Verdopple die Fallhöhe: Die Geschwindigkeit steigt um 41 %, die Energie verdoppelt sich

Die Luft fehlt in dieser Rechnung

Alles Vorstehende setzt Vakuum voraus, und wie schlecht diese Annahme trägt, hängt vom Objekt und der Strecke ab. Für etwas Kompaktes und Dichtes über die ersten zwanzig oder dreißig Meter liegt die Antwort nahe; für ein Blatt Papier oder eine Feder ist sie sofort falsch, denn der Luftwiderstand wächst mit der Fläche, die Schwerkraft mit der Masse. Der Widerstand wächst außerdem etwa mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, sodass ein hinreichend langer Fall ganz aufhört zu beschleunigen. In der Vakuumrechnung erreicht ein Körper 50 Meter je Sekunde nach rund 127 Metern Fall; in Luft ist die Beschleunigung längst erloschen, und die wirkliche Antwort auf solchen Strecken braucht den Widerstandsterm, nicht diese Formel.

Die Masse kommt nicht vor, und das ist der Punkt

Weder Zeit noch Geschwindigkeit enthalten die Masse des Objekts — deshalb landen im Vakuum Hammer und Feder gleichzeitig, ein Ergebnis, das 1971 auf dem Mond gerade deshalb vorgeführt wurde, weil es dort keine Luft gibt, die es verdirbt. Ändere dagegen g, und alles verschiebt sich: Derselbe Fall aus 20 Metern bei den 1,62 m/s² des Mondes dauert 4,97 Sekunden und endet bei 8,05 Metern je Sekunde, also 29 km/h. Die Masse kehrt erst zurück, wenn nach der Energie gefragt wird, denn die ist mgh — und sie kehrt auch in Luft zurück, weil ein schwereres Objekt gleicher Form eine höhere Endgeschwindigkeit erreicht.

Häufige Fragen

Warum ist g 9,81 und nicht genau 9,8?

Weil es eine Messung ist und keine Definition, und weil sie vom Standort abhängt. Die Erde ist keine perfekte Kugel und sie rotiert, also ist die Schwerkraft nahe den Polen stärker als am Äquator und nimmt mit der Höhe ab. Der genormte Konventionswert ist 9,80665 m/s², und 9,81 ist dessen Rundung. Bei einem Fall aus 20 Metern ändert die Schwankung über den Planeten die Antwort um weniger als eine hundertstel Sekunde: Jeder dieser Werte genügt — die Zahl zählt bei einer Schweremessung, nicht bei einem fallenden Gegenstand.

Ändert ein anfänglicher Schub nach unten viel?

Bei kurzen Fällen weniger, als die Intuition erwartet, denn die Geschwindigkeiten addieren sich quadratisch, nicht direkt. Wirft man ein Objekt aus 20 Metern mit 5 m/s nach unten, ergibt sich eine Aufprallgeschwindigkeit von √(19,81² + 5²) = 20,43 m/s, rund 3 % mehr. Für die Zeit wiegt der Schub deutlich schwerer — dort holt das geworfene Objekt seinen Vorsprung. Für einen waagerechten Wurf zählt er gar nicht, da die Seitwärtsbewegung die Falldauer nicht beeinflusst. Genau deshalb erreichen eine waagerecht abgefeuerte und eine aus gleicher Höhe fallengelassene Kugel den Boden gemeinsam.