Frecuencia de capitalización: de dónde sale la capitalización continua

Calcula la sucesión y el tema entero se derrumba

Un tipo nominal anual r abonado n veces al año abona r/n cada vez, y cada abono devenga intereses hasta fin de año. Un año así vale (1 + r/n)^n. Pon r = 0,06 y sube n sobre 10 000 €: anual da 10 600,00 €, semestral 10 609,00 €, trimestral 10 613,64 €, mensual 10 616,78 €, diaria 10 618,31 €, horaria 10 618,36 €, por segundo 10 618,37 €. La sucesión crece estrictamente y aun así se estanca a la vista. De diaria a por segundo — 86 400 veces más eventos de capitalización — se ganan seis céntimos.

Se estanca porque cada división extra hace dos cosas opuestas. Partir el abono en dos hace que los intereses empiecen antes a generar intereses, lo que ayuda — pero cada mitad es también la mitad de grande, y a la segunda solo le queda medio año para capitalizarse, lo que anula casi toda la ganancia. El efecto neto decrece como 1/n. El techo es e^r: 1,0618365465 para r = 0,06, o sea 10 618,37 €. Ningún calendario de capitalización, por fino que sea, lo supera. Ese es todo el contenido de la capitalización continua, y por eso la expresión intimida mucho más de lo que la aritmética merece.

Por qué el techo es e, precisamente

La constante e se define como el límite de (1 + 1/k)^k cuando k crece sin cota: 2 para k = 1, 2,5937 para k = 10, 2,7048 para k = 100, 2,71815 para k = 10 000, convergiendo a 2,718281828… Reescribe nuestra sucesión con k = n/r, de modo que r/n = 1/k y n = k·r. Entonces (1 + r/n)^n se convierte en ((1 + 1/k)^k)^r, y cuando n crece, k crece con él: el paréntesis tiende a e y el conjunto tiende a e^r. Esa es toda la deducción. La capitalización continua no es otro tipo de interés; es el mismo interés con la sustitución hecha.

De ahí salen de inmediato dos fórmulas que vale la pena memorizar en lugar de todo lo demás. Hacer crecer un importe P durante t años a un tipo capitalizado en continuo r da P·e^(r·t). Descontar en sentido inverso — la operación detrás de todo cálculo de valor actual, incluidos los de nuestro artículo hermano sobre valor actual y valor futuro — da P·e^(−r·t). Son inversas exactas, se componen limpiamente sobre cualquier horizonte y, a diferencia de (1 + i)^n, no te obligan a decidir qué es un periodo.

Un tipo nominal no es un tipo que llegues a cobrar

La cifra anunciada en una cuenta de ahorro o en una tarjeta es casi siempre nominal: una etiqueta anualizada de un tipo periódico, obtenida multiplicando y no capitalizando. Un 6 % nominal capitalizado mensualmente significa un 0,5 % al mes, y doce meses al 0,5 % dan un 6,1678 %, no un 6. El tipo efectivo anual vale TEA = (1 + r/n)^n − 1; al revés, el tipo nominal que produce una TEA buscada vale r = n·((1 + TEA)^(1/n) − 1). Nada de ese par de fórmulas es opcional: el tipo nominal solo existe como convención de anuncio, el tipo efectivo es el dinero.

Ahí es exactamente donde divergen la TAE de crédito y el rendimiento efectivo, y por qué ambos aparecen a cada lado del mismo producto. En un depósito, la cifra de rendimiento está capitalizada: es la mayor y la que a los bancos les gusta mostrar. En crédito, lo destacado suele ser el tipo nominal, de modo que un 24 % nominal cobrado mensualmente son un 26,82 % efectivo, y cobrado diariamente un 27,11 % — el titular de la tarjeta paga unos tres puntos más de lo que sugiere el anuncio. Añade la segunda complicación y la brecha se ensancha: una TAE según la normativa europea de crédito al consumo incorpora los gastos obligatorios, y puede por tanto superar al tipo de interés efectivo incluso antes de considerar la capitalización. Compara depósitos por rendimiento efectivo, compara créditos por la cifra todo incluido que defina tu regulador, y nunca compares una con otra.

Cuándo la distinción vale dinero y cuándo no

Es la parte que la mayoría de las explicaciones se salta, y la única que le dice al lector si debe importarle. Sobre 10 000 € durante un año al 6 %, la capitalización mensual rinde 10 616,78 € y la continua 10 618,37 €: una diferencia de 1,59 €, o el 0,016 % del capital. Nadie debería cambiar una decisión por eso. Al 24 % — un tipo de tarjeta plausible — la misma brecha anual vale 30,07 € sobre 10 000 €, diecinueve veces más en euros pero aún el 0,24 % del saldo. No es la distinción lo que encarece una tarjeta; es el 24 %.

Es el tiempo lo que convierte el error de redondeo en una cifra real. Mantén el 6 % diez años y la brecha mensual-continua sobre 10 000 € sube a 27,22 €; mantenla treinta y llega a 270,72 €, todavía un 0,45 %. Mantén en cambio el 24 % durante treinta años y la mensual da 12 475 611 € frente a 13 394 308 € en continua — una brecha de 918 696 €, o el 7,4 % del saldo. Esa es la regla honesta: la cuestión de la frecuencia es un detalle de redondeo en productos de consumo a tipos ordinarios, y solo se vuelve un importe real donde el tipo es alto y el horizonte largo, lo que en la práctica significa modelos y no cuentas.

Dónde se usa de verdad la capitalización continua

La valoración de opciones es el caso más claro. El marco de Black-Scholes descuenta con e^(−r·T) y modela el precio del activo como la exponencial de un proceso con deriva capitalizada en continuo, porque la matemática de una difusión no contiene ningún periodo natural — no hay mes, solo instante. Las mesas de bonos y de swaps cotizan igualmente en capitalización continua cuando quieren un tipo que se sume de un vencimiento a otro sin que se interponga un convenio de conteo de días. En ninguno de estos casos nadie sostiene que un banco abone intereses cada instante; el tipo continuo es un cambio de coordenadas que hace dócil al álgebra.

Los rendimientos logarítmicos se suman; los porcentajes no

Toma 10 000 €, gana un 50 % y luego pierde un 50 %. Los porcentajes promedian cero; el dinero no. 10 000 € pasan a 15 000 € y luego a 7 500 € — una rentabilidad total del −25 %, y una media por periodo del −13,40 %, no del 0. Las rentabilidades porcentuales se componen multiplicando, y a la multiplicación le da igual cuál sea la media de los factores. Esa sola asimetría está detrás de casi toda mala lectura de un historial, y detrás de toda afirmación de que un fondo está «plano» tras un ida y vuelta violento.

Los rendimientos logarítmicos lo arreglan exactamente. Define el rendimiento logarítmico de un periodo como ln(final ÷ inicio). Aquí ln(1,5) = 0,405465 y ln(0,5) = −0,693147; su suma vale −0,287682, y e^(−0,287682) = 0,750000, el verdadero factor acumulado. Los rendimientos logarítmicos se suman en el tiempo porque el logaritmo convierte productos en sumas — la misma propiedad que hace del tipo capitalizado en continuo la unidad natural de un modelo multiperiodo. El precio de esa comodidad: los logs no se suman entre activos de una cartera, donde los rendimientos simples sí. Usa logs en el eje del tiempo y rendimientos simples en el eje de las posiciones, nunca al revés.

Preguntas frecuentes

¿La capitalización continua existe de verdad en un banco?

No. Los intereses se abonan en fechas discretas — día, mes, trimestre — porque una cuenta es un libro y un libro tiene asientos. La capitalización continua es el límite al que esos calendarios se acercan, usada porque deja las fórmulas más limpias, no porque alguien registre un apunte cada instante. Su valor práctico es que elimina el periodo del álgebra: e^(r·t) funciona para cualquier t, así que un tipo cotizado en continuo se mueve entre horizontes sin convenio de capitalización que discutir. Trátala como unidad de modelización y conviértela a tipo efectivo anual en cuanto quieras compararla con un producto.

¿Por qué el rendimiento de mi cuenta de ahorro supera el tipo anunciado?

Porque las dos cifras responden a preguntas distintas. El tipo anunciado suele ser nominal — el tipo periódico multiplicado hasta cubrir el año — mientras que el rendimiento capitaliza los intereses realmente abonados. Al 6 % nominal abonado mensualmente, el rendimiento vale (1,005)^12 − 1 = 6,17 %; abonado a diario, 6,18 %. La brecha se ensancha con el tipo, y por eso es invisible en un depósito de tipo bajo y llamativa en una tarjeta de crédito. Para comparar dos cuentas, exige la cifra capitalizada de ambas y comprueba la frecuencia de capitalización escrita en las condiciones en lugar de suponerla.

¿Capitalizar más a menudo me ayuda o me perjudica?

Depende por completo de en qué lado del balance estés. Sobre dinero que te deben — depósito, bono, inversión — capitalizar más a menudo es estrictamente mejor, porque los intereses empiezan antes a generar intereses. Sobre dinero que debes, es estrictamente peor por la misma razón: una tarjeta que capitaliza a diario cuesta más que otra al mismo tipo nominal capitalizando mensualmente. El sentido no cambia nunca; solo cambia la magnitud, y como muestra el artículo, es pequeña a tipos ordinarios. Si dos ofertas anuncian el mismo tipo nominal pero frecuencias distintas, conviértelas ambas a tipo efectivo anual antes de elegir.

¿Cómo convierto un tipo continuo en uno anual ordinario?

Una exponencial en cada sentido. Un tipo capitalizado en continuo r corresponde a un tipo efectivo anual de e^r − 1: con r = 0,06 sale un 6,1837 %. Al revés, el tipo continuo equivalente a un tipo efectivo anual vale ln(1 + TEA): un 6 % efectivo son un 5,8269 % continuo. Fíjate en la dirección de cada conversión — para el mismo dinero, el tipo continuo es siempre el menor de los dos, porque capitaliza más a menudo y necesita por tanto el menor titular para llegar al mismo sitio. Confundirlos es el error más frecuente en una hoja de cálculo que mezcla ambos convenios.

¿Por qué los analistas usan rendimientos logarítmicos en vez de porcentajes?

Porque se suman, y sumar es lo que la estadística necesita. Sumar una columna de rendimientos logarítmicos da exactamente el rendimiento logarítmico acumulado, de modo que una media, una desviación típica y un reescalado temporal se comportan bien. Los rendimientos porcentuales se componen multiplicativamente, así que su media aritmética exagera lo ocurrido — el ejemplo de +50 y luego −50 promedia cero mientras el dinero ha caído un 25 %. Los rendimientos logarítmicos son además simétricos: duplicar vale +0,693 y dividir entre dos −0,693, mientras la pareja porcentual vale +100 y −50. Lo único que no saben hacer es agregar una cartera en un instante dado, donde los rendimientos simples son la herramienta correcta.