Der schiefe Wurf erklärt: Wurfweite, Höhe, Flugzeit — und warum 45° nicht immer optimal ist

Zwei unabhängige Bewegungen, verbunden durch eine einzige Uhr

Zerlege die Abwurfgeschwindigkeit in Komponenten: waagerecht v₀ cos θ, senkrecht v₀ sin θ. In der Luft schiebt nichts seitwärts, also bleibt die waagerechte Komponente konstant und die waagerechte Strecke ist schlicht Geschwindigkeit mal Zeit. Senkrecht ist es ein Fallproblem mit Startschwung nach oben. Die beiden Achsen sprechen nur über die gemeinsame Zeit miteinander, und allein daraus entstehen alle drei Formeln. Die Flugzeit ergibt sich aus der Rückkehr der senkrechten Achse auf null: T = 2v₀ sinθ/g. Diese Zeit in die waagerechte Achse eingesetzt liefert die Weite v₀ cos θ × T, die die Trigonometrie zu v₀² sin(2θ)/g zusammenzieht.

Die Unabhängigkeit beider Achsen hat eine kontraintuitive Folge: eine waagerecht abgeschossene Kugel und eine aus derselben Höhe schlicht fallen gelassene Kugel treffen gleichzeitig auf. Die waagerechte Geschwindigkeit kauft Weite, nie Flugdauer. Ebenso erklärt sie, dass allein die senkrechte Komponente Gipfel und Dauer festlegt, während allein die waagerechte diese Dauer in Weite verwandelt. Vermischt eine Aufgabe beide — setzt man 20 m/s dorthin, wo nur die senkrechte Komponente von 10,0 m/s eines 30-Grad-Wurfs hingehört — sind alle folgenden Zahlen um denselben trigonometrischen Faktor falsch.

Warum 45° die Weite maximiert und warum komplementäre Winkel gleichziehen

Die Weitenformel enthält den Winkel nur über sin(2θ), und ein Sinus erreicht seinen Höchstwert 1, wenn sein Argument 90 Grad beträgt — also bei θ = 45°. Dort schrumpft die Weite auf v₀²/g, bei 20 m/s auf 40,79 m. Derselbe Ausdruck erklärt die Gleichstände: sin(2θ) nimmt bei θ und bei 90° − θ denselben Wert an, denn 2(90° − θ) = 180° − 2θ, und der Sinus eines Winkels gleicht dem seines Supplements. So landen 30° und 60° beide bei 35,32 m, 15° und 75° beide bei 20,39 m, bei gleicher Abwurfgeschwindigkeit.

Gleiche Weite heißt nicht gleiche Bahn, und die Wahl zwischen zwei gleichauf liegenden Winkeln ist eine echte Entscheidung. Der 60-Grad-Wurf erreicht 15,30 m und bleibt 3,53 s oben; der 30-Grad-Wurf gipfelt bei 5,10 m und ist nach 2,04 s unten. Wer auf eine Base wirft, will die flache Variante, denn Zeit in der Luft ist Zeit für den Läufer; ein Geschütz, das über einen Grat schießt, will die steile. Wissenswert ist auch, wie flach das Maximum ist: 40° und 50° liefern beide 40,17 m, nur 1,5 Prozent unter dem bestmöglichen 40,79 m — zwei Grad Zielfehler kosten also fast nichts.

Die Annahme, die fast jedes reale Beispiel verletzt

R = v₀² sin(2θ)/g wird hergeleitet, indem man fragt, wann der Körper auf seine Abwurfhöhe zurückkehrt. Fast nichts tut das. Ein Ball verlässt die Hand auf Schulterhöhe und landet im Gras; eine Kugel wird über dem Boden gestoßen; ein Stein wird von einer Klippe geworfen. Bei Abwurfhöhe h wird die Flugzeit zu t = (v₀ sinθ + √(v₀² sin²θ + 2gh))/g und die Weite zu v₀ cos θ × t. Für 20 m/s unter 45° aus 2,00 m sind das 42,70 m statt 40,79 m — 4,7 Prozent weiter, und die Formel für ebenen Boden untertreibt jedes Mal.

Auch der optimale Winkel wandert. Von einer Höhe aus erfüllt der beste Winkel sin²θ = v₀²/(2v₀² + 2gh), in diesem Beispiel 43,66° bei einer Weite von 42,74 m. Der Gewinn gegenüber schlichtem Beibehalten von 45° beträgt vier Zentimeter — in der Praxis zählt die Höhe also weit mehr als das Nachoptimieren des Winkels. Der Luftwiderstand ist die zweite Auslassung und für alles Leichte oder Schnelle die gewichtigere: ein tatsächlich geworfener Ball verliert Weite, und sein bester Winkel sinkt deutlich unter 45°. Deshalb sind die Formeln hier als widerstandsfreie Idealisierung ausgewiesen und nicht als Beschreibung eines realen Wurfs.

Häufige Fragen

Sind 45 Grad immer der beste Abwurfwinkel?

Nur wenn Abwurf und Landung auf gleicher Höhe liegen und der Luftwiderstand ignoriert wird. Hebt man den Abwurfpunkt, sinkt das Optimum unter 45°: aus 2,00 m bei 20 m/s liegt der beste Winkel bei 43,66°. Kommt Luftwiderstand hinzu, sinkt es weiter, denn eine flachere Bahn wird kürzer abgebremst. Zielt man unter den Abwurfpunkt, steigt das Optimum dagegen über 45°. Das 45-Grad-Ergebnis ist die saubere Folge einer sauberen Annahme, keine allgemeingültige Faustregel.

Fliegt ein schwereres Geschoss weniger weit?

In den idealisierten Formeln nicht: Die Masse taucht weder in R noch in H noch in T auf, also folgen zwei mit gleicher Geschwindigkeit und gleichem Winkel abgeworfene Körper identischen Bahnen, gleich was sie wiegen. In Wirklichkeit entscheidet der Luftwiderstand — und zwar zugunsten des schwereren: Die bremsende Kraft hängt von Größe und Form ab, die ihr entgegenstehende Trägheit von der Masse, sodass ein dichter Körper gleicher Form weniger gebremst wird. Deshalb fliegt eine Stahlkugel weiter als eine gleich große Plastikkugel bei identischem Wurf, obwohl die widerstandsfreien Formeln Gleichstand vorhersagen.

Wie groß ist die Geschwindigkeit im höchsten Bahnpunkt?

Nicht null — das ist der klassische Patzer. Im Scheitel ist nur die senkrechte Komponente verschwunden; die waagerechte v₀ cos θ bleibt unberührt, denn waagerecht hat nichts gewirkt. Ein Abwurf mit 20 m/s unter 30° fliegt im Gipfel noch mit 20 × cos 30° = 17,32 m/s, unter 60° immerhin mit 10,0 m/s. Auch die Beschleunigung im Scheitel ist nicht null: Es sind die vollen 9,80665 m/s² nach unten — genau deshalb bleibt die senkrechte Geschwindigkeit nicht bei null.