Probabilidades de las manos de póker, deducidas en vez de memorizadas

Todo es una porción de 2 598 960

Una mano de cinco cartas de una baraja de 52 es una selección sin orden, así que su número es C(52,5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311 875 200 / 120 = 2 598 960. Toda probabilidad en el póker es algún subconjunto de esas manos dividido por ese total, y cada subconjunto se cuenta con la misma receta: elegir los rangos, elegir los palos, multiplicar. En todo el artículo no hace falta nada más que la multiplicación y el coeficiente binomial.

Dos de los recuentos son triviales y conviene hacerlos primero, porque fijan el patrón. Una escalera de color son cinco cartas en secuencia de un mismo palo: hay diez secuencias posibles, de A-2-3-4-5 hasta 10-J-Q-K-A, y cuatro palos, así que 10 × 4 = 40. Un póker son las cuatro cartas de un rango más una quinta cualquiera: 13 rangos × 48 cartas restantes = 624. Fíjate en que ambos recuentos son exactos y completos por sí solos; no hay que restar nada, porque una mano no puede ser escalera de color de dos formas ni póker de dos formas.

Los siete que piden un poco de cuidado

Un full es un rango por triplicado y otro distinto por duplicado: 13 opciones para el trío, C(4,3) = 4 maneras de escoger sus palos, 12 rangos restantes para la pareja, C(4,2) = 6 maneras de escoger sus palos. 13 × 4 × 12 × 6 = 3 744. Aquí el orden importa — tres del rango A con dos del rango B es una mano distinta de tres de B con dos de A, y por eso el factor es 13 × 12 y no C(13,2). El trío prolonga la misma idea: 13 rangos × C(4,3) palos para el trío, luego C(12,2) = 66 maneras de elegir dos rangos de kickers distintos y 4 × 4 palos para ellos, dando 13 × 4 × 66 × 16 = 54 912. Los kickers han de ser de rangos distintos, o la mano sería un full.

La doble pareja usa C(13,2) = 78 para los rangos de las parejas, porque aquí las dos parejas son intercambiables, por C(4,2)^2 = 36 para sus palos, por 44 para la quinta carta — 52 menos las 8 cartas de los dos rangos elegidos. 78 × 36 × 44 = 123 552. La pareja simple es 13 rangos × C(4,2) = 6 pares de palos × C(12,3) = 220 rangos de kickers × 4^3 = 64 palos de kickers = 1 098 240. La carta alta es todo lo que queda: elegir cinco rangos distintos que no formen escalera, C(13,5) − 10 = 1 277, y luego cualquier patrón de palos que no sea monocolor, 4^5 − 4 = 1 020, dando 1 277 × 1 020 = 1 302 540. Esa última línea resta calladamente las dos exclusiones a la vez.

Las dos exclusiones y la escalera baja

Cuatro cartas de un palo y una quinta del mismo dan 4 × C(13,5) = 5 148 manos monocolor, pero 40 de ellas son además escaleras de color y se contarían dos veces. Réstalas y el recuento de colores es 5 108. La escalera tiene el problema espejo: 10 secuencias de rangos, cada carta libre de tomar cualquiera de los 4 palos, dan 10 × 4^5 = 10 240, de las cuales las mismas 40 son escaleras de color, dejando 10 200. Sáltate cualquiera de las dos restas y tus nueve recuentos suman 2 599 040 — ochenta de más — que es exactamente cómo cazas el error sin saber dónde está.

El número diez merece su propia frase. Hay trece rangos, así que un conteo ingenuo de cinco en línea da nueve secuencias, de 2-3-4-5-6 hasta 10-J-Q-K-A. Pero el as juega tanto bajo como alto, así que A-2-3-4-5 — la escalera baja — es una décima escalera válida, mientras que Q-K-A-2-3, que da la vuelta a la baraja, no es escalera en absoluto. Equivócate por abajo y el recuento de escaleras cae a 9 180 en vez de 10 200; permite el envolvimiento y sube a 13 260. Ambos errores aparecen de inmediato en la suma, y por eso la suma merece calcularse.

La suma es la demostración

40 + 624 + 3 744 + 5 108 + 10 200 + 54 912 + 123 552 + 1 098 240 + 1 302 540 = 2 598 960. No aproximadamente — exactamente. Esa igualdad es la comprobación más fuerte disponible, porque los nueve argumentos se construyeron con independencia unos de otros y del total. Si alguno contara dos veces una mano, se saltara un caso o aplicara el coeficiente binomial equivocado, la suma fallaría. No falla, lo que significa que las nueve categorías parten todas las manos de cinco cartas sin solape ni hueco. Toda tabla publicada que no cierre en esta identidad tiene un error en alguna parte, y así se averigua en diez segundos.

Como segunda comprobación independiente, las 2 598 960 manos se enumeraron en código y se clasificaron una a una. El programa devolvió 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240 y 1 302 540 — los mismos nueve números que produjo el álgebra, y confirmó además haber visitado exactamente C(52,5) manos. Dos métodos que no comparten supuestos y coinciden hasta la unidad es lo más parecido a la certeza que ofrece el conteo.

El orden de las manos es una consecuencia, no una convención

Lee la columna de recuentos hacia abajo: 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240, 1 302 540. Es estrictamente creciente, y es además el orden que imprime todo reglamento de póker. No es coincidencia ni una elección estética de algún redactor antiguo. Si una mano más rara perdiera ante una más común, el juego premiaría el logro más fácil, y cualquier jugador que lo notara podría explotarlo. El orden lo impone el conteo, y por eso es idéntico en toda jurisdicción y toda variante que use manos de cinco cartas.

La relación es más que un orden — es una razón. Una escalera de color es 15,6 veces más rara que un póker, que es 6 veces más raro que un full, que es solo 1,36 veces más raro que un color. Ese último hueco es el más estrecho de la tabla, y por eso la frontera color/full es la que más se recuerda mal: 5 108 frente a 3 744, una diferencia de 1 364 manos sobre dos millones y medio. La frontera pareja/carta alta, abajo del todo, es casi un cara o cruz, 42,3 % frente a 50,1 %, y juntas esas dos categorías cubren el 92,4 % de todos los repartos.

Con siete cartas es otro problema

Todo lo anterior describe una mano de exactamente cinco cartas. El Hold'em da siete a cada jugador y puntúa las mejores cinco, lo que no es el mismo cálculo ni tiene las mismas respuestas. El espacio crece a C(52,7) = 133 784 560, y cada mano ha de evaluarse buscando su mejor subconjunto de cinco cartas en vez de clasificarse sin más. Enumerarlas todas da 41 584 escaleras de color, 224 848 pókeres, 3 473 184 fulls, 4 047 644 colores, 6 180 020 escaleras, 6 461 620 tríos, 31 433 400 dobles parejas, 58 627 800 parejas y 23 294 460 cartas altas — sumando, de nuevo exactamente, C(52,7).

Dos de esos números tumban el relato ordenado de arriba. Una escalera, con 6 180 020, es más rara que un trío, con 6 461 620 — y sin embargo le sigue ganando, porque el orden lo fijan los recuentos de cinco cartas, no los de siete. Y la carta alta, que es el resultado más frecuente a cinco cartas con un 50,1 %, cae al 17,4 % con siete cartas, por debajo de la doble pareja con un 23,5 %. El orden del póker coincide por tanto exactamente con la rareza en los juegos de cinco cartas y solo aproximadamente en los de siete. Es una incoherencia real y documentada del juego, no un error aritmético, y una buena razón para desconfiar de cualquier tabla de siete cartas publicada sin enumeración.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el recuento de colores resta 40?

Porque las nueve categorías tienen que ser mutuamente excluyentes para que sus recuentos sumen el total. Elegir cinco cartas de un palo da 4 × C(13,5) = 5 148 manos, y 40 de esas quintetas resultan consecutivas en rango, lo que las convierte en escaleras de color. Si las dejas en el cubo de los colores están también en el de las escaleras de color, y los nueve recuentos suman 2 599 040 en vez de 2 598 960. Exactamente las mismas 40 manos han de salir del recuento de escaleras, bajando 10 240 a 10 200. Es el defecto más común en las tablas publicadas: se aplica una de las dos restas y la otra no, y el error son ochenta manos, invisible salvo que sumes la columna.

¿A-2-3-4-5 es realmente una escalera?

Sí, y es la razón de que las secuencias de rangos sean diez y no nueve. Al as se le permite jugar como carta más baja además de como la más alta, así que las secuencias válidas van de A-2-3-4-5 hasta 10-J-Q-K-A: diez en total. Es lo estándar en todos los reglamentos importantes. Lo que no se permite es dar la vuelta por arriba: K-A-2-3-4 y Q-K-A-2-3 no son escaleras, porque la secuencia tiene dos extremos y el as puede ocupar cualquiera de ellos pero no unirlos. Quita la escalera baja y el recuento cae a 9 180; permite la vuelta y sube a 13 260. Ninguna de las dos cifras deja que las nueve categorías sumen 2 598 960, y así se caza el error sin discutir la regla.

¿Por qué el color está por encima de la escalera?

Porque es más raro, y por un margen claro: 5 108 colores frente a 10 200 escaleras, así que un color es casi exactamente el doble de difícil de recibir. La intuición que despista es que solo hay cuatro palos y trece rangos, así que casar palos parecería más fácil — pero un color exige que las cinco cartas coincidan en una de cuatro cosas, mientras que una escalera solo pide que los cinco rangos caigan en una ventana de cinco entre trece y deja cada palo completamente libre. El conteo lo zanja: 4 × C(13,5) − 40 = 5 108 frente a 10 × 4^5 − 40 = 10 200. Los órdenes en el póker nunca son cuestión de gusto; cada frontera de la tabla es una comparación de dos recuentos.

¿Se aplican estas probabilidades al Texas hold'em?

No. Describen una mano de exactamente cinco cartas repartidas al azar, es decir póker cerrado o stud de cinco cartas, no hold'em. En el hold'em cada jugador forma las mejores cinco de siete, así que el espacio es C(52,7) = 133 784 560 y toda categoría se vuelve más probable — un full pasa del 0,14 % al 2,60 %, un color del 0,20 % al 3,03 %. Enumerar todas las manos de siete cartas produce además dos inversiones que conviene conocer: una escalera, con 6 180 020, se vuelve más rara que un trío con 6 461 620, y la carta alta cae del resultado más frecuente con 50,1 % hasta el 17,4 %, por debajo de la doble pareja. El orden de las manos no sigue, porque lo fijan los recuentos de cinco cartas. Si quieres cifras de hold'em, usa cifras de hold'em; la tabla de cinco cartas es la herramienta equivocada.

¿Cómo compruebo una tabla de probabilidades que he encontrado por ahí?

Suma los recuentos de manos. Si no dan exactamente 2 598 960, la tabla está mal, y el tamaño de la discrepancia suele nombrar el error. Desviarse en exactamente 40 significa que falta una de las dos restas de escaleras de color. Desviarse en 1 020 significa que se ha quitado la escalera baja del recuento de escaleras, porque una secuencia de rangos vale 4^5 − 4 = 1 020 manos y 10 200 menos 9 180 es exactamente eso. Desviarse en 3 060 en el otro sentido significa que el recuento ha permitido secuencias que dan la vuelta pasando el as. Si la tabla solo da porcentajes, multiplica cada uno por 2 598 960 y comprueba que los resultados sean enteros; un recuento genuino siempre lo es. Los porcentajes solos ocultan errores que los enteros no.