El principio del palomar demuestra que algo existe sin encontrarlo

Certeza en 367, cara o cruz en 23

La distancia entre lo garantizado y lo probable es aquí enorme, y es lo que hace sorprendente el problema del cumpleaños. Veintitrés personas ya dan un 50,7 por ciento de probabilidad de que dos compartan fecha, y cincuenta y siete lo llevan al 99 por ciento — y sin embargo la certeza sigue exigiendo 367, porque una disposición en la que todos los cumpleaños difieran sigue siendo posible hasta ese punto. El principio del palomar solo habla de la columna garantizada y calla sobre la otra. Recurrir a él cuando querías una probabilidad produce un enunciado cierto e inútil; recurrir a la probabilidad cuando hacía falta una garantía produce una afirmación que falla justo en la disposición que no consideraste.

Demostraciones de existencia que esconden la respuesta

Una función de hash que convierte cualquier archivo en un número fijo de bits tiene más entradas posibles que salidas, así que las colisiones deben existir — dos archivos distintos con el mismo resumen — y el principio del palomar lo demuestra en una línea. Encontrar una es otra cosa muy distinta, y la seguridad práctica de un hash descansa en esa distancia: todo el mundo sabe que las colisiones están ahí, y para una función sana nadie produce ninguna. La misma figura aparece dondequiera que haya un argumento de conteo: zanja si algo es posible y deja intacta la búsqueda. Es una virtud cuando necesitas saber que una búsqueda no es en vano, y una frustración cuando esperabas una dirección.

Preguntas frecuentes

¿Por qué 366 y no 365?

Porque el 29 de febrero es un cumpleaños posible y el principio tiene que sobrevivir al peor caso. Usar 365 cajones daría una garantía a 366 personas que falla en cuanto alguien del grupo nació en un día bisiesto, y una garantía que falla no es una garantía. Esa es la disciplina característica del principio: cada recuento debe ser el número de cajones concebiblemente utilizables, no el que se usa habitualmente, y todo razonamiento construido sobre el caso típico se derrumba justo en el ejemplo que alguien producirá para ponerlo a prueba.

¿Hay una versión para cajones desiguales?

Sí, y es el mismo argumento de conteo escrito con más cuidado. Si cada cajón tiene su propia capacidad, lo que cuenta es la capacidad total: supera la suma y algún cajón está por encima de su límite, aunque el principio siga sin decir cuál. También hay un primo probabilístico, usado cuando los objetos no los coloca un adversario sino el azar, y da umbrales mucho menores — el problema del cumpleaños es exactamente ese primo, y la distancia entre 23 y 367 mide bien lo que te aporta la hipótesis de azar.