El patrón plano de un cono es un sector, no un círculo
Publicado el 2/9/2026 · 6 min de lectura · Calculadoras del día a día
Lena Hoffmann — Redactora de Ciencia y Educación en Allin
Matemáticas · Física
Verificado con 3 fuentes
Un cono se despliega en un sector circular cuyo radio es la generatriz y cuyo ángulo vale 360° por el radio de la base entre esa generatriz. Para un cono de 50 mm de radio de base y 80 mm de alto la generatriz es √(50² + 80²) = 94,34 mm, así que el patrón es un sector de 94,34 mm que abarca 360 × 50 ÷ 94,34 = 190,8 grados. Un tronco de cono se despliega en sector anular — la misma construcción con la punta cortada — de modo que un tronco de radios 50 y 20 mm sobre 80 mm tiene un radio exterior de patrón de 142,40 mm, uno interior de 56,96 y un sector de 126,4 grados. El ángulo nunca llega a 360 grados en un cono real: eso sería un disco plano.
Enrolla un cono de 50 mm de radio y 80 mm de alto: su patrón es una porción de 190,8° de un círculo de 94 mm. Despliega una pantalla casi cilíndrica y el radio del patrón llega a 839 mm — cuanto menor la conicidad, más lejos el vértice.
Por qué el ángulo vale 360 por el radio entre la generatriz
El círculo de base del cono debe convertirse en el arco exterior del sector al enrollar el patrón, así que esas dos longitudes han de ser iguales. La circunferencia de la base es 2πr. El arco de un sector de radio s y ángulo θ es 2πs por θ entre 360. Igualas y todo se simplifica salvo θ = 360 r ÷ s. Esa sola línea es toda la construcción, y por eso el ángulo del sector depende únicamente de la razón radio/generatriz y en absoluto del tamaño del cono.
Dos límites salen directamente de ahí. Un cono muy plano tiene una generatriz apenas más larga que su radio: la razón tiende a uno y el ángulo a 360 grados — el patrón se vuelve un disco al que le falta una astilla, 353 grados a diez milímetros de altura. Un cono muy alto tiene una generatriz mucho más larga que su radio: la razón tiende a cero y el sector se reduce a una punta — 44,7 grados a 400 mm de altura. Nada intermedio sorprende una vez que se tiene la fórmula.
Un tronco de cono tiene un vértice al que nunca llega
El patrón de un tronco de cono se traza desde el vértice del cono completo del que se cortó, aunque ese vértice no esté en ninguna parte del objeto. Por eso el radio exterior del patrón de un tronco supera su generatriz: para el tronco de 50/20 mm sobre 80 mm, la generatriz es 85,44 mm pero el radio exterior del patrón es 142,40 — los 56,96 mm de más son el trozo retirado, y se convierten en el radio interior del sector anular.
La consecuencia es la que atrapa a quien hace pantallas. A medida que el radio superior se acerca al inferior, el vértice imaginario huye al infinito y el radio del patrón con él. Manteniendo 100 mm de radio inferior y 250 mm de altura, el radio del patrón es de 269 mm para un cono completo, 633 mm con 60 mm arriba, 1254 mm con 80, 2502 mm con 90 y 25 metros con 99. Una pantalla que cabe en una mano pide un compás que no se vende.
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El radio del patrón es enorme, pero el patrón no lo es. Toma la pantalla: 200 mm de diámetro abajo, 140 arriba, 250 de alto. Su generatriz es de 251,8 mm, el radio exterior de su patrón de 839 mm, y su sector de solo 42,9 grados. Ese sector es una tira de 252 mm de ancho — la diferencia entre los radios exterior e interior — y de 628 mm de largo por su arco exterior. Cabe en una hoja de 30 por 70 centímetros, aunque el círculo del que procede mide 1,68 metros.
Así que no traces el círculo. Fija un cordel de 839 mm a un punto del suelo, o usa un listón con dos agujeros a 839 y 587 milímetros, y barre solo los cuarenta y tres grados que necesitas. O sáltate el arco: marca la longitud del arco exterior sobre una regla flexible apoyada en la curva y une los puntos, que es lo que hace el lienzo de la herramienta y lo que hace un taller con una vara de trazar. La geometría es exacta en ambos casos; solo el método de dibujo debe ser practicable.
| Altura | Generatriz | Ángulo del sector | Aspecto del patrón |
|---|---|---|---|
| 10 mm | 51,0 mm | 353,0° | Casi un disco entero |
| 30 mm | 58,3 mm | 308,7° | Un disco al que le falta una cuña |
| 50 mm | 70,7 mm | 254,6° | Dos tercios de disco |
| 80 mm | 94,3 mm | 190,8° | Poco más de medio disco |
| 150 mm | 158,1 mm | 113,8° | Menos de un tercio |
| 400 mm | 403,1 mm | 44,7° | Una cuña estrecha |
Preguntas frecuentes
- ¿Cuánto material gasta un cono?
- El área lateral es π por el radio por la generatriz en un cono completo, y π por la suma de los dos radios por la generatriz en un tronco. El cono de 50 mm y 80 mm de alto gasta 148,2 cm²; el tronco de 50/20 mm a la misma altura gasta 187,9 — más material para menos volumen, lo que sorprende hasta que se nota que el tronco es más ancho en toda su altura. Suma un margen de costura por un borde recto y, en una pantalla, un doblez en los dos arcos.
- ¿Puedo obtener el patrón sabiendo solo la generatriz?
- Sí, y a menudo es la medida más natural de tomar de un objeto existente — una cinta corrida por el lateral inclinado da la generatriz directamente. La herramienta pide la altura porque es lo que un plano suele indicar, pero ambas son intercambiables por Pitágoras: altura = √(generatriz² − radio²) en un cono completo, y √(generatriz² − (r₁ − r₂)²) en un tronco. Mide la que puedas medir con precisión y deduce la otra.
- ¿Por qué mi cono enrollado no cierra exactamente?
- Casi siempre por el grosor del material. La fórmula describe una superficie sin espesor, así que da el patrón de la superficie media; enrolla una chapa de 2 mm y el exterior recorre más camino que el interior, lo que aparece como solape o hueco en la costura. En chapa, la corrección de oficio es calcular sobre la fibra neutra — el medio espesor — y en cartón o tela un milímetro de ajuste en la costura lo absorbe. Cortar a la superficie media y prever una junta solapada en vez de a tope es la respuesta práctica.
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