Poker-Blattwahrscheinlichkeiten, hergeleitet statt auswendig gelernt

Alles ist ein Stück von 2 598 960

Ein Fünf-Karten-Blatt aus einem 52er-Deck ist eine ungeordnete Auswahl, ihre Anzahl beträgt also C(52,5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311 875 200 / 120 = 2 598 960. Jede Poker-Wahrscheinlichkeit ist irgendeine Teilmenge dieser Blätter geteilt durch diese Gesamtzahl, und jede Teilmenge zählt man nach demselben Rezept: Ränge wählen, Farben wählen, multiplizieren. Mehr als Multiplikation und Binomialkoeffizient braucht dieser Artikel nirgends.

Zwei der Anzahlen sind trivial und gehören an den Anfang, weil sie das Muster setzen. Ein Straight Flush sind fünf aufeinanderfolgende Karten einer Farbe: Es gibt zehn mögliche Folgen, von A-2-3-4-5 bis 10-B-D-K-A, und vier Farben, also 10 × 4 = 40. Ein Vierling sind alle vier Karten eines Rangs plus eine beliebige fünfte: 13 Ränge × 48 verbleibende Karten = 624. Beachte, dass beide Anzahlen für sich exakt und vollständig sind; es muss nichts abgezogen werden, denn ein Blatt kann nicht auf zwei Arten ein Straight Flush oder ein Vierling sein.

Die sieben, die etwas Sorgfalt verlangen

Ein Full House ist ein Rang dreifach und ein anderer zweifach: 13 Möglichkeiten für den Drilling, C(4,3) = 4 Wege, seine Farben zu wählen, 12 verbleibende Ränge für das Paar, C(4,2) = 6 Wege für dessen Farben. 13 × 4 × 12 × 6 = 3 744. Die Reihenfolge zählt hier — drei von Rang A mit zwei von Rang B ist ein anderes Blatt als drei von B mit zwei von A, weshalb der Faktor 13 × 12 lautet und nicht C(13,2). Der Drilling führt dieselbe Idee fort: 13 Ränge × C(4,3) Farben für den Drilling, dann C(12,2) = 66 Wege, zwei verschiedene Kicker-Ränge zu wählen, und 4 × 4 Farben dafür — 13 × 4 × 66 × 16 = 54 912. Die Kicker müssen verschiedene Ränge haben, sonst wäre das Blatt ein Full House.

Zwei Paare nutzt C(13,2) = 78 für die Paarränge, denn hier sind die beiden Paare vertauschbar, mal C(4,2)^2 = 36 für ihre Farben, mal 44 für die fünfte Karte — 52 minus die 8 Karten der beiden gewählten Ränge. 78 × 36 × 44 = 123 552. Ein Paar ergibt 13 Ränge × C(4,2) = 6 Farbpaare × C(12,3) = 220 Kicker-Ränge × 4^3 = 64 Kicker-Farben = 1 098 240. High Card ist alles Übrige: fünf verschiedene Ränge wählen, die keine Folge bilden, C(13,5) − 10 = 1 277, dann jedes Farbmuster außer einfarbig, 4^5 − 4 = 1 020, macht 1 277 × 1 020 = 1 302 540. Diese letzte Zeile zieht beide Ausschlüsse still in einem Zug ab.

Die beiden Ausschlüsse und die kleine Straße

Vier Karten einer Farbe und eine fünfte derselben ergeben 4 × C(13,5) = 5 148 einfarbige Blätter, aber 40 davon sind zugleich Straight Flushes und würden doppelt gezählt. Zieh sie ab, und die Flush-Anzahl beträgt 5 108. Die Straße hat das Spiegelproblem: 10 Rangfolgen, jede Karte frei in einer von 4 Farben, ergeben 10 × 4^5 = 10 240, davon dieselben 40 Straight Flushes, bleiben 10 200. Lass eine der Subtraktionen weg, und deine neun Anzahlen summieren sich zu 2 599 040 — achtzig zu viel — und genau so fängst du den Fehler, ohne zu wissen, wo er steckt.

Die Zehn verdient einen eigenen Satz. Es gibt dreizehn Ränge, eine naive Zählung von Fünferfolgen liefert also neun Sequenzen, von 2-3-4-5-6 bis 10-B-D-K-A. Doch das Ass spielt tief wie hoch, also ist A-2-3-4-5 — die kleine Straße — eine zehnte gültige Straße, während D-K-A-2-3, das um das Deck herumläuft, überhaupt keine Straße ist. Irrst du nach unten, sinkt die Straßenanzahl auf 9 180 statt 10 200; erlaubst du den Umlauf, steigt sie auf 13 260. Beide Fehler zeigen sich sofort in der Summe, und deshalb lohnt es, die Summe zu berechnen.

Die Summe ist der Beweis

40 + 624 + 3 744 + 5 108 + 10 200 + 54 912 + 123 552 + 1 098 240 + 1 302 540 = 2 598 960. Nicht ungefähr — genau. Diese Gleichheit ist die stärkste verfügbare Probe, denn die neun Argumente wurden unabhängig voneinander und von der Gesamtzahl gebaut. Hätte eines ein Blatt doppelt gezählt, einen Fall übersehen oder den falschen Binomialkoeffizienten benutzt, ginge die Summe daneben. Sie geht nicht daneben — die neun Kategorien zerlegen also alle Fünf-Karten-Blätter ohne Überschneidung und ohne Lücke. Jede veröffentlichte Tabelle, die diese Identität nicht schließt, enthält irgendwo einen Fehler, und so findet man es in zehn Sekunden heraus.

Als zweite, unabhängige Probe wurden alle 2 598 960 Blätter im Code aufgezählt und einzeln klassifiziert. Das Programm lieferte 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240 und 1 302 540 — dieselben neun Zahlen wie die Algebra — und bestätigte zusätzlich, genau C(52,5) Blätter besucht zu haben. Zwei Methoden ohne gemeinsame Annahmen, die auf die Einheit genau übereinstimmen, sind so nah an Gewissheit, wie Abzählen kommt.

Die Rangordnung ist eine Folge, keine Konvention

Lies die Anzahlspalte von oben nach unten: 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240, 1 302 540. Sie steigt streng an — und sie ist zugleich die Rangordnung, die jedes Pokerregelwerk druckt. Das ist kein Zufall und keine ästhetische Entscheidung eines frühen Regelschreibers. Verlöre ein selteneres Blatt gegen ein häufigeres, belohnte das Spiel die leichtere Leistung, und jeder Spieler, dem das auffiele, könnte es ausnutzen. Die Rangfolge wird durch das Abzählen erzwungen, und deshalb ist sie in jeder Jurisdiktion und jeder Variante mit Fünf-Karten-Blättern dieselbe.

Die Beziehung ist mehr als eine Ordnung — sie ist ein Verhältnis. Ein Straight Flush ist 15,6-mal seltener als ein Vierling, dieser 6-mal seltener als ein Full House, dieses nur 1,36-mal seltener als ein Flush. Diese letzte Lücke ist die engste der Tabelle, und deshalb ist die Grenze Flush gegen Full House die, die man am häufigsten falsch erinnert: 5 108 gegen 3 744, ein Unterschied von 1 364 Blättern aus zweieinhalb Millionen. Die Grenze Paar gegen High Card ganz unten ist fast ein Münzwurf, 42,3 % gegen 50,1 %, und zusammen decken diese beiden Kategorien 92,4 % aller Austeilungen ab.

Mit sieben Karten ist es ein anderes Problem

Alles Obige beschreibt ein Blatt aus genau fünf Karten. Hold'em gibt jedem Spieler sieben und wertet die besten fünf, was nicht dieselbe Rechnung ist und nicht dieselben Antworten hat. Der Raum wächst auf C(52,7) = 133 784 560, und jedes Blatt muss bewertet werden, indem man seine beste Fünf-Karten-Teilmenge sucht, statt es einfach zu klassifizieren. Zählt man alle auf, ergeben sich 41 584 Straight Flushes, 224 848 Vierlinge, 3 473 184 Full Houses, 4 047 644 Flushes, 6 180 020 Straßen, 6 461 620 Drillinge, 31 433 400 Zwei-Paare, 58 627 800 Ein-Paar-Blätter und 23 294 460 High Cards — deren Summe wieder genau C(52,7) beträgt.

Zwei dieser Zahlen kippen die saubere Geschichte von oben. Eine Straße ist mit 6 180 020 seltener als ein Drilling mit 6 461 620 — und schlägt ihn dennoch, weil die Rangfolge durch die Fünf-Karten-Anzahlen festgelegt ist, nicht durch die Sieben-Karten-Anzahlen. Und High Card, mit 50,1 % das häufigste Fünf-Karten-Ergebnis, fällt bei sieben Karten auf 17,4 % und damit unter zwei Paare mit 23,5 %. Pokers Rangordnung trifft die Seltenheit also in Fünf-Karten-Spielen exakt und in Sieben-Karten-Spielen nur ungefähr. Das ist eine reale, dokumentierte Inkonsistenz des Spiels, kein Rechenfehler — und ein guter Grund, jeder veröffentlichten Sieben-Karten-Tabelle ohne Aufzählung zu misstrauen.

Häufige Fragen

Warum zieht die Flush-Anzahl 40 ab?

Weil die neun Kategorien einander ausschließen müssen, damit sich ihre Anzahlen zur Gesamtzahl summieren. Fünf Karten einer Farbe zu wählen ergibt 4 × C(13,5) = 5 148 Blätter, und 40 dieser Fünferauswahlen sind rangfolgend, also Straight Flushes. Lässt du sie im Flush-Eimer, stehen sie zugleich im Straight-Flush-Eimer, und die neun Anzahlen summieren sich zu 2 599 040 statt 2 598 960. Genau dieselben 40 Blätter müssen aus der Straßen-Anzahl heraus, was 10 240 auf 10 200 senkt. Das ist der häufigste Defekt veröffentlichter Tabellen: Eine der beiden Subtraktionen wird angewandt, die andere nicht, und der Fehler beträgt achtzig Blätter — unsichtbar, solange man die Spalte nicht addiert.

Ist A-2-3-4-5 wirklich eine Straße?

Ja, und sie ist der Grund, warum es zehn Rangfolgen gibt und nicht neun. Das Ass darf sowohl als niedrigste wie als höchste Karte spielen, die gültigen Folgen laufen also von A-2-3-4-5 bis 10-B-D-K-A: zehn insgesamt. Das ist in allen großen Regelwerken Standard. Nicht erlaubt ist der Umlauf über die Spitze: K-A-2-3-4 und D-K-A-2-3 sind keine Straßen, denn die Folge hat zwei Enden, und das Ass kann eines davon besetzen, sie aber nicht überbrücken. Lässt du die kleine Straße weg, sinkt die Straßenanzahl auf 9 180; erlaubst du den Umlauf, steigt sie auf 13 260. Keine der beiden Zahlen lässt die neun Kategorien zu 2 598 960 summieren — so fängt man den Fehler, ohne über die Regel zu streiten.

Warum steht ein Flush über einer Straße?

Weil er seltener ist, und deutlich: 5 108 Flushes gegen 10 200 Straßen, ein Flush ist also fast genau doppelt so schwer zu bekommen. Die Intuition, über die man stolpert: Es gibt nur vier Farben und dreizehn Ränge, Farben zu treffen müsste also leichter sein — doch ein Flush verlangt, dass alle fünf Karten in einer von vier Möglichkeiten übereinstimmen, während eine Straße nur verlangt, dass die fünf Ränge in ein Fenster von fünf aus dreizehn fallen, und jede Farbe völlig freilässt. Das Abzählen entscheidet: 4 × C(13,5) − 40 = 5 108 gegen 10 × 4^5 − 40 = 10 200. Rangfolgen im Poker sind nie Geschmackssache; jede Grenze der Tabelle ist ein Vergleich zweier Anzahlen.

Gelten diese Wahrscheinlichkeiten für Texas Hold'em?

Nein. Sie beschreiben ein zufällig ausgeteiltes Blatt aus genau fünf Karten, also Five Card Draw oder Stud, nicht Hold'em. Bei Hold'em bildet jeder Spieler die besten fünf aus sieben Karten, der Raum ist also C(52,7) = 133 784 560 und jede Kategorie wird wahrscheinlicher — ein Full House steigt von 0,14 % auf 2,60 %, ein Flush von 0,20 % auf 3,03 %. Das Aufzählen aller Sieben-Karten-Blätter liefert zudem zwei bemerkenswerte Umkehrungen: Eine Straße wird mit 6 180 020 seltener als ein Drilling mit 6 461 620, und High Card fällt vom häufigsten Ergebnis mit 50,1 % auf 17,4 % und damit unter zwei Paare. Die Rangordnung folgt dem nicht, denn sie ist durch die Fünf-Karten-Anzahlen festgelegt. Willst du Hold'em-Zahlen, nimm Hold'em-Zahlen; die Fünf-Karten-Tabelle ist dafür das falsche Werkzeug.

Wie prüfe ich eine irgendwo gefundene Wahrscheinlichkeitstabelle?

Addiere die Blattanzahlen. Kommen sie nicht auf genau 2 598 960, ist die Tabelle falsch, und die Größe der Abweichung benennt meist den Fehler. Eine Abweichung von genau 40 heißt, eine der beiden Straight-Flush-Subtraktionen fehlt. Eine Abweichung von 1 020 heißt, die kleine Straße wurde aus der Straßen-Zählung gestrichen, denn eine Rangfolge ist 4^5 − 4 = 1 020 Blätter wert, und 10 200 minus 9 180 ergibt genau das. Eine Abweichung von 3 060 in die andere Richtung heißt, die Zählung hat Folgen erlaubt, die über das Ass hinauslaufen. Gibt die Tabelle nur Prozente, multipliziere jeden mit 2 598 960 und prüfe, ob ganze Zahlen herauskommen; eine echte Zählung liefert immer ganze Zahlen. Prozente allein verbergen Fehler, die ganze Zahlen nicht verbergen können.