¿Cuánto se equivoca «nominal menos inflación»? En exactamente un año de inflación

Una línea de álgebra sustituye a todo el debate

Parte de lo que se supone que significa el rendimiento real: cuánto más puedes comprar, no cuántas unidades monetarias más tienes. Si una cesta cuesta 100 hoy y 103 el año que viene, y tu dinero pasa de 100 a 108, entonces el año que viene puedes comprar 108 ÷ 103 = 1,048544 cestas — una ganancia del 4,8544 % en cosas. Esa división es la definición, no un refinamiento de ella. Al reescribirla se obtiene (n − i) ÷ (1 + i), lo que muestra exactamente de dónde sale la resta y exactamente qué le falta: la resta es el numerador solo, con el denominador olvidado. Como el denominador vale (1 + i), olvidarlo multiplica la respuesta por (1 + i), y multiplicar por (1 + i) es exactamente no convertir el dinero del año pasado en dinero de hoy.

Los mercados que no tienen derecho a equivocarse no restan. Los bonos públicos indexados a la inflación funcionan escalando el principal por un coeficiente construido con el índice de precios al consumo — una multiplicación, aplicada a diario, precisamente para que el cupón real del título sea un cupón real y no un cupón real menos un convenio de redondeo. Los institutos estadísticos deflactan las series nominales dividiéndolas por un índice de precios, por la misma razón. Allí donde la respuesta debe sobrevivir al contacto con un sistema de liquidación, la operación es la división; la resta solo sobrevive donde nadie tiene que pagar la diferencia.

Por qué el producto de las dos tasas es la intuición equivocada

La regla popular dice que el atajo va bien cuando las tasas son bajas y se rompe cuando son altas, y suele explicarlo con el término cruzado n × i. Ese término cruzado está de verdad en el desarrollo — el error absoluto vale (n − i) × i ÷ (1 + i), o sea, para i pequeño, aproximadamente n × i menos i al cuadrado — pero tomar el producto por el motor produce una predicción falsa que se construye con facilidad. Mantén n × i fijo en 0,0060 y recorre esa curva. Con n = 60 % e i = 1 % el error son 0,5842 puntos. Con n = 20 % e i = 3 % son 0,4951. Con n = 6 % e i = 10 % son −0,3636, y con n = 2 % e i = 30 % son −6,4615. El mismo producto, errores que abarcan siete puntos y ambos signos. El motor no es el producto: es la distancia entre n e i, escalada por i.

La regla que sí se sostiene es la relativa, y se sostiene sin excepción porque es una identidad y no una aproximación: el atajo siempre sobra en exactamente i de la respuesta verdadera. Eso te da una corrección mental aplicable sin máquina. Calcula n − i y luego réstale ese tanto por ciento de inflación. Con un 8 % nominal y un 3 % de inflación, 5 % menos el 3 % de 5 % da 4,85 — la respuesta exacta a tres cifras. La deflación le da la vuelta: con un 2 % nominal y precios cayendo un 1 %, el rendimiento real exacto es del 3,0303 % y el atajo dice 3,0000, de modo que ahora el atajo se queda corto en un 1 % de la respuesta, porque i es negativa. La identidad se sostiene en ambas direcciones y no atiende al signo.

Quince centésimas de punto se convierten en 1 762,61 € en treinta años

Una brecha de 0,1456 puntos porcentuales suena a discusión de redondeo hasta que se capitaliza. Pon 10 000 € a trabajar al 8 % nominal durante treinta años con una inflación del 3 %. El capital nominal llega a 100 626,57 €. Defláctalo bien — divide por 1,03 elevado a treinta, o equivalentemente capitaliza al tipo real exacto — y vale 41 456,81 € en dinero de hoy. Capitaliza en cambio el 5 % del atajo y obtienes 43 219,42 €. El atajo exagera el resultado en 1 762,61 €, el 4,25 % del capital real. Que el error relativo pase del 3,00 % en un año al 4,25 % en treinta se debe a que los dos factores de crecimiento difieren en una razón constante, y una razón constante se capitaliza: 1,05 × 1,03 ÷ 1,08 vale 1,0013889, y 1,0013889 elevado a treinta vale 1,0425.

La misma lógica de capitalización arruina un segundo atajo de apariencia inofensiva: promediar la inflación de varios años y aplicarla una vez. Toma tres años al 8 % de rendimiento nominal contra una inflación del 2, 7 y 3 %. Encadena los rendimientos reales exactos año a año: el crecimiento real acumulado es del 12,0599 %, o sea una media geométrica del 3,8684 % anual. Aplica en cambio la inflación media aritmética del 4 % y obtienes el 3,8462 %. La brecha son aquí solo 0,0222 puntos, y va siempre en el mismo sentido — promediar la inflación infravalora el rendimiento real — porque el deflactor es convexo en la tasa. Es pequeña cuando la inflación es estable y crece con la varianza, es decir, precisamente cuando uno se ve tentado de tomar la media.

El impuesto cae sobre el rendimiento nominal, y eso aplasta la corrección de Fisher

Casi todos los sistemas fiscales gravan el número de unidades monetarias ganadas, no el poder adquisitivo ganado. Eso tiene una consecuencia de forma cerrada muy limpia. Si el impuesto se lleva una fracción t del rendimiento nominal, el rendimiento real que conservas cae en t × n ÷ (1 + i), y expresado como fracción del rendimiento real que habrías tenido, el tipo efectivo sobre tu rendimiento real es t × n ÷ (n − i). Con un 8 % nominal, un 3 % de inflación y un tipo del 30 %, eso da 0,30 × 8 ÷ 5 = 48 %: un tipo nominal del 30 % se lleva el 48 % de lo que de verdad ganaste. Recorre la escala y la aritmética no perdona — un 15 % nominal es el 24,0 % del rendimiento real; un 26,375 %, el 42,2 %; un 30 %, el 48,0 %; un 40 %, el 64,0 %.

La misma fórmula da la tasa de inflación a la que tu rendimiento real después de impuestos llega a cero: al despejar i se obtiene i = n × (1 − t). Con un 8 % nominal y un tipo del 30 %, una inflación del 5,6 % te deja exactamente donde empezaste en poder adquisitivo, pese a una ganancia positiva, gravable y declarable cada año. Ese es el orden honesto de los tres efectos de esta página. La corrección de Fisher vale 0,15 puntos en nuestro ejemplo. El impuesto vale 2,33 puntos. Y el impuesto y la inflación interactúan en vez de sumarse, porque el impuesto recae sobre un rendimiento que incluye la compensación de la inflación. Arregla primero el envoltorio fiscal, arregla después la fórmula, y no dejes nunca que el segundo debate desplace al primero.

Preguntas frecuentes

¿Es la resta alguna vez la operación correcta?

Sí, en dos casos honestos. El primero es el cálculo mental en el que conoces el sentido del sesgo y no cambia la decisión: con un 2 % de inflación el atajo sobra en un 2 % de la respuesta, lo que sobre un rendimiento real del 3 % son seis centésimas de punto, y ninguna decisión de ahorro se decide por eso. El segundo es trabajar en rendimientos compuestos de forma continua, donde la relación sí es una resta: si defines el rendimiento logarítmico como el logaritmo natural de uno más el rendimiento simple, entonces el rendimiento real logarítmico es exactamente el nominal logarítmico menos la inflación logarítmica, sin ningún término correctivo, porque los logaritmos convierten la división en diferencia. Por eso las magnitudes de composición continua son la convención en buena parte del trabajo de renta fija y académico. La trampa es mezclar convenciones — restar una inflación logarítmica de un rendimiento nominal simple produce un número que no es ninguno de los dos.

¿Qué tasa de inflación pongo — el índice publicado o la mía?

Depende de para qué sea la respuesta, y los dos usos necesitan de verdad entradas distintas. Si comparas tu resultado con un índice de referencia, un fondo, un rendimiento de bonos u otro inversor, usa el índice publicado de tu zona monetaria, porque es aquel por el que deflactan todos los demás y una comparación solo tiene sentido en una unidad común. Si te preguntas si podrás permitirte algo en el futuro, el índice publicado es una media ponderada de una cesta nacional, y tu cesta no es esa: alguien cuyo gasto está dominado por el alquiler en una ciudad concreta, o por el cuidado infantil, o por la energía, sufre una inflación personal que puede alejarse mucho del titular durante años. Haz las dos. La cifra publicada te dice cómo te fue; la tuya te dice qué comprará. Y fíjate en la asimetría que implica la identidad de arriba: como el error escala con i, una tasa personal unos puntos por encima de la nacional no solo desplaza la respuesta, sino que empeora el atajo en la misma proporción.

¿Y si la inflación es negativa?

La fórmula no cambia y el sesgo se invierte. Con un 2 % nominal y precios cayendo un 1 %, el rendimiento real exacto es 1,02 ÷ 0,99 − 1 = 3,0303 %, mientras que el atajo dice 3,0000 — el atajo ahora se queda corto, en exactamente un 1 % de la respuesta, que es i otra vez con su propio signo. La deflación favorece al ahorrador exactamente igual que la inflación lo castiga, y el efecto sobre un rendimiento real es mayor de lo que se espera: precios cayendo un 5 % convierten un 2 % nominal en un 7,3684 % real, donde el atajo diría 7. El único punto donde la aritmética se rompe de verdad es una inflación de exactamente menos 100 %, donde el denominador se anula y el rendimiento real queda indefinido — curiosidad matemática más que escenario económico, pero la razón de que una calculadora bien hecha rechace esa entrada en vez de devolver un infinito.

¿En qué se diferencia de deflactar sin más el importe final al final?

No se diferencia en nada, y esa es la mejor comprobación de todo el ejercicio. Capitalizar al tipo real exacto y deflactar el resultado nominal por el índice de precios son la misma operación escrita de dos maneras, porque dividir una vez al final por (1 + i) elevado al número de años es algebraicamente idéntico a dividir por (1 + i) dentro de cada año. Nuestras cifras lo enseñan: 10 000 € al 8 % durante treinta años dan 100 626,57 €, divididos por 1,03 elevado a treinta salen 41 456,81 €, y capitalizar 10 000 € al tipo real exacto del 4,8544 % durante treinta años da también 41 456,81 €. Si tus dos caminos discrepan, uno de ellos lleva una resta dentro. La razón práctica para preferir el tipo real es que hace legible la comparación con un objetivo: un real del 4,8544 % te dice de inmediato que el poder adquisitivo se cuadruplica más o menos en treinta años, mientras que un 8 % nominal y una serie de inflación aparte no te dicen nada hasta que has hecho la división de todos modos.