Longitud de correa entre dos poleas: la geometría, y por qué el resultado no es lo que se pide

Por qué no es dos veces la distancia entre centros más las dos circunferencias

La suma ingenua cuenta casi todo por duplicado. Una correa toca cada polea en un arco y luego sale por la tangente; nunca da la vuelta completa a ninguna. En la polea grande el arco supera algo la media circunferencia; en la pequeña se queda algo por debajo, y las dos desviaciones respecto a la mitad se compensan casi a la perfección — de ahí que la respuesta exacta contenga una sola circunferencia media, π(D1 + D2)/2, y no dos enteras. Suma las dos circunferencias completas y habrás contado una vuelta entera de cada polea que la correa nunca da.

Los ramales rectos son la otra mitad de la sorpresa, y van en sentido contrario: son más cortos que la distancia entre centros, no más largos. Cada tangente es el cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia entre centros y cuyo otro cateto es la semidiferencia de diámetros, así que mide la raíz de C² − ((D1 − D2)/2)². Con poleas de 200 y 100 mm separadas 400 mm, cada ramal recto mide 396,86 mm en vez de 400 — 3,14 mm menos, dos veces. El término corrector (D1 − D2)²/(4C) de la fórmula es lo que recupera eso y algo más, y es el único sitio donde aparece la diferencia de tamaño entre las dos poleas. En el ejemplo métrico vale 6,25 mm de 1 277,49 — medio por ciento. Con dos poleas del mismo diámetro es exactamente cero, el abrazo es exactamente 180° en ambas, y la correa vale simplemente dos veces la distancia entre centros más una circunferencia.

La fórmula, la variante cruzada y cuánto se desvía la aproximación

La herramienta implementa las formas cerradas clásicas. Abierta: L = 2C + π(D1 + D2)/2 + (D1 − D2)²/(4C). Cruzada: los dos mismos primeros términos, pero la corrección pasa a (D1 + D2)²/(4C), porque una correa cruzada envuelve ambas poleas en más de la mitad. En el ejemplo métrico, la abierta da 1 277,49 mm y la cruzada 1 327,49 mm — 50 mm más con el mismo material, conviene saberlo antes de pedir. La herramienta imprime además los dos primeros términos solos, como segundo resultado, con el rótulo de longitud sin el término de corrección: 1 271,24 mm. Esa cifra no es una correa, es un diagnóstico: te dice qué parte de la respuesta es geometría pura y qué parte viene del desajuste entre poleas.

Ambas formas cerradas son aproximaciones, no identidades. La respuesta exacta necesita un arcoseno, porque el ángulo de abrazo en cada polea depende de la geometría: 180° más dos veces el arcoseno de la semidiferencia entre la distancia entre centros en la polea grande, y 180° menos lo mismo en la pequeña. Lanza el caso por defecto de la herramienta y la desviación es invisible: 1 277,49 mm frente a 1 277,50 exacto, ocho micras. Fuerza la relación y crece: poleas de 250 y 50 mm separadas 160 mm abrazan la pequeña solo 102,6°, y ahí la fórmula sale 2,33 mm corta, un 0,27 %. Las correas cruzadas se desvían más deprisa porque su término corrector es mayor. El sesgo va siempre en el mismo sentido — la aproximación se queda corta — y ese es el buen sentido para equivocarse, porque prefieres encontrar la correa algo tensa a mitad de su ajuste que algo floja al final del recorrido.

La longitud calculada es una entrada de catálogo, no un pedido

Nadie fabrica una correa al milímetro que has elegido. Las correas se moldean y vulcanizan en tambores dentro de una serie normalizada de longitudes, marcadas con una letra de sección y un código de longitud, y se almacenan en esa serie — que es justo por lo que el flujo útil va al revés de lo que la gente espera. Calculas la longitud que pide tu geometría actual, la buscas, ves que cae entre dos medidas en stock y entonces eliges alrededor de qué medida disponible construir la transmisión, moviendo el motor en consecuencia.

La aritmética de ese movimiento es más fácil de lo que parece, porque la longitud está dominada por su primer término. Deriva y obtienes dL/dC = 2 − (D1 − D2)²/(4C²), que en el ejemplo métrico vale 1,984 — llámalo dos. Cada milímetro que muevas el motor cambia la necesidad de correa en algo menos de dos milímetros, y la misma relación vale en pulgadas. Así que si la herramienta dice 1 277,49 mm con 400 mm entre centros y quieres aterrizar en 1 250 mm, tienes que perder 27,49 mm de correa, o sea acercar los ejes 13,86 mm: pon C en 386,14 mm. Vuelve a meter 386,14 en la herramienta y devuelve 1 250,00 mm — la comprobación que conviene hacer en vez de fiarse de la derivada.

Dos restricciones prácticas acotan esa elección. El motor debe conservar recorrido suficiente en ambos sentidos: holgura para calzar la correa nueva sin forzarla por encima del ala, lo que arruina los cables, y recorrido de tensado de reserva para el estiramiento que tomará en sus primeras horas de servicio. Y hay un suelo de ángulo de abrazo. Por debajo de unos 120° en la polea pequeña, una correa trapecial empieza a patinar antes de transmitir su potencia nominal, lo que la tabla de abajo traduce en distancia mínima entre centros para un par de poleas dado. Ambas son razones para diseñar hacia la mitad del rango de ajuste y no hacia una cifra.

Velocidad, relación y qué polea es la motriz

Rellena una velocidad motriz y la herramienta añade dos números que deciden si la transmisión sirve de algo. La velocidad conducida es la motriz por la relación de diámetros: una polea de 200 mm a 1 450 rpm moviendo una de 100 mm da 2 900 rpm — pero solo si el selector dice que la de 200 mm es la motriz. Cámbialo y el mismo material informa de 725 rpm, porque la relación se invierte. Ese selector es fácil de dejar como estaba sin darse cuenta, y el síntoma es un número perfectamente plausible, equivocado por el cuadrado de la relación si luego razonas sobre el par a partir de él.

El otro número es la velocidad lineal de la correa, igual a la circunferencia de la polea motriz por su velocidad: 15,18 m/s en el ejemplo métrico. Importa porque cada sección de correa tiene un rango de velocidad en el que se comporta, y los dos extremos son reales. Demasiado lenta, la correa tiene que soportar demasiada fuerza para mover la misma potencia: necesita más sección o más ramales. Demasiado rápida, la fuerza centrífuga empieza a levantar la correa de la garganta, lo que recorta justo el agarre del que vive, y la sección se calienta. Ojo: esta salida se queda en metros por segundo sea cual sea el mercado, porque el motor de visualización no tiene conversión imperial prevista para esa unidad.

Lo que la herramienta no te dirá

No comprueba que el montaje sea físicamente posible. Pídele poleas de 200 y 100 mm con solo 120 mm entre ejes y devuelve 732,07 mm sin comentario, aunque los dos radios sumen 150 mm y las poleas ocuparían por tanto el mismo espacio. Pon la distancia entre centros a cero: una salida se va a infinito mientras la otra sigue mostrando unos finitos 471,24 mm, el segundo término calculándose tan tranquilo por su cuenta. Pon el diámetro conducido a cero: seguirá dándote una longitud de correa y una velocidad, y solo el campo de velocidad conducida se queda vacío. Todo es la misma clase de hueco: se evalúa la fórmula, no se evalúa el dibujo.

El selector de unidad merece su propio aviso, porque gobierna las tres longitudes a la vez. Teclea 200, 100 y 400 dejando la unidad en pulgadas y obtienes una correa de 32 448,2 mm — aritméticamente perfecta, y describiendo una transmisión del tamaño de un autobús. No hay contraste entre los diámetros y la distancia entre centros, y nada en el resultado señala la incoherencia. La regla es simple: fija la unidad antes de escribir nada y contrasta el resultado con dos veces la distancia entre centros — la correa siempre vale un poco más que eso más una circunferencia media, y nunca otra cosa.

Preguntas frecuentes

¿Qué diámetro se mide en una polea trapecial?

El que la correa recorre de verdad, que no es el que el calibre alcanza más fácil. Una correa trapecial se hunde en su garganta: su línea de contacto queda por debajo del diámetro exterior de la polea, en una cantidad que depende de la sección de correa y del desgaste de la garganta. Los catálogos lo llaman diámetro primitivo o efectivo y lo dan para cada polea; usa esa cifra. Medir por el borde e introducir ese resultado sobrestima los dos arcos y da una correa un pequeño porcentaje demasiado larga, suficiente para agotar el recorrido de ajuste. Las correas planas y dentadas son más simples: una plana rueda sobre la superficie exterior, y una dentada sobre una línea primitiva justo por encima del fondo de los dientes, de nuevo indicada en el catálogo.

¿Cómo de tensa debe ir la correa?

Lo bastante tensa para no patinar, y nada más, porque todo lo que pase de ahí se gasta en los rodamientos y no en la carga. El método de taller es la flecha: se aprieta el centro del ramal libre más largo con una fuerza conocida y se comprueba que la correa se hunde una distancia dada, del orden de 1/64 del vano por unidad de vano, con la fuerza y la flecha tomadas de la tabla del fabricante para esa sección. Que la regla sea relativa al vano se debe a que un ramal largo es intrínsecamente más blando a igual tensión. Dos errores son frecuentes y opuestos: tensar de más porque la transmisión chirrió una vez, lo que mata los rodamientos del motor y del eje meses después sin que se relacionen ambas cosas; y no volver a comprobar nunca, cuando una correa nueva hace la mayor parte de su asiento y su estiramiento en las primeras horas — la rutina correcta es tensar, hacerla girar brevemente con carga y volver a tensar.

¿Por qué la correa cruzada necesita más longitud que la abierta?

Porque cruzar la correa aumenta el abrazo en las dos poleas a la vez, en lugar de intercambiarlo entre ellas. En un montaje abierto la correa gana arco en la polea grande y pierde el mismo en la pequeña, así que el total se queda cerca de una circunferencia media. Crúzala y tiene que atravesar dos veces la línea de centros, lo que envuelve cada polea en más de la mitad y alarga los dos ramales rectos. Por eso el término corrector pasa de (D1 − D2)² a (D1 + D2)², mucho mayor: en el ejemplo métrico lleva la correa de 1 277,49 mm a 1 327,49 mm, 50 mm más. Ese abrazo extra explica también por qué los montajes cruzados agarran bien y por qué se gastan rápido — la correa roza contra sí misma en el cruce —, de ahí que se usen para invertir un eje lento y no para transmitir potencia de verdad.

La herramienta da dos longitudes. ¿Cuál uso?

La primera, siempre. La segunda lleva el rótulo de longitud sin el término de corrección y es solo los dos primeros términos de la fórmula: dos veces la distancia entre centros más una circunferencia media, 1 271,24 mm en el ejemplo métrico frente a 1 277,49 mm del total. Es la longitud que haría falta si ambas poleas estuvieran abrazadas exactamente 180°, cosa que solo ocurre si son del mismo tamaño. Su uso es de diagnóstico: la diferencia entre las dos cifras te dice de un vistazo cuánto de la respuesta viene del desajuste entre poleas, y si esa diferencia se hace grande frente al total, estás en la zona donde la forma cerrada empieza a alejarse del resultado exacto con arcoseno. Con dos poleas iguales las dos salidas coinciden: es la herramienta diciéndote que el término corrector es cero.

¿No puedo simplemente medir la correa vieja?

Puedes, y primero deberías leer el código moldeado en su dorso, porque esa es la respuesta sin medir nada. Si la marca es ilegible, medir funciona, con dos trampas. Una correa usada se ha estirado, a veces un uno por ciento o más, así que medirla da una longitud que nunca fue una talla de catálogo. Y una correa trapecial se mide en su línea primitiva, ni por fuera ni por dentro: pasar una cinta por la cara exterior sobrestima y por la interior subestima — el apaño habitual es enrollar un cordel en la garganta de una polea de tamaño conocido. La calculadora esquiva ambos partiendo de la geometría que sigue en la máquina: dos poleas medibles y una distancia entre centros medible, y nada de eso se ha estirado.