Cómo hallar la distancia entre dos puntos

Por qué la fórmula es en realidad Pitágoras

Dibuja dos puntos, traza una horizontal desde uno y una vertical desde el otro. Se cortan en ángulo recto y forman un triángulo rectángulo cuyos catetos son la separación horizontal (x₂−x₁) y la vertical (y₂−y₁). La distancia en línea recta entre los puntos es la hipotenusa de ese triángulo.

Pitágoras dice cateto² + cateto² = hipotenusa², así que (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² = d². Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados se obtiene d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Esa es toda la fórmula — nada que memorizar que el triángulo no explique ya, y por eso también se extiende a tres dimensiones añadiendo un término (z₂−z₁)².

Un ejemplo resuelto de principio a fin

Toma los puntos A = (1, 2) y B = (4, 6). La separación horizontal es x₂−x₁ = 4−1 = 3 y la vertical y₂−y₁ = 6−2 = 4. Al cuadrado: 3² = 9 y 4² = 16. Su suma es 25, y √25 = 5, así que A y B están exactamente a 5 unidades.

El punto medio de A y B — el punto justo a mitad del segmento — promedia las coordenadas: ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2,5, 4). Compruébalo: la distancia de A al punto medio es √(1,5² + 2²) = √(2,25 + 4) = √6,25 = 2,5, la mitad de 5, exactamente como debe ser.

Errores frecuentes y comprobaciones rápidas

El error más común es elevar al cuadrado antes de restar — escribir x₂² − x₁² en vez de (x₂−x₁)². No son iguales, y es la segunda forma la que pide la fórmula. Calcula siempre primero la separación y luego elévala al cuadrado. Una separación negativa no importa: el cuadrado la vuelve positiva, por eso intercambiar los puntos da el mismo resultado.

Para una comprobación rápida, la distancia nunca puede ser menor que la separación horizontal o vertical por sí sola — la hipotenusa es siempre el lado más largo. Si tu resultado sale menor que 3 en el ejemplo anterior, has cometido un error de cálculo. Y si ambos puntos comparten la x o la y, la fórmula se reduce a una simple resta, útil para probar tu planteamiento.

Preguntas frecuentes

¿Importa cuál punto llame el primero?

No. Como cada separación se eleva al cuadrado, (x₂−x₁)² = (x₁−x₂)², así que intercambiar los puntos da exactamente la misma distancia. Elige el orden que sea más fácil de restar.

¿Cómo hallo el punto medio entre dos puntos?

Promedia las coordenadas: el punto medio es ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Para (1, 2) y (4, 6) es (2,5, 4). El punto medio siempre está sobre la recta que une los dos puntos.

¿Funciona la fórmula en tres dimensiones?

Sí. Añade una tercera separación al cuadrado para el eje z: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). La misma idea de Pitágoras se extiende a cualquier número de dimensiones sumando un término al cuadrado por eje.

¿Puede ser negativa la distancia?

No. Una distancia es una longitud, y la raíz cuadrada de la fórmula devuelve el valor no negativo. Es cero solo cuando los dos puntos coinciden, y positiva en los demás casos.