Wie der Doppler-Effekt funktioniert: die Formel, die Vorzeichenregel und warum eine bewegte Quelle nicht dasselbe ist wie ein bewegter Hörer

Eine Formel, eine Vorzeichenregel, genannt vor jeder Zahl

Schreibe den akustischen Doppler-Effekt ein einziges Mal als f' = f(v + v_o)/(v − v_s). Dabei ist f die von der Quelle abgestrahlte Frequenz, f' die vom Beobachter gehörte und v die Schallgeschwindigkeit im Medium — 343 m/s in Luft bei 20 °C. Die beiden übrigen Symbole sind vorzeichenbehaftete Geschwindigkeiten gegenüber dem Medium, nicht gegeneinander: v_o ist die Geschwindigkeitskomponente des Beobachters zur Quelle hin, positiv beim Annähern und negativ beim Entfernen; v_s ist die der Quelle zum Beobachter hin, ebenfalls positiv beim Annähern. Ein positives v_s verkleinert den Nenner und erhöht die Tonhöhe — das ist die physikalische Kontrolle, die vor jedem Vertrauen in ein Ergebnis stehen sollte.

Rechne es an einem Kammerton a, f = 440 Hz, durch. Eine mit 30 m/s herannahende Quelle ergibt f' = 440 × (343 + 0)/(343 − 30) = 440 × 343/313 = 482,17 Hz. Dieselbe Quelle im Wegfahren bedeutet v_s = −30, also f' = 440 × 343/373 = 404,61 Hz. Über die Vorbeifahrt fällt die Tonhöhe um 77,56 Hz, ein Frequenzverhältnis von 1,1917, auf der Musikskala 304 Cent — fast genau drei Halbtöne. Genau dieses Intervall hört man, wenn ein Auto mit 108 km/h vorbeifährt, und es lohnt sich als Plausibilitätskontrolle zu merken: Liefert ein Rechner für ein Straßenfahrzeug einen halben Halbton oder gleich eine Oktave, stimmt etwas mit den Einheiten nicht.

Bewegte Quelle und bewegter Hörer liefern verschiedene Zahlen

Die eine kombinierte Formel verdeckt eine echte Asymmetrie. Bewegt sich die Quelle, läuft sie ihren eigenen Wellen nach und verkürzt die Wellenlänge in der Luft wirklich: Eine 440-Hz-Quelle hat in Ruhe λ = 343/440 = 0,7795 m, und bei Annäherung mit 30 m/s sendet sie λ' = (343 − 30)/440 = 0,7114 m aus. Der ruhende Hörer trifft diese kürzeren Wellen mit den unveränderten 343 m/s und hört 343/0,7114 = 482,17 Hz. Bewegt sich stattdessen der Hörer, bleibt die Wellenlänge in der Luft bei 0,7795 m; der Hörer läuft den Wellenbergen lediglich mit einer Annäherungsgeschwindigkeit von 343 + 30 = 373 m/s entgegen und hört 373/0,7795 = 478,48 Hz. Zwei verschiedene Mechanismen, zwei verschiedene Zahlen, bei denselben 30 m/s.

Der Abstand wächst mit der Geschwindigkeit. Bei 10 m/s beträgt er 0,39 Hz und ist kaum hörbar; bei 30 m/s 3,69 Hz; bei 50 m/s 10,95 Hz, also 515,09 gegen 504,14, das sind 37 Cent — etwa ein Drittel Halbton und für ein geschultes Ohr deutlich hörbar. Eine Feinheit, die man sorgfältig aussprechen sollte, weil man leicht zu viel behauptet: Das Verhältnis zwischen der annähernden und der sich entfernenden Tonhöhe ist in beiden Fällen dasselbe, (v + Geschwindigkeit)/(v − Geschwindigkeit); eine Vorbeifahrt überstreicht also dasselbe musikalische Intervall, gleich wer sich bewegt. Verschieden ist, wo dieses Intervall gegenüber dem ausgesandten Ton liegt. Nenne, welcher der beiden sich bewegt, sonst stimmt die Antwort nur ungefähr.

Wo die Schallformel endet: Mach 1, das Wetter und das Licht

Treibe v_s gegen v, und der Nenner bricht zusammen. Eine 440-Hz-Quelle, die sich mit 300 m/s nähert, wird bei 3 510 Hz gehört; bei 340 m/s bei 50 307 Hz; bei genau 343 m/s teilt der Ausdruck durch null. Physikalisch hält die Quelle nun mit ihren eigenen Wellenfronten Schritt, diese türmen sich zu einem einzigen Stoß auf, und das glatte Doppler-Bild beschreibt nichts mehr. Darüber hinaus liefert die Formel negative Frequenzen — die Art der Algebra mitzuteilen, dass sie ihren Gültigkeitsbereich verlassen hat. Eine zweite, leisere Abhängigkeit ist das Medium selbst: v = 331,3 × √(1 + T/273,15) für trockene Luft, die Schallgeschwindigkeit beträgt also 325,18 m/s bei −10 °C und 351,89 m/s bei 35 °C. Dieselbe Annäherung mit 30 m/s ergibt dann 484,72 Hz an einem kalten und 481,01 Hz an einem heißen Tag. Auch ein stetiger Wind zählt, denn v_o und v_s sind gegenüber der Luft definiert, nicht gegenüber dem Boden.

Licht ist ein anderes Problem, nicht dieselbe Formel mit größerem v. Schall braucht ein Medium, und gerade das erlaubt es, den Quellenfall vom Beobachterfall zu unterscheiden; Licht hat keines, also existiert nur die Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter, und beide Fälle müssen identische Antworten geben. Genau das leistet die relativistische longitudinale Doppler-Formel: f' = f√((1 + β)/(1 − β)) bei Annäherung, mit β = v/c, und der Kehrwert beim Entfernen. Bei β = 0,1 beträgt der exakte Faktor 1,105542, während die dem Schall nachgebildeten Abkürzungen 1/(1 − β) = 1,111111 für eine bewegte Quelle und 1 + β = 1,100000 für einen bewegten Beobachter liefern. Keiner davon stimmt, und sie widersprechen einander — das denkbar deutlichste Zeichen, dass die akustische Gleichung nicht übertragbar ist. Bei β = 0,5 wird eine sich nähernde Quelle um den Faktor 1,732 blauverschoben und eine sich entfernende auf 0,577 rotverschoben.

Häufige Fragen

Warum sinkt die Tonhöhe der Sirene, wenn der Rettungswagen vorbeifährt?

Weil das Vorzeichen von v_s im Moment der Vorbeifahrt umspringt. Beim Herannahen läuft der Rettungswagen seinem eigenen Schall nach, die bei dir ankommende Wellenlänge ist gestaucht, die Tonhöhe steigt; ist er vorbei, entfernt er sich von dem Schall, den er aussendet, die Wellenlänge dehnt sich, und die Tonhöhe fällt. Eine 700-Hz-Sirene auf einem Fahrzeug mit 25 m/s wird beim Annähern bei 755,0 Hz und danach bei 652,4 Hz gehört, ein Abfall von 102,6 Hz. Die Sirene selbst ändert sich nie; am Schall, der das Fahrzeug verlässt, ist vorher und nachher nichts anders. Der Abfall verläuft auch nicht gleichmäßig — am schnellsten geschieht er beim engsten Vorbeifahren, denn dort kippt die Geschwindigkeitskomponente entlang der Linie zu deinem Ohr von positiv nach negativ.

Welche Schallgeschwindigkeit setze ich in die Formel ein?

Die Geschwindigkeit in dem Medium, das die Welle tatsächlich durchläuft, bei dessen tatsächlicher Temperatur. Für trockene Luft gilt v = 331,3 × √(1 + T/273,15) m/s, also 331,3 m/s bei 0 °C, 343,2 m/s bei 20 °C und 351,9 m/s bei 35 °C — die 343 m/s der Lehrbücher sind ein Raumtemperaturwert, keine Konstante. Die Wirkung auf das Ergebnis ist mäßig, aber real: Eine 440-Hz-Quelle, die sich mit 30 m/s nähert, wird bei −10 °C mit 484,72 Hz und bei 35 °C mit 481,01 Hz gehört. Druck und Höhe spielen für Luft kaum eine Rolle, das Medium dagegen schon: In Wasser läuft Schall mit rund 1 480 m/s, eine Doppler-Verschiebung unter Wasser bei gleicher Quellgeschwindigkeit ist daher etwa 4,6-mal kleiner.

Kann ich dieselbe Doppler-Formel für Licht verwenden?

Nein. Die akustische Formel unterscheidet bewegte Quelle und bewegten Beobachter, weil sich Schall in einem Medium ausbreitet, das ein Ruhesystem festlegt; Licht hat kein Medium, also ist nur die Relativgeschwindigkeit physikalisch sinnvoll und beide Fälle müssen übereinstimmen. Der richtige longitudinale Ausdruck lautet f' = f√((1 + β)/(1 − β)) bei Annäherung und f√((1 − β)/(1 + β)) beim Entfernen, mit β = v/c. Bei β = 0,1 ergibt das den Faktor 1,105542, während die akustischen Abkürzungen je nach gedachtem bewegtem Körper 1,111111 und 1,100000 liefern — voneinander verschieden und beide falsch. Bei Alltagsgeschwindigkeiten stimmen alle drei auf wenige Millionstel überein, weshalb Radarpistolen die einfache Form verwenden dürfen; bei nennenswerten Bruchteilen von c nicht mehr.