Wie falsch ist „nominal minus Inflation“? Um genau eine Jahresinflation falsch

Eine Zeile Algebra ersetzt die ganze Debatte

Beginne mit dem, was die reale Rendite bedeuten soll: wie viel mehr du kaufen kannst, nicht wie viele Währungseinheiten mehr du hältst. Kostet ein Warenkorb heute 100 und nächstes Jahr 103, und wächst dein Geld von 100 auf 108, dann kannst du nächstes Jahr 108 ÷ 103 = 1,048544 Körbe kaufen — ein Zuwachs von 4,8544 Prozent an Dingen. Diese Division ist die Definition, nicht deren Verfeinerung. Umgeformt ergibt sie (n − i) ÷ (1 + i), und damit sieht man genau, woher die Subtraktion kommt und was ihr fehlt: die Subtraktion ist der Zähler allein, der Nenner vergessen. Da der Nenner (1 + i) ist, multipliziert sein Vergessen die Antwort mit (1 + i), und mit (1 + i) zu multiplizieren ist genau dasselbe, wie das Geld des Vorjahres nicht in heutiges umzurechnen.

Die Märkte, die sich das nicht leisten können, subtrahieren nicht. Inflationsindexierte Staatsanleihen skalieren den Nominalbetrag mit einem aus dem Verbraucherpreisindex gebildeten Indexverhältnis — eine Multiplikation, täglich angewandt, gerade damit der reale Kupon des Papiers ein realer Kupon ist und nicht ein realer Kupon abzüglich einer Rundungskonvention. Statistikämter deflationieren nominale Reihen aus demselben Grund durch Division mit einem Preisindex. Überall dort, wo die Antwort den Kontakt mit einem Abwicklungssystem überstehen muss, ist die Operation die Division; die Subtraktion überlebt nur dort, wo niemand die Differenz auszahlen muss.

Warum das Produkt der beiden Sätze die falsche Intuition ist

Die Volksregel sagt, die Abkürzung tauge bei niedrigen Sätzen und versage bei hohen, und begründet das meist mit dem Kreuzterm n × i. Der Kreuzterm steht tatsächlich in der Entwicklung — der absolute Fehler ist (n − i) × i ÷ (1 + i), also für kleines i ungefähr n × i minus i im Quadrat —, doch das Produkt zum Treiber zu erklären erzeugt eine falsche Vorhersage, die sich leicht konstruieren lässt. Halte n × i bei 0,0060 fest und laufe die Kurve entlang. Bei n = 60 Prozent und i = 1 Prozent beträgt der Fehler 0,5842 Punkte. Bei n = 20 Prozent und i = 3 Prozent 0,4951. Bei n = 6 Prozent und i = 10 Prozent −0,3636 und bei n = 2 Prozent und i = 30 Prozent −6,4615. Gleiches Produkt, Fehler über sieben Punkte hinweg und in beiden Vorzeichen. Der Treiber ist nicht das Produkt, sondern der Abstand zwischen n und i, skaliert mit i.

Die Regel, die trägt, ist die relative, und sie trägt ausnahmslos, weil sie eine Identität ist und keine Näherung: die Abkürzung liegt stets um exakt i der wahren Antwort zu hoch. Daraus folgt eine Kopfrechenkorrektur ohne Taschenrechner. Rechne n − i und ziehe davon so viele Prozent ab, wie die Inflation beträgt. Bei 8 Prozent nominal und 3 Prozent Inflation sind 5 Prozent minus 3 Prozent von 5 Prozent gleich 4,85 — die exakte Antwort auf drei Stellen. Deflation dreht das um: bei 2 Prozent nominal und um 1 Prozent fallenden Preisen beträgt die exakte reale Rendite 3,0303 Prozent, die Abkürzung sagt 3,0000, sie liegt also um 1 Prozent der Antwort zu niedrig, weil i negativ ist. Die Identität gilt in beide Richtungen und kümmert sich nicht um das Vorzeichen.

Fünfzehn Hundertstel eines Punktes werden in dreißig Jahren zu 1 762,61 €

Eine Lücke von 0,1456 Prozentpunkten klingt nach Rundungsstreit, bis man sie verzinst. Lege 10 000 € dreißig Jahre lang zu 8 Prozent nominal an, bei 3 Prozent Inflation. Nominal wachsen sie auf 100 626,57 €. Deflationiere korrekt — teile durch 1,03 hoch dreißig, oder verzinse gleichbedeutend mit dem exakten Realzins — und es sind 41 456,81 € in heutigem Geld. Verzinst du stattdessen die 5 Prozent der Abkürzung, kommst du auf 43 219,42 €. Die Abkürzung überzeichnet das Ergebnis also um 1 762,61 €, das sind 4,25 Prozent des realen Vermögens. Dass der relative Fehler von 3,00 Prozent in einem Jahr auf 4,25 Prozent in dreißig steigt, liegt daran, dass sich die beiden Wachstumsfaktoren um ein konstantes Verhältnis unterscheiden — und ein konstantes Verhältnis verzinst sich: 1,05 × 1,03 ÷ 1,08 ergibt 1,0013889, und 1,0013889 hoch dreißig ergibt 1,0425.

Dieselbe Zinseszinslogik zerlegt eine zweite, harmlos wirkende Abkürzung: die Inflation über mehrere Jahre zu mitteln und einmal anzuwenden. Nimm drei Jahre mit 8 Prozent nominal gegen Inflationsraten von 2, 7 und 3 Prozent. Verkettet man die exakten Realrenditen Jahr für Jahr, beträgt das kumulierte reale Wachstum 12,0599 Prozent, ein geometrisches Mittel von 3,8684 Prozent pro Jahr. Wendet man stattdessen die arithmetisch gemittelte Inflation von 4 Prozent an, erhält man 3,8462 Prozent. Die Lücke beträgt hier nur 0,0222 Punkte, und sie zeigt stets in dieselbe Richtung — das Mitteln der Inflation unterzeichnet die reale Rendite —, weil der Deflator im Satz konvex ist. Sie ist klein bei stabiler Inflation und wächst mit der Streuung, also genau dann, wenn man zum Mittelwert greift.

Die Steuer trifft die Nominalrendite — und das stellt die Fisher-Korrektur in den Schatten

Fast jedes Steuersystem besteuert die Zahl der gewonnenen Währungseinheiten, nicht die gewonnene Kaufkraft. Das hat eine Folge mit sauberer geschlossener Form. Nimmt die Steuer einen Anteil t der Nominalrendite, sinkt die reale Rendite, die dir bleibt, um t × n ÷ (1 + i), und ausgedrückt als Anteil der realen Rendite, die du gehabt hättest, beträgt der effektive Steuersatz auf deine reale Rendite t × n ÷ (n − i). Bei 8 Prozent nominal, 3 Prozent Inflation und 30 Prozent Steuersatz sind das 0,30 × 8 ÷ 5 = 48 Prozent: ein genannter Satz von 30 Prozent nimmt 48 Prozent dessen, was du tatsächlich gewonnen hast. Geh die Leiter durch, und die Rechnung ist unbarmherzig — 15 Prozent nominal sind 24,0 Prozent der realen Rendite, 26,375 Prozent sind 42,2 Prozent, 30 Prozent sind 48,0 Prozent, 40 Prozent sind 64,0 Prozent.

Dieselbe Formel liefert die Inflationsrate, bei der deine reale Rendite nach Steuern null erreicht: nach i aufgelöst ergibt sich i = n × (1 − t). Bei 8 Prozent nominal und 30 Prozent Steuersatz lässt eine Inflation von 5,6 Prozent dich kaufkraftmäßig exakt dort, wo du angefangen hast — trotz eines jedes Jahr positiven, steuerpflichtigen, erklärungspflichtigen Gewinns. Das ist die ehrliche Rangfolge der drei Effekte auf dieser Seite. Die Fisher-Korrektur ist in unserem Beispiel 0,15 Punkte wert. Die Steuer ist 2,33 Punkte wert. Und Steuer und Inflation wirken nicht additiv, sondern wechselseitig, weil die Steuer auf eine Rendite erhoben wird, die den Inflationsausgleich enthält. Bring zuerst den Steuermantel in Ordnung, dann die Formel, und lass nie die zweite Debatte die erste verdrängen.

Häufige Fragen

Ist die Subtraktion je die richtige Rechnung?

Ja, in zwei redlichen Fällen. Der erste ist Kopfrechnen, wenn du die Richtung der Verzerrung kennst und sie die Entscheidung nicht ändert: bei 2 Prozent Inflation liegt die Abkürzung um 2 Prozent der Antwort zu hoch, bei einer realen Rendite von 3 Prozent also um sechs Hundertstel eines Punktes, und keine Sparentscheidung kippt daran. Der zweite ist die Arbeit mit stetigen Renditen, wo die Beziehung tatsächlich eine Subtraktion ist: definierst du die Log-Rendite als den natürlichen Logarithmus von eins plus der einfachen Rendite, dann ist die reale Log-Rendite exakt die nominale Log-Rendite minus die logarithmierte Inflationsrate, ganz ohne Korrekturglied, weil Logarithmen die Division in eine Differenz verwandeln. Deshalb sind stetige Größen in weiten Teilen der Renten- und der akademischen Arbeit die Konvention. Die Falle ist das Mischen der Konventionen — eine logarithmierte Inflationsrate von einer einfachen Nominalrendite abzuziehen ergibt eine Zahl, die keines von beidem ist.

Welche Inflationsrate soll ich eingeben — den veröffentlichten Index oder meine eigene?

Das hängt davon ab, wofür die Antwort dient, und die beiden Zwecke brauchen wirklich verschiedene Eingaben. Vergleichst du dein Ergebnis mit einer Benchmark, einem Fonds, einer Anleiherendite oder einem anderen Anleger, nimm den veröffentlichten Index deines Währungsraums, denn damit deflationieren alle anderen, und ein Vergleich hat nur in einer gemeinsamen Einheit Sinn. Fragst du, ob du dir künftig etwas leisten kannst, ist der veröffentlichte Index ein gewichteter Mittelwert eines nationalen Warenkorbs — und dein Korb ist nicht dieser Korb: wessen Ausgaben von der Miete in einer bestimmten Stadt, von Kinderbetreuung oder von Energie beherrscht werden, erlebt eine persönliche Teuerung, die jahrelang weit von der Schlagzeile abweichen kann. Rechne beides. Die veröffentlichte Zahl sagt, wie du abgeschnitten hast; deine eigene sagt, was es kaufen wird. Und beachte die Asymmetrie, die die obige Identität mitbringt: weil der Fehler mit i skaliert, verschiebt eine persönliche Rate einige Punkte über der nationalen nicht nur die Antwort — sie verschlechtert die Abkürzung im selben Verhältnis.

Was, wenn die Inflation negativ ist?

Die Formel ändert sich nicht, und die Verzerrung dreht sich um. Bei 2 Prozent nominal und um 1 Prozent fallenden Preisen beträgt die exakte reale Rendite 1,02 ÷ 0,99 − 1 = 3,0303 Prozent, während die Abkürzung 3,0000 sagt — sie liegt nun zu niedrig, um exakt 1 Prozent der Antwort, also wieder um i, mit dessen eigenem Vorzeichen. Deflation begünstigt Sparer genau so, wie Inflation sie bestraft, und die Wirkung auf eine reale Rendite ist größer als erwartet: um 5 Prozent fallende Preise machen aus 2 Prozent nominal 7,3684 Prozent real, wo die Abkürzung 7 sagen würde. Die einzige Stelle, an der die Arithmetik wirklich bricht, ist eine Inflation von exakt minus 100 Prozent, wo der Nenner null wird und die reale Rendite undefiniert ist — eine mathematische Kuriosität statt eines wirtschaftlichen Szenarios, aber der Grund, warum ein gut gebauter Rechner diese Eingabe zurückweist, statt eine Unendlichkeit auszugeben.

Worin unterscheidet sich das davon, einfach den Endbetrag am Ende zu deflationieren?

Es unterscheidet sich gar nicht, und das ist die beste Kontrolle der ganzen Übung. Mit dem exakten Realzins aufzuzinsen und das nominale Ergebnis mit dem Preisindex zu deflationieren sind dieselbe Operation in zwei Schreibweisen, denn einmal am Ende durch (1 + i) hoch Jahre zu teilen ist algebraisch identisch damit, in jedem Jahr durch (1 + i) zu teilen. Unsere Zahlen zeigen es: 10 000 € zu 8 Prozent über dreißig Jahre ergeben 100 626,57 €, geteilt durch 1,03 hoch dreißig sind das 41 456,81 €, und 10 000 € über dreißig Jahre mit dem exakten realen Satz von 4,8544 Prozent aufgezinst ergeben ebenfalls 41 456,81 €. Weichen deine beiden Wege voneinander ab, steckt in einem von ihnen eine Subtraktion. Der praktische Grund, den Realzins vorzuziehen: er macht den Vergleich mit einem Ziel lesbar. Reale 4,8544 Prozent sagen dir sofort, dass sich die Kaufkraft in dreißig Jahren ungefähr vervierfacht, während nominale 8 Prozent samt separater Inflationsreihe dir gar nichts sagen, bis du ohnehin geteilt hast.