Sparplan: was du damit tatsächlich kaufst

Die Identität, die fast niemand ausspricht: deine Durchschnittskosten sind ein harmonisches Mittel

Angenommen, du gibst in jeder von n Perioden einen festen Betrag C aus, zu den Preisen p₁ … pₙ. Die in Periode i gekauften Anteile sind C ÷ pᵢ, die Gesamtanteile also C·Σ(1 ÷ pᵢ) und die Gesamtausgabe nC. Deine Durchschnittskosten je Anteil sind Zweiteres geteilt durch Ersteres: nC ÷ [C·Σ(1 ÷ pᵢ)] = n ÷ Σ(1 ÷ pᵢ). Dieser Ausdruck ist die Definition des harmonischen Mittels der Preise. Das C kürzt sich, das Ergebnis hängt also nicht davon ab, wie viel du investierst, sondern nur davon, dass der Betrag konstant ist.

Ändere nun die Regel. Kaufe je Periode eine feste Stückzahl U, statt einen festen Betrag auszugeben. Die Gesamtausgabe ist U·Σpᵢ, die Gesamtstückzahl nU, die Durchschnittskosten also Σpᵢ ÷ n — das arithmetische Mittel der Preise, das zugleich schlicht der Durchschnittspreis ist, den ein passiver Beobachter nennen würde. Die beiden Regeln erzeugen zwei verschiedene Mittelwerte genau derselben Preisreihe, und das ist der gesamte mathematische Gehalt des Sparplans.

Nimm einen konkreten Pfad aus zwölf Monatspreisen: 100, 84, 72, 95, 120, 140, 105, 88, 76, 92, 130, 118. Das arithmetische Mittel ist 101,6667. 200 € im Monat auszugeben kauft 24,575589 Anteile für 2 400 €, also Durchschnittskosten von exakt 97,6579 — und das harmonische Mittel dieser zwölf Preise ist 97,6579 bis zur letzten Stelle, die ein Rechner ausgibt. 2 Anteile im Monat zu kaufen kostet dagegen 2 440,00 € für 24 Anteile, im Mittel exakt 101,6667. Die Lücke beträgt 4,0088, also 4,10 Prozent des harmonischen Mittels, und sie entstand aus keinem anderen Grund als der Form der Ausgaberegel.

Warum das harmonische Mittel stets das niedrigere von beiden ist

Die Ungleichung ist keine empirische Regelmäßigkeit, sie ist ein Satz. Für beliebige positive Zahlen liefert die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Σpᵢ)·(Σ1÷pᵢ) ≥ n². Teile beide Seiten durch n²: (Σpᵢ ÷ n) · (1 ÷ [n ÷ Σ(1÷pᵢ)]) ≥ 1, also arithmetisches Mittel ÷ harmonisches Mittel ≥ 1. Gleichheit gilt nur, wenn jeder Preis identisch ist. Das harmonische Mittel ist somit höchstens gleich dem arithmetischen, immer, für jeden Preispfad, der je existierte oder existieren wird, ohne jede Annahme über Trend, Verteilung oder Marktrichtung.

Die Größe der Lücke steuert die Streuung der Preise. In guter Näherung ist die Differenz beider Mittel die Varianz der Preise geteilt durch ihr arithmetisches Mittel. Auf dem obigen Pfad beträgt die Grundgesamtheits-Standardabweichung der Preise 20,544 — ein Variationskoeffizient von 20,21 Prozent — und die Näherung liefert 20,544² ÷ 101,6667 = 4,151 gegen eine tatsächliche Lücke von 4,009. Auf einem ruhigeren Pfad aus 100, 102, 98, 101, 103, 99, 100, 102, 101, 99, 100, 101 beträgt das arithmetische Mittel 100,5000, das harmonische 100,4809, und die Lücke fällt auf 0,019 Prozent. Der Vorteil ist real, er ist proportional zur Preisstreuung, und bei einem ruhigen Wert rundet er sich auf nichts.

Was das harmonische Mittel nicht beweist

Der Vergleich, den der Satz anstellt, läuft zwischen einem Festbetrags- und einem Feststückzahlplan über dieselben Preise. Er ist kein Vergleich mit dem Investieren des gesamten Betrags an Tag eins, und ihn dafür zu halten ist der Ort, an dem fast die ganze Verwirrung zu diesem Thema wohnt. Den Durchschnittspreis zu schlagen ist leicht und ein wenig am Thema vorbei: Der Einmalanleger hat den Durchschnittspreis ebenfalls nicht gezahlt. Er zahlte den ersten Preis, 100, der auf diesem Pfad unter beiden Mitteln liegt.

Auf genau diesem Pfad gewinnt der Plan tatsächlich, und es lohnt zu sehen, warum das nichts belegt. Zwölf Zahlungen zu 200 € kaufen 24,575589 Anteile, die beim Schlusspreis 118 genau 2 899,92 € wert sind — ein Gewinn von 20,83 Prozent auf 2 400 € Einsatz. Dieselben 2 400 € zum Eröffnungspreis 100 kaufen 24 Anteile im Wert von 2 832,00 €, ein Gewinn von 18,00 Prozent. Der Plan liegt um 67,92 € vorn, weil dieser Pfad in der Mitte stark fiel und das Geld des Monatskäufers eintraf, als die Preise bei 72, 76 und 88 standen. Dreh den Pfad um, sodass er zuerst steigt und später fällt, und die Reihenfolge dreht sich mit. Ein Pfad beweist nichts; eine Verteilung schon.

Der ehrliche Vergleich: 200 000 simulierte Pfade

Die Parameter müssen genannt werden, denn sie sind Annahmen und keine Beobachtungen: zwölf Monate Horizont, 12 000 € Anlagesumme, lognormale Monatsrenditen mit einem arithmetischen Mittel von 8 Prozent pro Jahr und einer annualisierten Volatilität von 20 Prozent, sowie 2 Prozent pro Jahr auf noch nicht investierte Barmittel. Der Einmalanleger legt an Tag eins 12 000 € an. Der Plananleger legt zu Beginn jedes der zwölf Monate 1 000 € an und erhält den Barzins auf den wartenden Rest. Beide werden am Ende von Monat zwölf bewertet. Keine Gebühren, keine Steuern, kein Spread — sie hinzuzunehmen ändert die Richtung des Ergebnisses nicht.

Für die Erwartungswerte braucht es die Simulation nicht, was sie zugleich überprüfbar macht. Das erwartete investierte Vermögen des Plans ist Σ 1 000·(1,08)^((12−t)÷12) für t = 0 … 11, also 12 513,89 €, plus 110,39 € Barzinsen, ergibt 12 624,28 €. Der Erwartungswert der Einmalanlage ist schlicht 12 000 € × 1,08 = 12 960,00 €. Die Lücke beträgt 335,72 €, und die simulierten Mittelwerte, 12 623 € und 12 960 €, landen darauf. Der Grund ist nicht subtil: Jeder Euro im Plan ist im Schnitt 6,5 statt 12 Monate investiert, verdient also etwa die Hälfte der erwarteten Rendite, und die Hälfte des Geldes liegt derweil auf einem gering verzinsten Konto.

In der Verteilung verdient sich der Plan seinen Platz, und die Tabelle oben zeigt sie vollständig. Die Standardabweichung des Endvermögens des Plans beträgt 1 559 € gegen 2 625 € — 41 Prozent weniger. Sein fünftes Perzentil liegt bei 10 262 € gegen 9 142 €, im schlechtesten Pfad von zwanzig steht der Plan also um 1 120 € besser da. Sein fünfundneunzigstes Perzentil liegt bei 15 352 € gegen 17 661 €, im besten von zwanzig steht er also um 2 309 € schlechter da. Beide Aussagen sind dieselbe Aussage. Der Plan gab 2 309 € Aufwärtspotenzial her, um 1 120 € Abwärtsschutz zu kaufen, und lag in 44,43 Prozent der Pfade vorn.

Zwei Varianten schärfen das Bild. Erhöhe die Volatilität auf 40 Prozent, und der Plan gewinnt auf 53,39 Prozent der Pfade und beim Median — 12 187 € gegen 11 958 € —, während die Mittelwertlücke bei 340 € bleibt, weil den Mittelwert die Zeit im Markt bestimmt und den Median die Form der Verteilung. Setze die erwartete Rendite auf null, und der Plan gewinnt auf 57,47 Prozent der Pfade und auch im Mittel, mit 12 109 € gegen 12 000 €. Das ist die allgemeine Regel, sauber gesagt: Die Kosten des Plans sind die erwartete Rendite, auf die er durch Halten von Barmitteln verzichtet — wo es keine erwartete Rendite gibt, gibt es also keine Kosten. Entferne den Barzins von 2 Prozent, und der Mittelwert des Plans fällt auf 12 513 € und seine Gewinnquote auf 41,15 Prozent, eine Erinnerung daran, dass es Teil der Entscheidung ist, wo das Geld wartet.

Der wahre Grund, warum Leute es nutzen — und er ist gut

Das Erwartungswertargument unterstellt einen Anleger, der ruhig und einmalig ausführt, was die Arithmetik empfiehlt. Reale Anleger stehen vor einer Entscheidung, die sie immer wieder treffen müssen, und der gestufte Plan ist sehr oft der, den sie tatsächlich durchhalten. Die Ersparnis eines ganzen Jahres an einem einzigen Morgen in einen Markt zu geben verlangt eine Reuetoleranz, von der viele spät entdecken, dass sie sie nicht haben; ein bereits eingerichteter und automatisierter Plan verlangt in dem Monat, in dem die Preise fallen, überhaupt nichts — genau in dem Monat, in dem ein diskretionärer Anleger aufhört.

Das ist ein realer Vorteil, und er ist nirgends in der Tabelle oben gemessen, denn die Simulation vergleicht zwei Pläne, die beide ausgeführt werden. Der Vergleich, vor dem eine Privatperson tatsächlich steht, läuft oft zwischen einem ausgeführten gestuften Plan und einer aufgegebenen Einmalanlage — und gegen einen Plan, der nie stattfindet, sind 12 623 € eine sehr gute Zahl. Die ehrliche Formulierung lautet daher: Die erwarteten Kosten des Stufens betragen unter diesen Annahmen rund 337 € auf 12 000 € in einem Jahr, also 2,8 Prozent der Summe, und das ist der Preis für einen Plan, den du durchhältst. Ob er das wert ist, ist eine Frage über dich, nicht über die Arithmetik.

Der Fall, in dem er tatsächlich überlegen ist

Alles Obige vergleicht einen Plan mit einer Einmalanlage. Dieser Vergleich setzt voraus, dass eine Summe existiert. Für die meisten, die aus dem Einkommen sparen, existiert sie nicht: Das Geld kommt monatlich, und der Beitrag jedes Monats wird angelegt, sobald es ihn gibt. Es wird keine Alternativstrategie aufgegeben, kein Geld liegt untätig, keine erwartete Rendite wird abgetreten. Die Ersparnis jedes Monats in dem Monat anzulegen, in dem sie anfällt, ist schlicht sofortiges Anlegen — es ist die Einmalanlagestrategie, zwölfmal auf zwölf kleine Summen angewandt.

Die Unterscheidung zählt, weil beide Situationen denselben Namen tragen und nur eine Kosten verursacht. Hast du geerbt, etwas verkauft oder einen Bonus erhalten, und das Geld liegt auf einem Konto, hat das Stufen messbare erwartete Kosten und kauft eine messbare Streuungsminderung; beides kannst du mit den Zahlen oben gegeneinander abwägen. Legst du einen Anteil jedes Monatsgehalts an, gibt es nichts abzuwägen. Der Harmonisch-Mittel-Effekt ist dann ein echter und kostenloser Bonus: Deine Durchschnittskosten über das Jahr liegen dennoch unter dem Durchschnittspreis, ohne jede Ausgabe, allein weil ein fester Beitrag mehr Anteile kauft, wenn die Preise niedrig sind.

Häufige Fragen

Schlägt der Sparplan die Einmalanlage?

Nicht beim erwarteten Endvermögen, unter den hier verwendeten Annahmen. Über zwölf Monate mit 12 000 €, angenommenen 8 Prozent Durchschnittsrendite, 20 Prozent Volatilität und 2 Prozent auf wartende Barmittel liefert die Einmalanlage im Schnitt 12 960 € und der Monatsplan 12 623 € — ein Rückstand von 337 €, also 2,8 Prozent der Summe. Der Grund ist die Zeit im Markt: Jeder Euro im Plan ist im Schnitt 6,5 statt 12 Monate investiert. Der Plan gewinnt auf 44,43 Prozent der 200 000 simulierten Pfade. Er kauft dafür eine um 41 Prozent niedrigere Standardabweichung und ein um 1 120 € besseres fünftes Perzentil. Setzt man die erwartete Rendite auf null, gewinnt der Plan auch im Mittel, mit 12 109 € gegen 12 000 € — was zeigt, dass die Kosten genau die entgangene Rendite sind, nicht mehr.

Ist der Vorteil des harmonischen Mittels real oder ein Darstellungstrick?

Er ist real und beweisbar, beantwortet aber eine engere Frage, als es scheint. Es ist ein Satz, dass das Ausgeben eines festen Betrags Durchschnittskosten gleich dem harmonischen Mittel der Preise erzeugt, das nie über dem arithmetischen liegt — 97,66 gegen 101,67 auf dem Pfad dieses Artikels, ein Vorteil von 4,10 Prozent. Das ist eine wahre Aussage über deine Kosten im Verhältnis zum Durchschnittspreis desselben Fensters. Es ist keine Aussage über deine Kosten im Verhältnis zu irgendeiner anderen Strategie; insbesondere zahlte der Einmalkäufer den ersten Preis, nicht den durchschnittlichen, der Satz sagt also nichts darüber, wer von euch besser fährt. Die Lücke schrumpft zudem auf fast nichts, wenn die Preise stabil sind: auf einem ruhigen Pfad dieses Artikels betrug sie 0,019 Prozent.

Über wie viele Perioden sollte ich das Geld strecken?

Die beiden Effekte ziehen in entgegengesetzte Richtungen und skalieren beide mit der Länge des Plans. Ein längerer Plan lässt mehr Geld länger in bar, die erwarteten Kosten steigen also etwa proportional; unter den hiesigen Annahmen kostet das Strecken von 12 000 € über zwölf Monate rund 337 € im Erwartungswert, und ein doppelt so langer Plan ließe jeden Euro im Schnitt 12,5 von 24 statt 6,5 von 12 Monaten investiert und entsprechend mehr kosten. Ein längerer Plan senkt auch die Streuung weiter, allerdings mit abnehmendem Ertrag, da ein Großteil der Varianzminderung schon in den ersten Raten erreicht ist. Ein für alle gültiges Optimum gibt es nicht, denn der Handel setzt eine berechenbare Größe gegen eine Toleranz, die nur du beurteilen kannst. Zu vermeiden ist ein so langer Plan, dass die Barquote statt der Anlage das Ergebnis bestimmt.

Hat ein Monatsplan aus dem Gehalt denselben Nachteil?

Nein, und das ist die wichtigste Unterscheidung des Themas. Die erwarteten Kosten eines gestuften Plans sind die Rendite, auf die man verzichtet, indem man Geld in bar hält statt es anzulegen. Existiert das Geld noch nicht — weil es mit jedem Monatsgehalt eintrifft —, liegt nichts untätig und es wird auf nichts verzichtet. Den Beitrag jedes Monats bei Ankunft anzulegen ist sofortiges Anlegen, kein Stufen. In dieser Lage ist der Harmonisch-Mittel-Effekt ein kostenloser Bonus: Deine Durchschnittskosten über das Jahr liegen unter dem Durchschnittspreis, allein weil ein fester Beitrag mehr Anteile kauft, wenn die Preise niedrig sind. Der Einmalanlagevergleich greift schlicht nicht, denn es gab nie eine Summe zu investieren.

Ändern Transaktionsgebühren das Ergebnis?

Sie wirken in dieselbe Richtung wie der Renditeeffekt, vergrößern die Lücke also, statt sie zu schließen. Ein Plan tätigt zwölf Käufe, wo eine Einmalanlage einen tätigt, jede Pauschale je Order wird also zwölfmal gezahlt; 2 € je Order kosten 24 € gegen 2 €, auf 12 000 € sind das weitere 0,18 Prozent, die weggegeben werden. Prozentuale Provisionen und Spreads sind weitgehend neutral, da sie mit dem gehandelten Betrag skalieren und nicht mit der Zahl der Geschäfte. Praktische Folgen: für einen regelmäßigen Plan einen Anbieter ohne Orderpauschale bevorzugen und sehr häufigen Plänen misstrauen — ein Wochenplan zahlt das Vierfache der Fixkosten eines Monatsplans für eine nur kleine zusätzliche Streuungsminderung.