20,4 Prozent, viel zu viel, um es unerwähnt zu lassen: Dieselbe tägliche Standardabweichung von 3,141 Prozent annualisiert bei 365 Tagen zu 60,0 Prozent und bei 252 zu 49,9 Prozent. Was du keinesfalls tun darfst, ist eine so berechnete Zahl mit einer anders berechneten zu vergleichen — genau das passiert, wenn ein durchgehend gehandelter Wert neben einen börsengehandelten gestellt wird, ohne die Konvention zu prüfen.

Bedeutet höhere Volatilität immer eine schlechtere Anlage?

Nein, aber sie bedeutet stets eine größere Lücke zwischen Durchschnitts- und Aufzinsungsrendite, und diese Lücke wächst mit dem Quadrat der Volatilität. Die Volatilität von 20 auf 40 Prozent zu verdoppeln verdoppelt den Verlust nicht von 2,00 auf 4,00 Punkte — es vervierfacht ihn auf 8,00. Deshalb lautet die Frage nicht, ob ein Wert volatil ist, sondern ob seine Durchschnittsrendite groß genug ist, um die eigene Volatilität zu bezahlen. Bei 8 Prozent Durchschnittsrendite liegt die Schwelle bei 39,23 Prozent Volatilität. Ein Wert mit 25 Prozent Durchschnitt könnte 60 Prozent Volatilität tragen und dennoch positiv kompoundieren; einer mit 8 Prozent nicht. Die Volatilitätszahl allein beantwortet nichts.

Warum melden zwei Seiten für denselben Wert verschiedene Volatilitäten?

Weil mindestens vier Entscheidungen in die Zahl eingehen und fast niemand alle vier veröffentlicht. Die Abtastfrequenz ändert die Antwort, sobald Renditen nicht unabhängig sind. Das Rückblickfenster ändert sie immer — 30 Tage und 730 Tage beschreiben verschiedene Zeiträume. Die Renditekonvention ändert sie, sobald die Bewegungen groß sind, denn −20 Prozent einfach sind −22,314 Prozent im Log. Und der Annualisierungsfaktor ändert sie zwischen 252 und 365 um 20,4 Prozent. Nimm die Wahl zwischen Stichproben- und Grundgesamtheits-Standardabweichung hinzu, die bei kurzen Fenstern zählt, und zwei ehrliche Rechnungen desselben Werts über ungefähr denselben Zeitraum können um ein Drittel auseinanderliegen. Prüfe vor jedem Vergleich, ob alle vier Konventionen übereinstimmen; nennt eine Seite sie nicht, ist ihre Zahl nicht reproduzierbar.

Ist der Volatilitätsverlust ein realer Kosten- oder ein Buchhaltungseffekt?

Er ist vollkommen real, in dem Sinn, dass er die Differenz zwischen dem Geld ist, das du am Ende hast, und dem, das die Durchschnittsrendite nahelegt. Er ist keine Gebühr, und niemand vereinnahmt ihn: Er ist eine Eigenschaft der Multiplikation. Das Zweiperiodenbeispiel klärt die Frage — +50 Prozent, dann −50 Prozent ergibt im Mittel null und lässt dir 75 Prozent des Einsatzes, und einen Durchschnitt kann man nicht ausgeben. Illusorisch ist das arithmetische Mittel selbst, das eine typische einzelne Periode beschreibt und nicht das Ergebnis einer Folge von Perioden. Lautet die Frage, wie viel Geld du haben wirst, ist die Aufzinsungsrate die einzig relevante Zahl, und sie liegt stets auf oder unter dem arithmetischen Mittel, mit Gleichheit nur, wenn jede Periodenrendite identisch ist.

Wie viele Beobachtungen braucht eine brauchbare Volatilitätsschätzung?

Mehr als die meisten verwenden, und der Bedarf wächst, wenn die Renditen weit von der Normalverteilung entfernt sind. Der Standardfehler einer geschätzten Standardabweichung fällt etwa mit eins durch die Wurzel des Stichprobenumfangs; von 30 auf 120 Beobachtungen halbiert die Unsicherheit, von 120 auf 480 halbiert sie erneut. Deshalb schwankt eine 30-Tage-Volatilität von Woche zu Woche so stark: Der Großteil der Bewegung ist Schätzrauschen und keine Veränderung des zugrunde liegenden Werts. Der Zielkonflikt ist echt, denn ein längeres Fenster ist präziser über einen weiter zurückliegenden Zeitraum, der die Gegenwart womöglich nicht mehr beschreibt. Der praktische Kompromiss lautet, zwei Fenster anzusehen — ein kurzes und ein langes — und eine große Abweichung zwischen ihnen als Information zu behandeln statt als zwei zu mittelnde Zahlen.