Ist die Varianz nicht der Mittelwert, ist es keine Poisson-Verteilung

Auf den Mittelwert ausgelegte Kapazität wird regelmäßig überschritten

Fünf im Mittel heißt nicht fünf die meiste Zeit. Genau fünf tritt in rund 17 % der Intervalle auf, alles Übrige in den anderen 83 — darunter gar keines in einem von hundertfünfzig und zehn oder mehr in 3,2 %, also etwa in einem von einunddreißig Intervallen. Eine Warteschlange, eine Vermittlung oder ein Dienstplan nach dem Mittelwert ist daher mehrmals stündlich überlastet, wenn das Intervall eine Minute ist. Bemiss stattdessen gegen ein gewähltes oberes Perzentil und nenne es: Auf das fünfundneunzigste auszulegen heißt zu akzeptieren, dass eines von zwanzig Intervallen überläuft — eine politische und keine rechnerische Entscheidung.

Die konstante Rate ist die Annahme, die zuerst bricht

Fast nichts trifft mit wirklich konstanter Rate ein. Webverkehr hat eine Tages- und eine Wochenform; Support-Tickets schnellen nach einem Release hoch; Verkehrsunfälle häufen sich um das Wetter. Eine einzige Rate über einen Zeitraum mit mehreren Regimen anzupassen erzeugt eine breitere Verteilung als die Poisson, für die sie sich ausgibt — genau die oben beschriebene Überstreuung, die oft für Häufung gehalten wird, obwohl es ein wandernder Mittelwert ist. Die Abhilfe: Zerlege die Daten in Fenster, in denen die Rate plausibel stabil ist — Tagesstunden, Wochentage — und passe jedes einzeln an; das stellt die Gleichheit von Mittelwert und Varianz innerhalb jedes Fensters meist wieder her.

Häufige Fragen

Worin unterscheidet sich das von der Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung zählt Erfolge unter einer festen Zahl von Versuchen und hat daher eine Obergrenze — zwanzig Münzwürfe können nicht einundzwanzigmal Kopf ergeben. Poisson zählt Ereignisse in einem Fenster ohne obere Schranke: Nichts im Modell verbietet hundert Ankünfte in einer Minute mit Mittelwert fünf, es macht sie nur astronomisch unwahrscheinlich. Beide nähern sich an, wenn die Versuchszahl groß und die Einzelwahrscheinlichkeit klein ist — deshalb ist Poisson die praktische Wahl für seltene Ereignisse unter vielen Gelegenheiten: wenige Fehler in einer langen Serie, eine Handvoll Klicks unter vielen Einblendungen.

Darf die Rate ein Bruch sein?

Ja, und meist ist sie es. Der Parameter ist ein Mittel über ein Fenster: ein halbes Ereignis je Stunde beschreibt vollkommen gewöhnlich etwas, das rund zwölfmal am Tag geschieht, und die vorhergesagten Zählungen bleiben ganze Zahlen. Das Fenster zu wechseln skaliert den Parameter proportional — fünf je Minute sind dreihundert je Stunde — und die Wahrscheinlichkeiten ändern sich entsprechend; deshalb muss das Fenster mit der Rate genannt werden. Ein je Minute angepasstes und je Stunde angewandtes Modell liegt beim Parameter um den Faktor sechzig daneben und im Rand um sehr viel mehr.