Kombinationen vs. Permutationen: Wann die Reihenfolge zählt
Veröffentlicht am 28.7.2025 · 3 Min. Lesezeit · Alltags-Rechner
Lena Hoffmann — Redakteurin Wissenschaft & Bildung bei Allin
Mathematik · Physik
Anhand von 2 Quellen geprüft
Eine Permutation zählt geordnete Anordnungen, eine Kombination dagegen ungeordnete Auswahlen. Nutze Permutationen (nPr = n! / (n − r)!), wenn die Reihenfolge zählt, etwa beim Platzieren der Läufer eines Rennens. Nutze Kombinationen (nCr = n! / (r! · (n − r)!)), wenn nur die Gruppe zählt, etwa bei der Wahl eines Ausschusses. Bei gleichem n und r gibt es stets mehr Permutationen als Kombinationen, weil jede Kombination auf r! Arten umgeordnet werden kann.
Der Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen hängt an einer Frage: Zählt die Reihenfolge? Lerne die Formeln nCr und nPr mit klaren Beispielen.
Die eine Frage, die entscheidet
Bevor du zu einer Formel greifst, frage, ob das Umordnen derselben Elemente ein neues Ergebnis liefert. Wenn ja, zählt die Reihenfolge und du brauchst eine Permutation. Ändert das Umordnen nichts, ist die Reihenfolge egal und du brauchst eine Kombination.
Ein Schnelltest: Ein Rennpodium ist eine Permutation, denn Gold, Silber und Bronze sind verschiedene Plätze. Eine Handvoll Lottozahlen ist eine Kombination, denn der Schein gewinnt unabhängig von der Ziehungsreihenfolge der Kugeln.
Die beiden Formeln nebeneinander
Die Permutationsformel lautet nPr = n! / (n − r)!, wobei n die Zahl der verfügbaren Elemente und r die Anzahl der angeordneten ist. Die Kombinationsformel teilt dieses Ergebnis durch r!, um die Reihenfolgen herauszukürzen: nCr = n! / (r! · (n − r)!). Genau dieses zusätzliche r! im Nenner macht Kombinationen stets zur kleineren Zahl.
Beachte, dass n! (n-Fakultät) das Produkt 1 × 2 × ... × n bedeutet und 0! per Definition 1 ist. Diese Konvention hält die Formeln gültig, wenn r gleich n ist, wo es genau eine Möglichkeit gibt, alles anzuordnen oder auszuwählen.
Ein Beispiel mit denselben Zahlen
Nimm 5 Personen und wähle 3. Die Permutationen sind nPr = 5! / (5 − 3)! = 120 / 2 = 60 geordnete Aufstellungen. Die Kombinationen sind nCr = 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 × 2) = 10 ungeordnete Gruppen. Das Verhältnis 60 / 10 = 6 ist genau 3! und bestätigt, dass jede Dreiergruppe auf 6 Arten geordnet werden kann.
Diese Beziehung verallgemeinert sich: nPr = nCr × r!. Sobald du eine Kombinationszahl hast, multipliziere mit r!, um die Permutationszahl zu erhalten, und teile durch r! für den umgekehrten Weg.
Mit unserem eigenen Rechner durchgerechnet
Kombinations-Rechner (nCr)
Eingaben
- n (gesamt)
- 20
- r (gewählt)
- 6
Ergebnis
- nCr
- 38.760
Diese Zahlen stammen aus dem Rechner unten, sie sind nicht von Hand eingetragen — sie werden bei jeder Änderung des Tools neu berechnet.
Mit eigenen Zahlen nachrechnen →Häufige Fragen
- Ist ein Schloss-„Code“ wirklich eine Kombination?
- Nein, mathematisch ist es eine Permutation. An einem Schloss öffnen 1-2-3 und 3-2-1 verschiedene Schlösser, also zählt die Reihenfolge und der korrekte Begriff ist trotz des Alltagsnamens Permutation.
- Welche ist bei gleichem n und r stets größer?
- Permutationen sind stets mindestens so groß, denn nPr = nCr × r!. Gleich sind sie nur, wenn r 0 oder 1 ist, da 0! und 1! beide 1 ergeben.
- Ändert Wiederholung die Formeln?
- Ja. Die Formeln hier setzen voraus, dass jedes Element höchstens einmal verwendet wird (ohne Wiederholung). Dürfen Elemente sich wiederholen, nutzt du andere Formeln, etwa n^r für geordnete Auswahlen mit Wiederholung.
- Wie hängt nCr mit dem Pascalschen Dreieck zusammen?
- Jeder Eintrag im Pascalschen Dreieck ist eine Kombinationszahl: der Wert in Zeile n, Position r, ist nCr. Deshalb erscheinen diese Zahlen als Koeffizienten bei der Entwicklung von (a + b)^n.
Artikel, die dich interessieren könnten
Alle Ratgeber →Ähnliche Tools
Quellen
Hast du einen Fehler in diesem Artikel entdeckt?