Die vier kinematischen Gleichungen: welche wann, und was jede weglässt

Fünf Variablen, vier Gleichungen, in jeder fehlt eine

Physikalisch steckt hier nur eines dahinter — Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit, und die Verschiebung ist die Fläche unter einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm — und die vier Gleichungen sind vier Schreibweisen davon. Nur zwei sind unabhängig; die anderen beiden entstehen, indem man zwischen den ersten beiden eine Variable eliminiert. Deshalb fehlt in jeder Gleichung genau eine der fünf Größen: die fehlende ist die eliminierte.

Daraus folgt eine Auswahlregel, die das ganze Thema mechanisch macht. Lies die Aufgabe, markiere die gegebenen Variablen und die gesuchte: eine der fünf bleibt unberührt. Diese unberührte Variable benennt deine Gleichung. Ein Auto, das aus 25 m/s mit 5,00 m/s² Verzögerung bis zum Stillstand abbremst, sagt nichts über die Zeit und fragt nichts danach — also v² = v₀² + 2aΔx, und die Antwort steht in einer Zeile: 62,5 m. Verdoppelt man die Ausgangsgeschwindigkeit auf 50 m/s, vervierfacht sich der Weg auf 250 m, denn die Verschiebung geht mit dem Quadrat der Geschwindigkeit — das Nützlichste, was diese Gleichung lehrt.

Der freie Fall sind dieselben vier Gleichungen mit bereits bekanntem a

Der freie Fall ist kein eigenes Thema. Er ist der Fall konstanter Beschleunigung, bei dem a bereits vorliegt: nahe der Erdoberfläche ist die Normfallbeschleunigung als genau 9,80665 m/s² definiert. Lässt du etwas aus der Ruhe über 45,0 m fallen und ist keine Zeit angegeben, liefert v² = v₀² + 2aΔx den Wert v = √(2 × 9,80665 × 45,0) = 29,71 m/s; willst du stattdessen die Zeit, wird Δx = ½at² zu t = √(2 × 45,0 / 9,80665) = 3,029 s. Setzt man diese Zeit in v = at ein, kommt wieder 29,71 m/s heraus — das ist die Kontrolle, die sich lohnt.

Die Zahl 9,80665 m/s² ist eine festgelegte Konvention, keine Messung an deinem Ort. Die tatsächliche örtliche Schwere schwankt mit Breite und Höhe um einige Promille, weit unterhalb der Genauigkeit jeder Aufgabe, die mit dem Satz beginnt, der Luftwiderstand werde vernachlässigt. Genau diese zweite Annahme begrenzt das Ergebnis wirklich: ein dichter, kompakter Körper über einige zehn Meter wird gut beschrieben, während ein Blatt Papier oder alles, was viele Sekunden fällt, eine Endgeschwindigkeit erreicht, von der die Gleichungen nichts wissen.

Die Annahme, die alle vier gültig macht

Jede dieser Gleichungen setzt voraus, dass die Beschleunigung über das gesamte Intervall konstant ist. Das ist keine Formalie, die man stillschweigend übergehen darf. Die vierte Form, Δx = ½(v₀ + v)t, sieht aus, als benutze sie bloß eine Durchschnittsgeschwindigkeit und müsse daher allgemein gelten — doch das arithmetische Mittel aus Anfangs- und Endgeschwindigkeit ist nur dann die wahre Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn sich die Geschwindigkeit linear ändert, also genau im Fall konstanter Beschleunigung. Wende sie auf ein Auto an, das erst kräftig beschleunigt und dann ausrollt, und sie liefert klaglos die falsche Strecke.

Wenn die Beschleunigung wirklich variiert, ist die ehrliche Abhilfe, die Bewegung in Abschnitte zu zerlegen, in denen sie näherungsweise konstant ist, die Gleichungen auf jeden anzuwenden und die Verschiebungen zu addieren. So wird ein Anhalteweg tatsächlich berechnet: eine Reaktionsphase bei konstanter Geschwindigkeit, dann eine Bremsphase bei ungefähr konstanter Verzögerung. Ändert sich die Beschleunigung stetig und brauchst du mehr, hört die Sache auf, Algebra zu sein, und wird Analysis — Geschwindigkeit als Integral der Beschleunigung, Verschiebung als Integral der Geschwindigkeit — und die vier Formeln sind schlicht die geschlossene Lösung des Sonderfalls mit konstantem Integranden.

Häufige Fragen

Warum gibt es vier Gleichungen statt einer?

Weil sich fünf Variablen, die durch zwei unabhängige Beziehungen verknüpft sind, auf vier nützliche Arten kombinieren lassen, wobei jede Kombination eine andere Variable eliminiert. Mit allen vieren löst sich jede lösbare Aufgabe in einem statt in zwei Schritten. Man käme auch mit v = v₀ + at und Δx = v₀t + ½at² aus, doch jede Aufgabe ohne Zeitangabe zwänge dann zuerst zum Lösen einer quadratischen Gleichung — genau die Mehrarbeit, die v² = v₀² + 2aΔx erspart.

Ist Verzögerung eine negative Beschleunigung?

Nur bezogen auf die Richtung, die du positiv genannt hast. Beschleunigung ist ein Vektor: entscheidend ist, ob sie in Bewegungsrichtung zeigt oder ihr entgegen. Ein Auto, das in positiver Richtung fahrend bremst, hat ein negatives a; dasselbe Auto, das rückwärts fahrend bremst, hat ein positives a, obwohl es weiterhin langsamer wird. Die sichere Gewohnheit: eine Achse zeichnen, die positive Richtung festlegen und die Vorzeichen von v₀, v und a aus dieser Festlegung folgen lassen statt aus den Worten der Aufgabe.

Gelten diese Gleichungen auch in zwei Dimensionen?

Ja, getrennt auf jede Achse angewandt. Horizontale und vertikale Bewegung sind unabhängig: Du schreibst einen Satz Gleichungen für x und einen für y, und das Einzige, was beide teilen, ist die verstrichene Zeit t. Genau so wird der schiefe Wurf gelöst: die horizontale Beschleunigung ist null, also x = v₀ cos θ × t, während die vertikale Achse die volle Fallbeschleunigung trägt. Mische nie Komponenten innerhalb einer Gleichung — eine Geschwindigkeit von 20 m/s unter 30 Grad ist keine Zahl, die man in der vertikalen Gleichung für v₀ einsetzen darf, nur ihre vertikale Komponente von 10,0 m/s.