Combinaciones frente a permutaciones: cuándo importa el orden

La única pregunta que decide

Antes de elegir una fórmula, pregúntate si reordenar los mismos elementos produce un resultado distinto. Si es así, el orden importa y necesitas una permutación. Si reordenar no cambia nada, el orden es irrelevante y necesitas una combinación.

Una prueba rápida: un podio de carrera es una permutación, porque oro, plata y bronce son posiciones distintas. Un puñado de números de lotería es una combinación, porque el boleto gana sin importar el orden en que se extraen las bolas.

Las dos fórmulas una al lado de la otra

La fórmula de permutaciones es nPr = n! / (n − r)!, donde n es el número de elementos disponibles y r cuántos ordenas. La fórmula de combinaciones divide ese resultado entre r! para cancelar las ordenaciones: nCr = n! / (r! · (n − r)!). Ese r! adicional en el denominador es justo por lo que las combinaciones son siempre el recuento menor.

Ten en cuenta que n! (factorial de n) es el producto 1 × 2 × ... × n, y 0! se define como 1. Esa convención mantiene las fórmulas válidas cuando r es igual a n, donde hay exactamente una forma de ordenar o seleccionar todo.

Un ejemplo con los mismos números

Toma 5 personas y elige 3. Las permutaciones son nPr = 5! / (5 − 3)! = 120 / 2 = 60 alineaciones ordenadas. Las combinaciones son nCr = 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 × 2) = 10 grupos sin orden. La razón 60 / 10 = 6 es exactamente 3!, lo que confirma que cada grupo de 3 puede ordenarse de 6 maneras.

Esta relación se generaliza: nPr = nCr × r!. Siempre que ya tengas un recuento de combinaciones, multiplica por r! para obtener el de permutaciones, y divide entre r! para el sentido contrario.

Preguntas frecuentes

¿Es la clave de un candado realmente una combinación?

No, matemáticamente es una permutación. En un candado, 1-2-3 y 3-2-1 abren candados distintos, así que el orden importa y el término correcto es permutación pese al nombre cotidiano.

¿Cuál es siempre mayor para los mismos n y r?

Las permutaciones son siempre al menos igual de grandes, porque nPr = nCr × r!. Son iguales solo cuando r es 0 o 1, ya que 0! y 1! valen ambos 1.

¿La repetición cambia las fórmulas?

Sí. Las fórmulas de aquí suponen que cada elemento se usa como máximo una vez (sin repetición). Si los elementos pueden repetirse, se usan fórmulas distintas, como n^r para selecciones ordenadas con repetición.

¿Cómo se relaciona nCr con el triángulo de Pascal?

Cada entrada del triángulo de Pascal es un recuento de combinaciones: el valor en la fila n, posición r, es nCr. Por eso esos números aparecen como coeficientes al desarrollar (a + b)^n.