Un sorteo de amigo invisible falla el 63 % de las veces, sea cual sea el grupo

Por qué la respuesta deja de depender del grupo

Añadir una persona añade una posibilidad de que se saque a sí misma, y añade también un nombre que todos los demás pueden sacar en su lugar. Ambos efectos casi se cancelan, y el residuo es una serie alternada cuyos términos decrecen como los inversos de los factoriales — precisamente la serie de 1/e. Como los factoriales crecen tan deprisa, la cola de esa serie es despreciable tras un puñado de términos, y la respuesta se congela. La intuición espera que un grupo grande sea más seguro, con el argumento de que el nombre propio es una fracción menor del sombrero; la aritmética responde que las oportunidades adicionales de fallo llegan al mismo ritmo.

Repetir el sorteo no es el remedio que se cree

Sortear de nuevo hasta que nadie tenga su propio nombre sí produce una asignación válida, y de media hacen falta unos 2,7 intentos para llegar — uno dividido por 0,368. Lo que no produce es una asignación válida uniformemente aleatoria, si la repetición se hace de cualquier manera: intercambiar solo la pareja culpable, o dejar que quien se sacó a sí mismo vuelva a elegir de lo que queda, sesga el resultado de un modo invisible en una tirada y evidente a lo largo de unos años de la misma fiesta de oficina. Los enfoques limpios son rechazar el sorteo entero y volver a empezar, o construir un único ciclo aleatorio que recorra todos los nombres, lo que es un desarreglo por construcción.

Preguntas frecuentes

¿Qué es exactamente un subfactorial?

Cuenta las permutaciones de n objetos que no dejan nada en su sitio, y se escribe !n, con la exclamación delante. Tiene una recurrencia limpia — !n vale n−1 por la suma de los dos subfactoriales anteriores — y un atajo aún más limpio: !n es el entero más próximo a n! dividido por e, para todo n desde uno. Ese segundo hecho explica que la razón de la tabla converja tan a la vista; el número de desarreglos es esencialmente un factorial dividido por e, redondeado, y el redondeo es lo único que separa la sucesión de la constante.

¿Cubre la misma matemática los problemas de emparejamiento en general?

Cubre la versión pura y se detiene donde empiezan las restricciones. Los desarreglos responden a la pregunta de que nadie se saque a sí mismo, y a nada más: en cuanto se añade una regla — las parejas no deben sacarse, los emparejamientos del año pasado quedan vetados, alguien está ausente — el conteo cambia y la bonita convergencia a 1/e desaparece. Esas variantes siguen siendo contables, normalmente por inclusión-exclusión, pero ya no tienen una respuesta única y memorable. El 36,8 por ciento es una referencia para el caso sin restricciones, y merece conocerse precisamente porque tantos sorteos reales parten de ahí antes de que alguien añada una regla.