Das Hookesche Gesetz erklärt: F = kx, echte Federkonstanten und die Grenze der Gültigkeit

F = kx: welche Kraft, welches Vorzeichen, welche Einheiten

In F = kx ist x nicht die Länge der Feder. Es ist die Auslenkung aus ihrer natürlichen, unbelasteten Länge, und vom Tisch oder vom oberen Windungsrand zu messen ist der häufigste Aufbaufehler des ganzen Themas. Die Konstante k wird in Newton pro Meter gemessen: Eine Feder mit k = 200 N/m braucht 200 N für einen ganzen Meter Dehnung oder 2,00 N für 1,00 cm. Hänge eine Masse von 1,00 kg daran, dann ist die aufgebrachte Kraft deren Gewicht, mg = 1,00 × 9,80665 = 9,80665 N mit der Normfallbeschleunigung des NIST, und die Feder stellt sich bei x = 9,80665 / 200 = 0,0490 m ein, knapp unter 5 cm.

Man sieht das Gesetz sowohl als F = kx als auch als F = −kx, und beides stimmt, weil verschiedene Kräfte gemeint sind. F = kx ist die Kraft, die du aufbringst, um die Feder bei der Dehnung x zu halten; F = −kx ist die Rückstellkraft, die die Feder ausübt, und das Minuszeichen sagt nur, dass sie zur Ruhelage zeigt. Die gespeicherte Energie ergibt sich aus dem Aufsummieren dieser Kraft über den Weg: U = ½kx². Der Faktor ein Halb zählt, und das Quadrat ebenso. An derselben Feder mit 200 N/m speichert x = 0,05 m 0,25 J, x = 0,10 m 1,00 J, x = 0,20 m 4,00 J und x = 0,30 m 9,00 J. Die Kraft wächst proportional zur Dehnung, die Energie mit ihrem Quadrat — deshalb vervierfacht ein doppelt so weit gespannter Bogen die abgegebene Energie in etwa.

Woraus eine Federkonstante besteht und wie Federn sich kombinieren

k ist keine Werkstoffeigenschaft, sondern die Eigenschaft eines bestimmten Bauteils. Für einen geraden, längs gezogenen Stab gilt k = EA/L. Ein Stahlstab von 1,00 m mit 1 mm² Querschnitt und einem Elastizitätsmodul um 200 GPa hat k = 200 × 10⁹ × 1 × 10⁻⁶ / 1,00 = 2,00 × 10⁵ N/m; eine Masse von 1,00 kg dehnt ihn um 0,049 mm. Kürze ihn auf 0,50 m, und k verdoppelt sich auf 4,00 × 10⁵ N/m: derselbe Stahl, doppelte Steifigkeit. Eine Schraubenfeder folgt k = Gd⁴/(8D³n), mit d dem Drahtdurchmesser, D dem mittleren Windungsdurchmesser und n der Zahl der federnden Windungen. Stahldraht von 1,0 mm, zu Windungen von 10 mm gewickelt, 20 Windungen, Schubmodul 79,3 GPa, ergibt k = 496 N/m. Verdopple den Draht auf 2,0 mm, und k steigt auf 7 930 N/m — genau das Sechzehnfache, denn d geht in der vierten Potenz ein.

Zwei hintereinander geschaltete Federn, in Reihe, sind weicher als jede für sich, weil jede ihre eigene Dehnung beisteuert: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. Verbinde 100 N/m mit 300 N/m, und das Paar verhält sich wie 75 N/m. Prüfe es mit einer Last von 1,00 kg: Dieselben 9,80665 N durchlaufen beide, also dehnt sich die erste um 9,80665/100 = 9,81 cm und die zweite um 9,80665/300 = 3,27 cm, zusammen 13,08 cm — genau 9,80665/75. Nebeneinander, parallel, teilen sie sich die Last und ihre Konstanten addieren sich: k = k₁ + k₂ = 400 N/m, das Paar dehnt sich um 9,80665/400 = 2,45 cm, und die beiden Federn tragen 2,452 N und 7,355 N, die wieder 9,80665 N ergeben. Zwei gleiche Federn zu 100 N/m ergeben 50 N/m in Reihe und 200 N/m parallel — die schnellste Kontrolle, welche Regel gerade benutzt wurde.

Wo das Hookesche Gesetz nicht mehr stimmt

Das Hookesche Gesetz ist eine Näherung erster Ordnung an eine Kurve, kein Naturgesetz. Trage für eine echte Feder die Kraft über der Dehnung auf: Die Spur ist nur in einem begrenzten Bereich gerade. Der Punkt, an dem sie sich zu krümmen beginnt, ist die Proportionalitätsgrenze; etwas dahinter liegt die Elastizitätsgrenze, die größte Dehnung, aus der die Feder noch exakt in ihre Ausgangslänge zurückkehrt. Darüber hinaus fließt der Werkstoff und behält eine bleibende Verformung — nimm die Last weg, und die Feder ist länger als zuvor. In F = kx steht davon nichts, weshalb Hersteller neben dem k-Wert einen maximalen Arbeitsweg angeben und weshalb ein Versuch, der immer weiter Massen anhängt, irgendwann Punkte liefert, die von der Ausgleichsgeraden wegwandern.

Druckfedern haben am anderen Ende eine zweite, härtere Grenze: Sobald die Windungen aufeinanderliegen, ist die Feder auf Blocklänge, und ihre Steifigkeit ist die eines kurzen Stahlzylinders — riesig und ohne Bezug zu k. Die brauchbare Gewohnheit ist, k innerhalb eines genannten x-Bereichs gelten zu lassen und diesen Bereich auch zu nennen. Dieselbe Vorsicht gilt, wenn das Hookesche Gesetz allgemein für Werkstoffsteifigkeit einsteht. Der lineare Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang hinter k = EA/L beschreibt Metalle und Keramiken bei kleinen Dehnungen gut, doch Gummi, Polymere und biologisches Gewebe weichen fast sofort von der Geraden ab: Ihnen ein einziges k anzupassen ist eine Modellentscheidung, die man offenlegen sollte, keine Messung, die man zitieren kann.

Häufige Fragen

Lautet das Hookesche Gesetz F = kx oder F = −kx?

Beides, für verschiedene Kräfte. F = kx liefert den Betrag der Kraft, die du aufbringst, um die Feder bei der Auslenkung x zu halten — das ist meist gemeint, wenn ein Rechner oder ein Praktikumsprotokoll danach fragt. F = −kx liefert die Rückstellkraft, die die Feder auf das angehängte Objekt ausübt; das Minuszeichen hält fest, dass sie zur Ruhelage zeigt, und genau diese Form setzt man in das zweite Newtonsche Gesetz ein, um die harmonische Schwingung herzuleiten. Fragt die Aufgabe, wie stark du ziehen musst, lasse das Vorzeichen weg; fragt sie nach der Kraft auf die Masse, behalte es.

Welche Einheiten hat die Federkonstante?

Newton pro Meter, N/m, in SI-Basiseinheiten also kg/s². Aus F = kx folgt k = F/x: eine Kraft in Newton geteilt durch eine Länge in Metern. Zwei Umrechnungen sorgen für Stolperer: 1 N/mm = 1 000 N/m, die Form in Fahrzeug- und Maschinenkatalogen, sowie 1 kgf/cm ≈ 980,665 N/m, noch auf älteren Datenblättern zu finden. Wer eine in N/mm angegebene Federkonstante in eine Formel für N/m einsetzt, erhält alle Kräfte tausendfach zu klein — prüfe die Einheit auf dem Datenblatt vor der Rechnung, nicht danach.

Gilt das Hookesche Gesetz für Gummibänder?

Nur über eine sehr kurze anfängliche Dehnung, und selbst dort nur grob. Die Kraft-Dehnungs-Kurve eines Gummibands ist S-förmig, ein einziges k kann sie also nicht beschreiben: Zuerst ist das Band nachgiebig, dann versteift es sich abrupt, sobald sich die Polymerketten strecken. Hinzu kommt Hysterese — die Kurve auf dem Rückweg liegt tiefer als auf dem Hinweg, ein Teil der zugeführten Energie kommt also als Wärme statt als Bewegung zurück. Deshalb taugt ein Gummiband schlecht für den Hooke-Versuch, und deshalb lassen sich Energierechnungen der Form ½kx² nicht übertragen. Nimm eine Stahlschraubenfeder, wenn es im Versuch um das lineare Gesetz geht.