Was ist die Reynolds-Zahl? Die Formel, die sich kürzenden Einheiten und warum 2 300 nur für Rohre gilt

Die Formel und die Kontrolle, dass sich die Einheiten wirklich kürzen

Re = ρvL/μ. Statt dem Wort dimensionslos zu glauben, setze die Einheiten ein. Die Dichte ρ steht in kg·m⁻³, die Geschwindigkeit v in m·s⁻¹, die Länge L in m; der Zähler ρvL trägt also kg·m⁻³ × m·s⁻¹ × m = kg·m⁻¹·s⁻¹. Die dynamische Viskosität μ wird in Pascalsekunden gemessen, und ein Pascal ist ein Newton je Quadratmeter, also Pa·s = (kg·m·s⁻² / m²)·s = kg·m⁻¹·s⁻¹ — dieselbe Kombination. Zähler und Nenner tragen identische Einheiten, sie kürzen sich, und übrig bleibt eine nackte Zahl ganz ohne Einheit. Deshalb bedeutet eine Reynolds-Zahl von 14 900 in jedem Labor der Erde dasselbe, und deshalb ist es stets ein Fehler, ihr eine Einheit anzuhängen.

Rechne einen Fall vollständig durch. Wasser bei 20 °C hat ρ = 998,2 kg/m³ und μ = 1,002 × 10⁻³ Pa·s. Treibe es mit 1,0 m/s durch ein Rohr von 15 mm Innendurchmesser: Der Zähler ist 998,2 × 1,0 × 0,015 = 14,973 kg·m⁻¹·s⁻¹; geteilt durch 1,002 × 10⁻³ kg·m⁻¹·s⁻¹ ergibt das 14 943, was die meisten Ingenieure als 1,5 × 10⁴ notieren. Die zweite Form ist oft schneller: kinematische Viskosität ν = μ/ρ = 1,002 × 10⁻³ / 998,2 = 1,0038 × 10⁻⁶ m²/s, also Re = vL/ν = 1,0 × 0,015 / 1,0038 × 10⁻⁶ = wieder 14 943. Auch dort kürzen sich die Einheiten sauber, denn m·s⁻¹ × m ÷ m²·s⁻¹ = 1. Nimm die Form, die zur Viskosität deiner Tabelle passt, und mische die beiden nie.

2 300 gehört zum Rohr: Schwellen kommen immer mit einer Geometrie

Die Reynolds-Zahl ist erst definiert, wenn du sagst, was L ist, denn L ist keine feste Eigenschaft des Objekts, sondern die Längenskala, die du zur Kennzeichnung der Strömung wählst. Für die Strömung im Rohrinneren ist L der Innendurchmesser, und nur für diese Wahl gelten die vertrauten Zahlen: unter etwa 2 300 bleibt die Strömung laminar, über etwa 4 000 ist sie turbulent, dazwischen ist sie im Übergang und hängt von Einlaufstörungen und Wandrauheit ab. Im obigen Rohr von 15 mm entspricht 2 300 einer Geschwindigkeit von 0,154 m/s, etwa 1,6 L/min, und 4 000 einer von 0,268 m/s. Drehe den Hahn weiter auf, und du bist im turbulenten Bereich.

Ändere die Geometrie, und die Schwelle ändert sich mit. An einer ebenen Platte in freier Anströmung liegt der übliche Umschlagwert bei Re ≈ 5 × 10⁵, wobei L der Abstand von der Vorderkante ist: in Luft bei 50 m/s wird er schon 0,152 m hinter der Kante erreicht, in Wasser bei 1,5 m/s bei 0,335 m. Die Umströmung eines Zylinders beginnt ab etwa Re ≈ 47 eine regelmäßige Wirbelstraße abzuwerfen, und eine Kugel durchläuft die Widerstandskrise nahe Re ≈ 3 × 10⁵. Keine dieser Zahlen ist 2 300, und keine widerspricht ihr — es sind andere Probleme mit anderen charakteristischen Längen. Eine Reynolds-Zahl ohne Angabe von L und eine Schwelle ohne Angabe der Geometrie sind unfertige Informationen.

Wozu die Zahl wirklich dient: Strömungen unterschiedlicher Größe vergleichen

Die Reynolds-Zahl ist kein Urteil darüber, ob eine Strömung gut oder schlecht ist; sie sagt, welche Physik dominiert. Bei kleinem Re gewinnt die Zähigkeit und die Trägheit ist vernachlässigbar — deshalb gleitet ein Bakterium bei Re = 6 × 10⁻⁵ nirgendwohin: Hält die Geißel an, steht die Zelle nach einem Bruchteil ihrer eigenen Länge. Bei großem Re gewinnt die Trägheit, kleine Störungen wachsen statt gedämpft zu werden, und die Strömung wird turbulent. Die elf Größenordnungen der obigen Tabelle sind keine Qualitätsskala, sondern eine Karte dafür, welchen Term der Navier-Stokes-Gleichungen man weglassen darf.

Der praktische Ertrag ist die dynamische Ähnlichkeit. Zwei Strömungen mit gleicher Reynolds-Zahl und gleicher Geometrie verhalten sich gleich, unabhängig von ihrer absoluten Größe: Stromlinienbild und Widerstandsbeiwert lassen sich übertragen. Darauf beruhen Windkanal- und Schleppkanalversuche vollständig, und darin liegt zugleich ihre Hauptschwierigkeit. Um die 4,9 × 10⁶ des echten Flügels mit einem Zehntelmodell in gewöhnlicher Luft zu treffen, bräuchte man die zehnfache Geschwindigkeit, 500 m/s, also Mach 1,46 — und das ist gar nicht mehr dieselbe Physik. Der übliche Ausweg ist, die Dichte zu erhöhen: Wird der Kanal auf den zehnfachen Druck gebracht, stimmt Re schon bei den ursprünglichen 50 m/s, Mach 0,15. Deshalb sind ernsthafte aerodynamische Kanäle Druckbehälter und keine großen Ventilatoren.

Häufige Fragen

Ist eine hohe Reynolds-Zahl gut oder schlecht?

Weder noch — sie ist eine Beschreibung, keine Note. Eine hohe Reynolds-Zahl bedeutet, dass die Trägheit dominiert und die Strömung wahrscheinlich turbulent ist; das erhöht die Reibungsverluste im Rohr, verbessert aber Durchmischung und Wärmeübergang und kann am Flügel die Ablösung verzögern und den Widerstand senken. Eine niedrige Zahl bedeutet, dass die Zähigkeit dominiert und die Strömung geordnet und vorhersagbar ist — hervorragend für einen Schmierfilm und nutzlos zum Rühren eines Reaktors. Frage zuerst, was die Strömung leisten soll, bevor du entscheidest, welches Ende der Skala erstrebenswert ist.

Welche Länge nehme ich für L?

Diejenige, mit der die Schwelle definiert wurde, gegen die du vergleichen willst. Im kreisrunden Rohr nimm den Innendurchmesser; bei einem nicht kreisförmigen Kanal den hydraulischen Durchmesser, also die vierfache Querschnittsfläche geteilt durch den benetzten Umfang. An einer ebenen Platte nimm den Abstand von der Vorderkante, sodass Re stromabwärts wächst. Für einen Flügel die Profiltiefe; für eine Kugel oder einen quer angeströmten Zylinder den Durchmesser; für einen schwimmenden Körper die Körperlänge. Die Zahl ist für sich genommen bedeutungslos — nenne L, sooft du Re angibst.

Was unterscheidet dynamische von kinematischer Viskosität?

Die dynamische Viskosität μ misst den Widerstand eines Fluids gegen Scherung und wird in Pascalsekunden angegeben; die kinematische Viskosität ν ist dieser Widerstand geteilt durch die Dichte, ν = μ/ρ, angegeben in Quadratmetern je Sekunde. Wasser bei 20 °C hat μ = 1,002 × 10⁻³ Pa·s und ν = 1,0038 × 10⁻⁶ m²/s; Luft bei derselben Temperatur hat ein weit kleineres μ von 1,825 × 10⁻⁵ Pa·s, aber ein fünfzehnfach größeres ν von 1,5158 × 10⁻⁵ m²/s, weil sie so viel dünner ist. Nutze Re = ρvL/μ mit der ersten und Re = vL/ν mit der zweiten — beide liefern dasselbe, ihre Vermischung dagegen einen Fehler um den Faktor ρ.