Warum ist 0! gleich 1?

Es gibt genau eine Anordnung der leeren Menge — nichts tun — also 0! = 1. Das hält auch n! = n x (n-1)! bei n = 1 gültig und lässt Kombinationen funktionieren.

Kann man die Fakultät einer negativen Zahl bilden?

Nicht mit der Standarddefinition — Fakultäten sind für nichtnegative ganze Zahlen definiert. Eine verwandte Funktion, die Gammafunktion, erweitert die Idee, aber das gewöhnliche n! endet bei 0.

Wie groß kann eine Fakultät werden, bevor ein Rechner überläuft?

Viele Taschenrechner enden bei etwa 69!, rund 1,7 x 10^98. Darüber hinaus braucht man Software für sehr große ganze Zahlen, da Fakultäten schneller wachsen als fast jede andere Funktion.

Was ist der Unterschied zwischen Fakultät und Potenz?

Eine Potenz wie 3^4 multipliziert dieselbe Zahl viermal (81). Eine Fakultät multipliziert absteigende Zahlen, also 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Fakultäten nutzen bei jedem Schritt eine andere Zahl und wachsen bei großen Werten viel schneller.

Was ist eine Fakultät? n! einfach erklärt

Veröffentlicht am 30.9.2025 · 2 Min. Lesezeit · Alltags-Rechner

Lena Hoffmann — Redakteurin Wissenschaft & Bildung bei OneKitly

Mathematik · Physik

Anhand von 2 Quellen geprüft

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Kurz gesagt

Eine Fakultät, geschrieben n!, ist das Produkt jeder ganzen Zahl von n bis 1. Zum Beispiel: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Per Definition ist 0! = 1. Fakultäten zählen die Anordnungen von n verschiedenen Objekten, weshalb sie im Kern von Permutationen und Kombinationen stehen.

Eine Fakultät multipliziert jede ganze Zahl bis 1. Erfahre, was n! bedeutet, wie schnell sie wächst und warum sie Permutationen antreibt.

Die Definition in einer Zeile

Für eine positive ganze Zahl n gilt n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1. So ist 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 und 6! = 720. Jede Fakultät baut auf der vorherigen auf: n! = n x (n-1)!, deshalb ist 5! einfach 5 mal 4!.

Der Wert, der irritiert, ist 0!, der 1 ist, nicht 0. Das wirkt seltsam, hält aber die rekursive Regel und die Kombinationsformeln am Laufen. Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts anzuordnen — die leere Anordnung — also ist 1 die konsistente Wahl.

Wie schnell Fakultäten wachsen

Fakultäten explodieren. 5! ist 120, 10! bereits 3.628.800 und 20! rund 2,43 Trillionen. Dieses Wachstum übertrifft jede Exponentialfunktion wie 2^n, weil jeder Schritt mit einer größeren Zahl multipliziert, nicht mit derselben. Deshalb ergibt schon das Anordnen weniger Objekte astronomisch viele Reihenfolgen.

Warum Fakultäten fürs Zählen zählen

Eine Fakultät beantwortet eine präzise Frage: In wie vielen Reihenfolgen lassen sich n verschiedene Objekte anordnen? Bei 3 Büchern sind es 3! = 6 Anordnungen. Permutationen von r aus n nutzen n! / (n-r)!, und Kombinationen — bei denen die Reihenfolge egal ist — nutzen n! / (r! (n-r)!). Beide Formeln bestehen ganz aus Fakultäten.

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Häufige Fragen

Warum ist 0! gleich 1?: Es gibt genau eine Anordnung der leeren Menge — nichts tun — also 0! = 1. Das hält auch n! = n x (n-1)! bei n = 1 gültig und lässt Kombinationen funktionieren.
Kann man die Fakultät einer negativen Zahl bilden?: Nicht mit der Standarddefinition — Fakultäten sind für nichtnegative ganze Zahlen definiert. Eine verwandte Funktion, die Gammafunktion, erweitert die Idee, aber das gewöhnliche n! endet bei 0.
Wie groß kann eine Fakultät werden, bevor ein Rechner überläuft?: Viele Taschenrechner enden bei etwa 69!, rund 1,7 x 10^98. Darüber hinaus braucht man Software für sehr große ganze Zahlen, da Fakultäten schneller wachsen als fast jede andere Funktion.
Was ist der Unterschied zwischen Fakultät und Potenz?: Eine Potenz wie 3^4 multipliziert dieselbe Zahl viermal (81). Eine Fakultät multipliziert absteigende Zahlen, also 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Fakultäten nutzen bei jedem Schritt eine andere Zahl und wachsen bei großen Werten viel schneller.

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Quellen

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