Ein Fehlerbalken, der schrumpft, ist nicht die Standardabweichung

Warum durch fünf und nicht durch sechs geteilt wird

Die quadrierten Abweichungen summieren sich hier zu 17,5, und die Standardabweichung teilt das durch fünf — eins weniger als die Anzahl. Der Grund: Die Abweichungen werden vom Mittelwert der Stichprobe selbst gemessen, der konstruktionsbedingt so nah an den Daten liegt wie keine andere Zahl, sodass die Streuung etwas zu klein herauskommt. Die Division durch n − 1 gleicht das aus. Bei dieser Größe ist das keine Rundungsfeinheit: Durch sechs geteilt ergäbe 1,71, rund zehn Prozent weniger, und erst bei großer Stichprobe wird die Korrektur vernachlässigbar. Nimm n − 1, sobald die Daten eine Stichprobe von etwas Größerem sind — praktisch immer.

Die Formel setzt unabhängige Beobachtungen voraus

Die Division durch √n trägt nur, wenn jede Beobachtung neue Information bringt. Sechs Messungen desselben Objekts mit demselben Gerät oder sechs Antworten aus einem Haushalt sind keine sechs unabhängigen Fakten; sie so zu behandeln macht den Standardfehler zu klein und die daraus folgende Sicherheit zu groß. Das ist der häufigste Weg, auf dem eine Studie eine Genauigkeit meldet, die sie nicht hat — die Stichprobe wirkt groß, weil Zeilen gezählt werden, während die Zahl unabhängiger Einheiten weit kleiner ist. Zähle vor dem Teilen die unabhängigen Einheiten, nicht die Zeilen.

Häufige Fragen

Was sollen Fehlerbalken in einem Diagramm zeigen?

Es hängt von der Behauptung ab. Geht es darum, wie stark Einzelne variieren — wie sehr Patienten sich unterscheiden, wie sehr Teile —, zeichne die Standardabweichung, denn das ist die Streuung, der ein Leser begegnet. Geht es darum, ob zwei Gruppenmittel sich unterscheiden, zeichne den Standardfehler oder besser ein Konfidenzintervall, denn darauf ruht der Vergleich. Was immer du wählst: Schreib es in die Legende — ein unbeschrifteter Balken ist eine Zahl, die der Leser nicht verwenden kann.

Bedeutet ein kleiner Standardfehler, dass das Ergebnis stimmt?

Nein — es heißt, das Ergebnis ist präzise, was etwas anderes ist als richtig. Eine verzerrte Messung, zehntausendmal wiederholt, erzeugt einen winzigen Standardfehler um den falschen Wert, und die Rechnung meldet diese Präzision mit voller Überzeugung. Präzision kommt von der Stichprobengröße, Richtigkeit davon, wie die Stichprobe gezogen wurde und wie sich das Instrument verhält — und keine Menge des Ersten heilt einen Mangel des Zweiten.