Los descuentos acumulados no se suman

Los descuentos se multiplican, no se suman

Piensa en lo que sobrevive en lugar de en lo que se quita. Un descuento del 20 % deja el 80 % del precio, es decir una multiplicación por 0,80. Otro 10 % deja el 90 % de lo que tenga delante, una multiplicación por 0,90. Aplicar ambos deja 0,80 × 0,90 = 0,72 del original, así que el descuento total es 1 − 0,72 = 0,28, un veintiocho por ciento. La segunda rebaja es menor en términos absolutos que la primera porque opera sobre un número más pequeño — los dos puntos que faltan son exactamente el 10 % del 20 % ya retirado. Ese es todo el mecanismo, y se generaliza de inmediato: para cualquier cadena de descuentos, la fracción superviviente es el producto de las fracciones supervivientes individuales, y el descuento total es 1 − Π(1 − dᵢ).

La tabla de arriba recorre las combinaciones habituales. Fíjate en que el error de la suma ingenua crece con el tamaño de las rebajas: 20 % y 10 % sobreestima solo dos puntos, pero 40 % y 30 % sobreestima doce, y una tienda que anuncia 50 % y luego 30 % y luego 20 % está lejos de regalar la mercancía — la cifra real es 72 %, no 100 %. De hecho, ninguna cadena de descuentos ordinarios puede llegar al 100 %, porque cada factor es estrictamente positivo y su producto también. Cien rebajas sucesivas del 10 % dejan aún 0,9¹⁰⁰, pequeño pero no nulo. Es una comprobación de sentido común útil al leer una oferta: si los descuentos anunciados suman más del 100 %, la aritmética no se está haciendo como tú la harías.

El orden es irrelevante para los porcentajes y decisivo para los vales

Dos descuentos porcentuales conmutan, y se demuestra en una línea: 0,80 × 0,90 y 0,90 × 0,80 son ambos 0,72. En un artículo de 120 € pagas 86,40 € en cualquier orden que los aplique la caja, así que discutir en el mostrador sobre qué promoción va primero es aliento desperdiciado. No es una casualidad de estos números concretos; la multiplicación es conmutativa para cualquier par, así que ningún orden de porcentajes puros puede cambiar el resultado. Si una tienda afirma lo contrario, una de las ofertas no es un porcentaje.

Añade un vale de importe fijo y la simetría se derrumba, porque restar una constante y multiplicar por un factor no conmutan. Toma un artículo de 120 € con una promoción del 25 % y un vale de 20 €. Primero el porcentaje: 120 × 0,75 = 90 €, menos el vale, 70 €. Primero el vale: 120 − 20 = 100 €, menos un 25 %, 75 €. Cinco euros bien reales separan ambos caminos, y la brecha no es arbitraria — siempre es el vale multiplicado por la tasa de descuento, aquí 20 × 0,25 = 5. Sube los números y crece lo que está en juego: en un artículo de 200 € con un 40 % de descuento y un vale de 30 €, el porcentaje primero da 90 € y el vale primero da 102 €, una brecha de 30 × 0,40 = 12 €. El porcentaje primero siempre es mejor para el cliente y el vale primero siempre es mejor para la tienda, y por eso el orden se escribe en las condiciones en lugar de dejarse al azar.

Lo que el impuesto le hace a la respuesta — y no es igual a los dos lados del Atlántico

En Europa el precio mostrado ya incluye el IVA, de modo que un descuento porcentual recae exactamente sobre lo que pagas. Toma un artículo de 120 € en un país con un IVA del 20 %: la etiqueta contiene 100 € sin impuesto y 20 € de IVA. Con un 20 % de descuento pagas 96 €, de los cuales 80 € sin impuesto y 16 € de IVA. Ahorras exactamente 24 €, es decir exactamente el 20 % de lo que habrías pagado — ninguna sorpresa en caja. La razón es que el descuento y el IVA son dos multiplicaciones que conmutan: aplicar 0,80 al precio con impuesto o al precio sin impuesto antes de volver a añadir el IVA da los mismos 96 €. El sistema de precio con impuesto incluido hace, pues, que la promesa sea literalmente cierta.

El caso interesante, en régimen de precio con impuesto incluido, es el vale de importe fijo, porque se lleva consigo su parte de IVA. Un vale de 20 € sobre ese artículo de 120 € deja 100 € a pagar, de los cuales 83,33 € sin impuesto y 16,67 € de IVA: el propio vale se descompone en 16,67 € sin impuesto y 3,33 € de IVA. El comerciante no regala, pues, 20 € de margen: regala 16,67 € de facturación y recupera el IVA correspondiente. Eso explica por qué las cadenas suelen preferir los vales a los descuentos porcentuales en cestas altas, y por qué las condiciones casi siempre precisan en qué orden se aplican las ventajas — un detalle que, como hemos visto, vale el vale multiplicado por la tasa de descuento.

Hacia atrás: el descuento único equivalente

La pregunta que de verdad se hace quien compra no es qué hace la combinación, sino a qué descuento único equivale, y eso sale directamente de la misma fórmula: multiplica las fracciones supervivientes y resta de uno. Una combinación de 20 % y 10 % equivale a un 28 %. Una de 25 % y 15 % equivale a un 36,25 %. Una de 50 %, 30 % y 20 % equivale a un 72 %. Leer las ofertas así las hace comparables de un vistazo, que es la única forma de saber si el 35 % plano de un competidor bate a la tienda de enfrente que anuncia un 25 % más un 15 % adicional. La bate por poco: 35 % frente a 36,25 % es una derrota por algo más de un punto.

La misma fórmula responde a la pregunta de diseño desde el otro lado. Si quieres una promoción en dos pasos que aterrice exactamente en un 50 % de descuento, no te sirven dos rebajas del 25 % — eso da un 43,75 %. Dos descuentos iguales d que se combinen en un 50 % deben cumplir (1 − d)² = 0,5, así que d = 1 − √0,5 = 29,29 %. Y si estás construyendo una combinación de cartel, recuerda que la primera rebaja hace casi todo el trabajo: tras un descuento del 50 %, un 20 % adicional solo retira otros diez puntos del precio original. La ganancia comercial de una larga cadena de pequeñas ofertas adicionales es mucho menor de lo que parece en el cartel, y por eso justamente las cadenas largas acaban en los carteles.

El margen que deshace un descuento es mayor que el descuento

Un descuento del 20 % lleva un precio al 80 % de sí mismo. Para volver al original hay que dividir entre 0,80, que es multiplicar por 1,25 — un margen del 25 %, no del 20 %. La regla general es que revertir un descuento de d exige un margen de d ÷ (1 − d), y ambos solo convergen para valores muy pequeños. Tras un descuento del 25 % necesitas un 33,33 %. Tras uno del 30 % necesitas un 42,86 %. Tras uno del 50 % necesitas duplicar el precio. Esta asimetría no es una curiosidad: es la razón por la que un minorista que marca un coste de 100 con un 20 % hasta 120, y luego anuncia un 20 % de descuento, vende a 96 y pierde un cuatro por ciento sobre el coste. Aplicar un margen porcentual y descontar el mismo porcentaje nunca sale a la par.

Esto importa cuando un descuento se negocia en una unidad y se tarifica en otra. Si un comprador pide un 15 % de descuento y el vendedor tiene un 15 % de margen bruto, concederlo no reduce el beneficio a la mitad — lo elimina por completo y algo más, porque el margen se calculaba sobre el precio de venta mientras que el descuento se aplica a ese mismo precio de venta. La forma rigurosa de llevar estas conversaciones es convertirlo todo a multiplicadores antes de aceptar nada: coste por margen da el precio, precio por (1 − descuento) da el importe cobrado, y ambos solo son comparables en esa forma. Los porcentajes expresados sobre bases distintas no se suman, y en este caso concreto el error aritmético se paga directamente en la cuenta de resultados.

Preguntas frecuentes

¿Un 20 % de descuento más otro 10 % es lo mismo que un 30 %?

No. Es un 28 %. La primera rebaja deja el 80 % del precio y la segunda el 90 % de eso, así que sobrevive 0,80 × 0,90 = 0,72, y el descuento total es 1 − 0,72 = 0,28. Los dos puntos que faltan son exactamente el 10 % del 20 % ya retirado, porque el segundo descuento se aplica a un número más pequeño. La regla general es que el total es 1 menos el producto de las fracciones supervivientes, y la suma ingenua siempre lo sobreestima — más cuanto mayores sean las rebajas. 30 % y 20 % dan 44 % y no 50 %; 40 % y 30 % dan 58 % y no 70 %; 50 %, luego 30 %, luego 20 % dan 72 % y no el 100 % que sugiere la suma. Ninguna cadena de descuentos porcentuales ordinarios puede llegar al 100 %, lo que es una comprobación útil de cualquier anuncio.

¿El orden de los descuentos cambia el precio final?

No para los porcentajes, y de forma decisiva para los vales de importe fijo. Dos descuentos porcentuales conmutan porque la multiplicación conmuta: 0,80 × 0,90 y 0,90 × 0,80 son ambos 0,72, así que un artículo de 120 € cuesta 86,40 € en cualquier orden que aplique la caja. Mete un vale en la cadena y los dos caminos se separan. En un artículo de 120 € con un 25 % de descuento y un vale de 20 €, primero el porcentaje da 120 × 0,75 = 90 €, menos 20 € son 70 €; primero el vale da 120 − 20 = 100 €, menos un 25 % son 75 €. La brecha es siempre el vale multiplicado por la tasa de descuento — aquí 20 × 0,25 = 5 € — y por tanto crece con ambos. En un artículo de 200 € al 40 % con un vale de 30 €, la brecha es 30 × 0,40 = 12 €. Primero el porcentaje favorece al cliente, primero el vale favorece a la tienda, y unas condiciones serias indican cuál se aplica.

¿Cómo afecta el IVA a un descuento?

En Europa el precio mostrado ya incluye el IVA, de modo que un descuento porcentual recae exactamente sobre lo que pagas y no hay sorpresas en caja. Un artículo de 120 € en un país con un IVA del 20 % contiene 100 € sin impuesto y 20 € de impuesto. Con un 20 % de descuento pagas 96 €, es decir 80 € sin impuesto y 16 € de IVA, y ahorras exactamente 24 €. La razón es que el descuento y el IVA son dos multiplicaciones que conmutan: aplicar 0,80 al precio con impuesto o al precio sin impuesto antes de añadir el IVA da el mismo resultado. Los vales de importe fijo se comportan de otro modo, porque se llevan su parte de impuesto: un vale de 20 € sobre ese artículo deja 100 € a pagar, o sea 83,33 € sin impuesto y 16,67 € de IVA, y el propio vale se descompone en 16,67 € sin impuesto más 3,33 € de IVA.

¿A qué descuento único equivale una combinación?

Multiplica las fracciones supervivientes y resta el resultado de uno: el descuento único equivalente es 1 − Π(1 − dᵢ). Una combinación de 20 % y 10 % equivale a un 28 %; 25 % y 15 % equivale a un 36,25 %; 30 % y 20 % equivale a un 44 %; 50 %, 30 % y 20 % juntos equivalen a un 72 %. Convertir cada oferta a su equivalente único es la única forma fiable de compararlas, y zanja las discusiones rápido: un 35 % plano pierde frente a un 25 % seguido de un 15 %, porque este último vale un 36,25 %. La fórmula también funciona al revés cuando diseñas una promoción. Dos rebajas iguales que deban combinarse exactamente en un 50 % no son de un 25 % cada una — cumplen (1 − d)² = 0,5, así que d = 1 − √0,5 = 29,29 %. Ten en cuenta que ninguna cadena de descuentos porcentuales ordinarios llega nunca al 100 %, porque un producto de factores estrictamente positivos es estrictamente positivo.

¿Qué margen revierte un descuento del 20 %?

Un veinticinco por ciento, no un veinte. Un descuento del 20 % deja el 80 % del precio, así que restaurar el original significa dividir entre 0,80, que es multiplicar por 1,25. La regla general es que revertir un descuento de d exige un margen de d ÷ (1 − d): tras una rebaja del 25 % necesitas un 33,33 %, tras un 30 % necesitas un 42,86 %, y tras un 50 % necesitas duplicar el precio. La asimetría tiene una consecuencia comercial directa. Un minorista que marca un coste de 100 con un 20 % hasta llegar a 120, y luego anuncia un 20 % de descuento, vende a 96 y queda un cuatro por ciento por debajo del coste — aplicar margen y descontar el mismo porcentaje nunca sale a la par, porque los dos porcentajes se calculan sobre bases distintas. Si negocias descuentos frente a un margen bruto, convierte todo a multiplicadores antes de aceptar: conceder un 15 % de descuento cuando tu margen bruto es del 15 % no reduce el beneficio a la mitad, lo borra.