355/113 es bueno porque el término siguiente es 292

La razón áurea es el número más difícil de aproximar

Si los términos grandes significan buenas aproximaciones, el número sin ningún término grande debe ser el peor caso — y ese número es la razón áurea, cuyo desarrollo vale [1; 1, 1, 1, 1, …] sin fin. Sus convergentes son cocientes de números de Fibonacci consecutivos, 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, y cada una mejora a la anterior por el margen más pequeño posible. No es una curiosidad: un girasol que coloca sus semillas en un ángulo ligado a la razón áurea nunca alinea dos semillas sucesivas, precisamente porque ninguna fracción simple aproxima bien ese ángulo. Ser mal aproximable es aquí la propiedad útil.

Un patrón periódico señala un irracional de un tipo concreto

La raíz cuadrada de dos se desarrolla como [1; 2, 2, 2, 2, …], repitiendo un solo término sin fin, y toda raíz cuadrada de un entero no cuadrado se comporta así — el patrón acaba ciclando. Es un teorema, y vale en ambos sentidos: una fracción continua cuyos términos acaban siendo periódicos es siempre la raíz de una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros, y una que nunca se asienta en un patrón es otra cosa. El desarrollo de π no tiene patrón que nadie haya hallado, lo que concuerda con lo que se sabe de él. El caso finito es aún más simple: un desarrollo que se detiene es un racional, y que 415/93 se detenga tras cuatro términos es todo el contenido de esa frase.

Preguntas frecuentes

¿Por qué es tan famoso 22/7 si 355/113 es mucho mejor?

Porque es lo bastante corto para recordarlo y lo bastante exacto para casi todo lo que se hacía con él. 22/7 se equivoca en cuatro centésimas de por ciento, invisible en cualquier medida tomada con una regla y suficiente para la aritmética de taller; 355/113 se equivoca en menos de una diezmillonésima, que nadie necesita salvo que el cálculo se lleve a muchos decimales. Las convergentes forman una escalera donde la precisión se cambia por la memorabilidad, y 22/7 ocupa el peldaño donde el trueque es más favorable al cálculo mental. Allí donde hace falta más precisión, suele haber también una calculadora.

¿Dónde se usan en la práctica las fracciones continuas?

Dondequiera que una razón deba construirse con objetos enteros. Un tren de engranajes aproxima una relación de velocidad arbitraria con números enteros de dientes, y las convergentes dan los piñones más pequeños que se acercan bastante; las reglas de calendario aproximan la duración del año con días enteros y años bisiestos; los temperamentos musicales aproximan una octava con un número entero de grados. La misma maquinaria aparece también dentro de los algoritmos de reducción de fracciones y de reconstrucción de un racional a partir de un decimal, que es lo que permite a un sistema de álgebra reconocer que 0,142857142857 es un séptimo y no un decimal largo.