Cómo funciona la semivida: qué queda tras 1, 3 y 10 semividas

Una fórmula escrita de dos maneras

La forma en base dos es con la que hay que razonar: restante = inicial × (1/2)^(t / t½). El exponente t / t½ es un recuento de semividas y, al ser un cociente de dos tiempos, no tiene unidad — por eso ambos tiempos deben expresarse en la misma unidad antes de dividirlos. Dale 11 460 años frente a una semivida de 5 730 años y el exponente vale 2: queda un cuarto. Dale un tiempo en horas frente a una semivida en minutos y te equivocarás en un factor sesenta en el exponente, es decir un factor de unos 10^18 en el resultado.

La física y la farmacología suelen escribir la misma curva como N(t) = N0 × e^(−λt), con λ = ln 2 / t½. No hay nada más profundo en la segunda forma: ln 2 vale 0,6931, así que una semivida de 10 unidades da λ = 0,06931 por unidad, y ambas expresiones devuelven el mismo número. Lo que la forma exponencial sí saca a la luz es la vida media, τ = 1/λ = t½ / ln 2 = 1,4427 × t½. Es más larga que la semivida, lo que sorprende con frecuencia. El motivo es la cola de la distribución: unas pocas entidades persisten durante muchas semividas y tiran del promedio hacia arriba, mientras que la mediana — el punto en que exactamente la mitad ha desaparecido — es por definición la propia semivida.

Nada llega nunca a cero, así que la práctica adopta un convenio

Dividir entre dos es una multiplicación, no una resta, y multiplicar un número positivo por un medio puede repetirse eternamente sin dar cero. La curva es asintótica: se acerca al eje y nunca lo toca. Así que la pregunta habitual — cuánto tarda en desaparecer del todo — no es una pregunta difícil, es una pregunta sin respuesta matemática, y cualquier fuente que te dé un número ha elegido un umbral en silencio. La versión honesta es nombrar el umbral que quieres. El 10 % restante se alcanza a las 3,32 semividas, el 1 % a las 6,64 y una décima de punto a las 9,97. Esas cifras son los logaritmos en base dos de 10, 100 y 1000, de donde sale la conocida regla de las diez semividas.

Hay una segunda razón, física, por la que la curva lisa deja en algún momento de describir la realidad: una muestra real contiene un número entero finito de entidades, y la desintegración es un suceso aleatorio por entidad, no un vaciado regular. La exponencial es el valor esperado de ese proceso aleatorio. Parte de un mol de isótopo radiactivo, unos 6,022 × 10^23 átomos: tras diez semividas quedan alrededor de 5,9 × 10^20 — menos de una milésima de la cantidad inicial y, aun así, un número absoluto enorme. Parte en cambio de mil átomos y tras diez semividas esperas cerca de uno, momento en el que hablar de fracciones deja de ser útil y estás contando sucesos individuales. La regla de las diez semividas habla de proporciones, nunca de cantidades absolutas, y una muestra suficientemente grande puede seguir siendo medible mucho más allá.

Una semivida solo es constante si el proceso es de primer orden

Todo lo anterior supone que la velocidad de desaparición es proporcional a la cantidad presente. Eso es lo que significa primer orden, y la desintegración radiactiva es el caso de manual: cada núcleo se desintegra con una probabilidad fija por unidad de tiempo, al margen de sus vecinos. Bajo esa hipótesis la semivida es una propiedad de la sustancia y nunca cambia — la segunda semivida dura exactamente lo mismo que la primera. La IUPAC es cuidadosa con esto. Su entrada sobre la semivida de una reacción indica que el término solo tiene sentido en casos especiales, principalmente en cinética de primer orden; en una reacción de segundo orden la semivida depende de la concentración inicial y cada semivida sucesiva dura el doble que la anterior. Si estás calculando una semivida para un proceso cuya velocidad no sigue a su propio tamaño, el número que obtienes describe un punto de partida concreto y nada más.

El mismo cuidado se aplica cuando dos vías de eliminación independientes actúan a la vez. Un radionúclido dentro de un organismo vivo se va por dos mecanismos — se desintegra y el organismo lo excreta — y las dos constantes de velocidad se suman: 1 / t_eff = 1 / t_fís + 1 / t_biol. Como lo que se suma son los inversos, la semivida efectiva es siempre más corta que cualquiera de las dos por separado. Toma una semivida física de 8 días y una biológica de 24 días: los inversos dan 0,125 + 0,041667 = 0,166667, luego t_eff = 6 días, menos que la más corta del par. Sumar las semividas, o promediarlas, falla gravemente, y en el sentido que exagera cuánto perdura la sustancia.

Preguntas frecuentes

¿Cómo obtengo una semivida a partir de dos medidas?

Reordena la ley de desintegración: t½ = t × ln 2 / ln(N0 / N), donde N0 es la primera lectura, N la segunda y t el tiempo entre ambas. Supón que queda el 30 % tras 12 horas. Entonces ln(1 / 0,30) = 1,2040 y t½ = 12 × 0,6931 / 1,2040 = 6,91 horas. Compruébalo yendo hacia delante otra vez: (1/2)^(12 / 6,91) = 0,300. Dos lecturas son el mínimo, pero también la estimación menos robusta posible — el cociente N0 / N está dentro de un logaritmo, así que un pequeño porcentaje de ruido de medida desplaza el resultado de forma apreciable. Cuando los datos lo permitan, ajusta una recta de ln N frente a t sobre muchos puntos y toma la pendiente como −λ.

¿Es la semivida lo mismo que la vida media?

No, y la media es la mayor de las dos. La vida media vale τ = 1 / λ = t½ / ln 2, es decir 1,4427 veces la semivida — un isótopo con semivida de 10 días tiene una vida media de 14,4 días. La semivida es la mediana de la distribución de vidas individuales, el punto en que la mitad de las entidades ha desaparecido; la media queda arrastrada hacia la derecha por las pocas que sobreviven varias semividas. Confundirlas es un error del 44 %, y siempre en el mismo sentido, así que conviene comprobar de qué magnitud habla realmente una cifra publicada.

¿Toda cantidad que disminuye tiene una semivida?

Solo si decae exponencialmente, es decir, si la velocidad de pérdida es proporcional a la cantidad todavía presente. Eso cubre la desintegración radiactiva, las reacciones químicas de primer orden, la descarga de un condensador a través de una resistencia y los procesos de eliminación no saturados. No cubre una cantidad que baja un importe fijo por unidad de tiempo: un depósito que se vacía a 10 litros por minuto tarda 5 minutos en pasar de 100 a 50 litros y solo 2,5 minutos en pasar de 50 a 25, de modo que el tiempo de reducción a la mitad se acorta sin parar y no hay una semivida única que citar. La prueba rápida es comprobar si las sucesivas reducciones a la mitad tardan lo mismo. Si no, usa la ley de velocidad subyacente en vez de imponerle una semivida.