Los puntos porcentuales no son por ciento

Dos afirmaciones ciertas sobre un mismo movimiento

La confusión no está en que una descripción sea correcta y la otra falsa. Está en que ambas son correctas y miden cosas distintas. Un punto porcentual es una diferencia sobre la propia escala: 5 % menos 4 % es un punto porcentual, igual que cinco metros menos cuatro metros es un metro. Una variación en por ciento es un cociente: la subida de uno, dividida entre el valor de partida de cuatro, da 0,25, así que la tasa subió un veinticinco por ciento. La primera responde a «cuánto se movió en la escala», la segunda a «cuánto más grande es que antes». Una tasa puede moverse mucho en una medida y apenas nada en la otra, y nada en las palabras por ciento y punto porcentual le dice al lector cuál se pretende.

La tabla de arriba hace visible la divergencia con siete pares. Fíjate en que la columna de puntos y la de por ciento se mueven de forma independiente: una subida de un punto vale un cien por cien partiendo del 1 %, un cincuenta por ciento partiendo del 2 % y un veinticinco por ciento partiendo del 4 %, mientras que una subida de cinco puntos vale un veinticinco por ciento desde el 20 % y solo un diez por ciento desde el 50 %. La lectura relativa es inversamente proporcional a la base, lo que significa que quien informe de un cambio desde una base pequeña puede producir un porcentaje impresionante casi a voluntad. El truco inverso también funciona: informa de un cambio desde una base grande en términos relativos y sonará trivial. Ninguno de los dos es mentira. Ambos son decisiones sobre qué número verdadero imprimir.

Donde la diferencia cambia la decisión

Toma un tipo de interés. Un préstamo a treinta años de 300 000 € al 4 % cuesta 1 432,25 € al mes; al 5 % cuesta 1 610,46 €. Eso es un punto porcentual sobre el tipo, un 12,4 % más sobre la cuota mensual y 64 158,83 € más de intereses totales — una subida del 29,8 % en lo que entregas al prestamista a lo largo del préstamo. Tres porcentajes legítimos, un único movimiento de fondo, y cada uno sostiene una frase distinta. Si un intermediario te dice que el tipo subió «solo un punto» y un comentarista afirma que el coste del crédito «se disparó un treinta por ciento», están describiendo el mismo hecho y ninguno te miente.

La misma división aparece en impuestos y en conversión. Sube un tipo del impuesto sobre la renta del 20 % al 22 %: el tipo se movió dos puntos, la factura fiscal subió un 10 %, y el neto pasó del 80 % al 78 % del bruto — una caída de solo un 2,5 % en relativo. Sobre una renta de 50 000, eso son 10 000 de impuesto que pasan a 11 000, y 40 000 netos que pasan a 39 000. Tres titulares, todos defendibles, todos apuntando en direcciones distintas. En el lado comercial el efecto juega a tu favor: subir una tasa de conversión del 2,0 % al 2,5 % es medio punto porcentual, que suena despreciable, pero es una ganancia relativa del 25 % — sobre 100 000 sesiones, 2 000 pedidos pasan a 2 500, y con un ticket medio de 60 la facturación pasa de 120 000 a 150 000. Medio punto vale 30 000. La regla vale para leer y para escribir: di siempre qué medida usas, y si una fuente no lo hace, calcula la otra antes de actuar.

Subir y bajar el mismo porcentaje no devuelve al punto de partida

Multiplica, no sumes. Una subida de x es una multiplicación por (1 + x) y una bajada de x una multiplicación por (1 − x), así que hacer ambas en cualquier orden multiplica por (1 + x)(1 − x). Desarróllalo y los términos cruzados se cancelan: el producto es 1 − x². Siempre es menor que 1 para cualquier x no nulo, así que siempre acabas por debajo de donde empezaste, y el déficit es exactamente el cuadrado del movimiento. Sube un 10 % y baja un 10 %: te queda 0,99, una pérdida del 1 %. Sube un 20 % y baja un 20 %: te queda 0,96, una pérdida del 4 %. Sube un 50 % y baja un 50 %: te queda 0,75 — un cuarto del valor se ha esfumado en dos movimientos que parecen compensarse. El orden es indiferente, porque la multiplicación conmuta, que es otra forma de decir que la pérdida es estructural y no cuestión de secuencia.

El corolario práctico es la regla de recuperación, la que más se falla cuando hay dinero de por medio. Para deshacer una caída de d necesitas una subida de d ÷ (1 − d), que siempre es mayor. Tras una caída del 20 % necesitas un 25 % para volver. Tras una del 25 % necesitas un 33,33 %. Tras una del 50 % necesitas un 100 % — duplicar — para regresar al punto de partida. Por eso las caídas máximas de una cartera se citan con tanto cuidado, por eso un descuento y el margen que lo revierte nunca son el mismo número, y por eso promediar variaciones porcentuales entre periodos no significa nada si no multiplicas los factores y tomas la raíz. Suma porcentajes solo cuando comparten base; si no, multiplica.

Los porcentajes de bases distintas no se suman

Un porcentaje no significa nada sin el número del que es porcentaje, y dos porcentajes calculados sobre bases distintas no son comparables. Si un departamento recorta costes un 10 % y otro un 20 %, la empresa no ha recortado costes un 30 %, ni un 15 %, ni ninguna cifra deducible solo de esos dos números — hacen falta los presupuestos reales. Promediarlos sin ponderar es la versión más común del error, y da por supuesto en silencio que las dos bases son iguales. La misma trampa anida en todo resumen de encuesta que da porcentajes por subgrupo y luego cita una cifra global: salvo que los subgrupos tengan el mismo tamaño, el porcentaje global no es el promedio de los porcentajes por subgrupo, y la discrepancia a veces basta para invertir la conclusión.

La trampa de redacción asociada es «de» frente a «más que». Ciento cincuenta por ciento de 80 es 1,5 × 80 = 120. Ciento cincuenta por ciento más que 80 es 80 + 1,5 × 80 = 200. Ambos difieren en la cantidad original, y la brecha crece con el multiplicador, lo que hace que la formulación merezca una segunda lectura en cualquier contrato o presupuesto. Lo mismo vale en el extremo pequeño: «el doble de rápido» y «un cien por cien más rápido» dicen lo mismo, mientras que «un doscientos por ciento más rápido» significa tres veces más rápido, no dos. En la duda, reformula la afirmación como multiplicador — esa forma no tiene ninguna ambigüedad.

Puntos básicos: la solución que las finanzas adoptaron de verdad

Los mercados mueven los tipos en incrementos pequeños y no pueden permitirse una frase con dos lecturas, así que inventaron una unidad que solo tiene una. Un punto básico es una centésima de punto porcentual: 100 puntos básicos son un punto porcentual, 25 puntos básicos son un cuarto de punto. Un banco central que sube tipos 25 puntos básicos lleva el 4,00 % al 4,25 %, sin ambigüedad — y eso es una subida relativa del 6,25 %, justo la cifra que habría dado lugar a discusión si alguien hubiera escrito «un cuarto de por ciento». La unidad es aditiva sobre la escala por construcción, así que los puntos básicos se suman y se restan sin pensar, que es exactamente lo que necesita una mesa de operaciones.

Conviene interiorizar lo que compra un punto básico. Veinticinco puntos básicos sobre un millón de principal son 2 500 al año: el 4,00 % rinde 40 000 y el 4,25 % rinde 42 500. Un número pequeño sobre el tipo y un número real sobre el flujo de caja, y ese desajuste es toda la razón de ser de la unidad. Puedes tomar prestada esa disciplina fuera de las finanzas sin coste. Informa de tasas de conversión, tasas de error, cuotas de mercado y cobertura de vacunación en puntos cuando quieras decir la diferencia sobre la escala, en por ciento cuando quieras decir la variación relativa, y di cuál de las dos en la misma frase. Cuesta tres palabras más y elimina toda una clase de discusiones.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre un punto porcentual y un por ciento?

Un punto porcentual es la diferencia aritmética entre dos porcentajes; una variación en por ciento es la diferencia relativa. Pasar del 4 % al 5 % es una subida de un punto porcentual, porque 5 − 4 = 1, y a la vez una subida del veinticinco por ciento, porque 1 ÷ 4 = 0,25. Ambas descripciones son correctas y responden a preguntas distintas: la primera pregunta cuánto se movió la tasa en la escala, la segunda cuánto más grande es que antes. La brecha entre ambas lecturas se ensancha a medida que la base encoge — un punto es un cien por cien desde una base del 1 %, un cincuenta por ciento desde el 2 %, un veinticinco por ciento desde el 4 % y solo un dos por ciento desde el 50 %. Siempre que informes de un cambio en una tasa, nombra la medida explícitamente, porque el lector no puede inferirla y los dos números pueden diferir en un orden de magnitud.

Si un precio sube un 50 % y luego baja un 50 %, ¿vuelve al punto de partida?

No. Termina en el 75 % del original, una pérdida de un cuarto. Una subida de x multiplica por (1 + x) y una bajada de x por (1 − x), así que el par multiplica por (1 + x)(1 − x) = 1 − x². Para x = 0,5 eso es 1 − 0,25 = 0,75. El déficit es siempre el cuadrado del movimiento, así que es pequeño para movimientos pequeños y brutal para grandes: 10 % arriba y abajo deja 0,99, 20 % deja 0,96, 50 % deja 0,75 y 80 % deja 0,36. El orden no cambia nada, porque la multiplicación conmuta. El corolario es la regla de recuperación: deshacer una caída de d exige una subida de d ÷ (1 − d), así que una caída del 20 % exige un 25 %, una del 25 % exige un 33,33 %, y una del 50 % exige un 100 % — duplicar — para volver al nivel.

¿Qué es un punto básico?

Una centésima de punto porcentual, así que 100 puntos básicos equivalen a un punto porcentual y 25 puntos básicos a un cuarto de punto. La unidad existe precisamente para matar la ambigüedad de la que trata este artículo: un punto básico es siempre una diferencia sobre la escala y nunca una variación relativa, así que se suma y se resta sin riesgo de malinterpretación. Un tipo que sube 25 puntos básicos desde el 4,00 % pasa al 4,25 %, que además es una subida relativa del 6,25 % — y ese segundo número es justo el que habría provocado una discusión si alguien hubiera escrito «un cuarto de por ciento». Fueron los importes financieros los que impusieron la convención: 25 puntos básicos sobre un millón de principal son 2 500 al año, ya que el 4,00 % rinde 40 000 y el 4,25 % rinde 42 500. Puedes adoptar la misma disciplina en cualquier campo que publique tasas.

¿Puedo sumar o promediar porcentajes?

Solo cuando comparten la misma base. Dos porcentajes calculados sobre denominadores distintos no son comparables, así que si un departamento recorta costes un 10 % y otro un 20 %, la empresa no ha recortado un 30 % ni un 15 % — no puedes responder sin los presupuestos reales. Promediar sin ponderar da por supuesto en silencio que las bases son iguales, la forma más común del error, y por eso un porcentaje global de encuesta no suele ser el promedio de los porcentajes por subgrupo salvo que estos tengan el mismo tamaño. Las variaciones sucesivas son peores: se multiplican, no se suman. Tres caídas consecutivas del 10 % dejan 0,9³ = 0,729, una caída total del 27,1 %, no del 30 %. Para promediar una serie de variaciones, multiplica los factores y toma la raíz enésima — la media geométrica — en lugar de promediar los porcentajes.

¿«150 % de» significa lo mismo que «150 % más que»?

No, y ambos difieren exactamente en la cantidad original. Ciento cincuenta por ciento de 80 es 1,5 × 80 = 120. Ciento cincuenta por ciento más que 80 es 80 + 1,5 × 80 = 200. El primero es un multiplicador aplicado a la base; el segundo es un incremento añadido sobre la base. La brecha se ensancha cuando crece el porcentaje, así que conviene releer la formulación en cualquier contrato, presupuesto o afirmación de rendimiento. La misma distinción acecha en las comparaciones de velocidad y tamaño: «el doble de rápido» y «un cien por cien más rápido» coinciden, pero «un doscientos por ciento más rápido» significa tres veces más rápido, no dos. Al escribir, la costumbre más segura es enunciar un multiplicador — «1,5 veces» o «2,5 veces» — porque un multiplicador tiene una sola lectura y no requiere convención alguna.

¿Cuánto cuesta realmente una subida de un punto en un préstamo?

Bastante más de un uno por ciento, y la respuesta depende de qué número mires. Toma un préstamo a treinta años de 300 000 €. Al 4 % la cuota mensual es de 1 432,25 €; al 5 % es de 1 610,46 €. Eso es un punto porcentual sobre el tipo, 178,22 € más al mes, y una subida del 12,4 % en la cuota. Mira los intereses totales de todo el plazo y el cuadro cambia otra vez: 215 608,52 € al 4 % frente a 279 767,35 € al 5 %, 64 158,83 € más, una subida del 29,8 %. Un movimiento, tres porcentajes legítimos, cada uno sosteniendo una frase distinta — y por eso un titular que dice que los tipos subieron «solo un punto» y otro que dice que el coste del crédito «se disparó un treinta por ciento» pueden describir el mismo hecho sin que ninguno sea falso. Antes de firmar nada, calcula la cifra mensual y la del plazo completo, porque responden a preguntas distintas sobre el mismo préstamo.