Repartir el alquiler entre habitaciones que no son iguales

Tercios iguales: el método que solo es justo por accidente

Partamos del piso que usaremos en todo el artículo: 2 400 € al mes, tres dormitorios. La habitación A tiene 18 m² y nada especial. La B tiene 12 m² y nada especial. La C solo tiene 10 m², la más pequeña del piso, pero cuenta con baño privado — y por eso este ejemplo merece trabajarse, ya que superficie y deseabilidad apuntan en sentidos opuestos.

El reparto igual cobra 800 € a cada uno. Tiene una virtud auténtica: no exige información ni discusión, y es la respuesta correcta en un solo caso, aquel en que las habitaciones son realmente intercambiables, como en algunas residencias de estudiantes construidas para eso. En todo lo demás es un impuesto sobre quien acaba en la peor habitación, cobrado en silencio cada mes durante toda la duración del contrato. En nuestro piso tarifa idénticamente 18 m² y 10 m², lo que nadie defendería en voz alta, y por eso el arreglo suele sobrevivir solo porque nadie lo menciona.

La superficie, y la superficie ponderada: mejores metros, la misma pregunta sin responder

Repartir por superficie es la mejora evidente y es realmente mejor que nada. Las tres habitaciones suman 40 m², así que la A se lleva 18 ÷ 40 = 45 % del alquiler, la B el 30 % y la C el 25 %: 1 080,00 €, 720,00 € y 600,00 €. La aritmética es transparente, comprobable con una cinta métrica, y elimina la injusticia más burda del reparto igual.

También cobra menos a la habitación más pequeña, en un piso donde la más pequeña es la que tiene baño propio. El parche evidente es ponderar la superficie por las prestaciones: da a la habitación C un coeficiente de 1,35 por el baño, y las unidades ponderadas pasan a ser 18, 12 y 13,5, con un total de 43,5. La A se lleva entonces 18 ÷ 43,5 = 41,379 %, la B el 27,586 % y la C el 31,034 %, es decir 993,10 €, 662,07 € y 744,83 €, cuya suma da exactamente el alquiler.

Es una mejora real y sigue siendo el tipo equivocado de respuesta, porque el peso está inventado. ¿Por qué 1,35 y no 1,2, o 1,6? Un baño privado vale muchísimo para quien madruga y absolutamente nada para quien se ducha en el gimnasio. En cuanto escribes una ponderación estás afirmando una preferencia en nombre de todos, y la aritmética que sigue no hace más que vestir tu afirmación de decimales. La sección siguiente muestra lo que eso cuesta en este piso concreto: incluso el reparto ponderado deja a un compañero prefiriendo estrictamente la habitación de otro.

La ausencia de envidia: la definición correcta de justo

Deja de preguntar cuánto vale cada habitación y haz una pregunta más afilada: ¿existe alguna asignación de habitaciones y algún conjunto de precios, sumando el alquiler, tal que nadie preferiría la habitación de otro a ese precio? Un reparto con esa propiedad se llama libre de envidia, y es el objetivo correcto porque es comprobable. No tienes que estar de acuerdo con las valoraciones ajenas; solo tienes que confirmar, por ti mismo, que prefieres tu propio trato a cada uno de los demás que hay sobre la mesa.

Lo tranquilizador es que tal reparto existe. El artículo de Francis Su publicado en 1999 en el American Mathematical Monthly demostró la armonía del alquiler mediante el lema de Sperner, apoyándose en el resultado de existencia anterior de Alkan, Demange y Gale en Econometrica, y la versión práctica del enunciado es fácil de llevar encima: si las valoraciones propias de cada compañero suman al menos el alquiler, existe una asignación de habitaciones junto con precios que suman el alquiler bajo los cuales nadie envidia a nadie, y nadie paga por su habitación más de lo que dijo que valía. No estás buscando algo que podría no estar ahí.

Tres compañeros, tres habitaciones, cálculo completo

Ana, Ben y Clara escriben cada uno cuánto vale para ellos cada habitación, con sus tres números sumando los 2 400 € de alquiler. Ana trabaja desde casa y cambiaría superficie por el baño privado: A 750, B 600, C 1 050. Ben quiere la habitación más grande y nada más le importa: A 1 050, B 750, C 600. Clara quiere luz y suelo y le da igual el baño: A 900, B 900, C 600. Nadie tiene que justificar esto; son preferencias, y todo el interés está en que el procedimiento no necesita que coincidan.

Examina ahora las seis formas de repartir las habitaciones y suma las pujas en cada caso. Ana en A, Ben en B, Clara en C da 750 + 750 + 600 = 2 100. Ana en A, Ben en C, Clara en B da 750 + 600 + 900 = 2 250. Ana en B, Ben en A, Clara en C da 600 + 1 050 + 600 = 2 250. Ana en B, Ben en C, Clara en A da 600 + 600 + 900 = 2 100. Ana en C, Ben en B, Clara en A da 1 050 + 750 + 900 = 2 700. Y Ana en C, Ben en A, Clara en B da 1 050 + 1 050 + 900 = 3 000, el ganador claro. Cada uno obtiene la habitación que más quería, coincidencia agradable en este ejemplo y que no es el objetivo de la regla — la regla maximiza el total, no a ningún individuo.

El total ganador, 3 000, supera el alquiler en 600. Ese excedente es la ganancia de asignar las habitaciones a quienes más las valoran; pertenece al hogar y no a un solo miembro, así que se reparte en tres: 200 cada uno. El precio de cada uno es entonces su propia puja menos su parte del excedente. Ana paga 1 050 − 200 = 850 € por la habitación C. Ben paga 1 050 − 200 = 850 € por la A. Clara paga 900 − 200 = 700 € por la B. Los tres precios suman 2 400 €, exactamente el alquiler, y no es suerte: se deduce de que el total ganador era 3 000 y se han devuelto 600.

Verifiquemos ahora la ausencia de envidia, persona a persona. Ana valora su habitación C en 1 050 y paga 850, así que su excedente es 200; la A le daría 750 − 850 = −100 y la B 600 − 700 = −100, ambas peores. Ben valora la A en 1 050 y paga 850, excedente 200; la B le daría 750 − 700 = 50 y la C 600 − 850 = −250, ambas peores que 200. Clara valora la B en 900 y paga 700, excedente 200; la A le daría 900 − 850 = 50 y la C 600 − 850 = −250. Nueve comparaciones, ninguna envidia, y los excedentes son iguales por construcción, exactamente 200 cada uno. Una salvedad que conviene decir: los precios de excedente igual son el primer candidato natural, pero no son libres de envidia en todos los problemas. Cuando una comprobación falla, se ajustan los precios hasta que todas las desigualdades se cumplan a la vez — es un pequeño programa lineal, y es lo que resuelven las implementaciones públicas.

Donde el reparto por superficie deja a alguien verdaderamente envidioso

Pasa a las mismas tres personas y la misma asignación por los precios de superficie — habitación A a 1 080,00 €, B a 720,00 €, C a 600,00 € — y el fallo salta a la vista. Ana en la C está encantada: la valora en 1 050 y paga 600, un excedente de 450. Clara en la B la valora en 900 y paga 720, un excedente de 180. Ben en la A la valora en 1 050 y paga 1 080, así que su excedente es menos 30. Preferiría la habitación B de Clara a 720, que vale 750 para él y le dejaría más 30. Incluso preferiría la C de Ana a 600, que valora exactamente en 600, lo que le dejaría en cero. Ben envidia estrictamente a los otros dos, y la medición que produjo este resultado era perfectamente exacta.

El reparto ponderado tampoco lo salva, y ese es el resultado más interesante. A 993,10 €, 662,07 € y 744,83 €, Ana conserva 305,17 de excedente y Clara 237,93, mientras Ben tiene 1 050 − 993,10 = 56,90 en su propia habitación y obtendría 750 − 662,07 = 87,93 en la de Clara. Sigue envidiándola por 87,93 €. Añadir un coeficiente afinó las cifras sin hacerlas justas, porque la ponderación expresaba la opinión de su autor sobre lo que vale un baño, y las únicas opiniones que cuentan son las tres del piso.

Curiosamente, el reparto igual no produce envidia estricta en este piso concreto: a 800 € cada uno, Ana conserva 250, Ben 250 y Clara 100, y Clara es exactamente indiferente entre su habitación a 800 y la A de Ana a 800. Pero mira esos excedentes: 250, 250, 100. Dos personas obtienen dos veces y media el beneficio de la tercera, y Clara está a una unidad de la envidia estricta. La ausencia de envidia es un suelo, no un techo: un reparto puede superarlo y aun así distribuir la ganancia desigualmente, y por eso el método por pujas iguala el excedente además de eliminar la envidia.

Espacios comunes, parejas, y la regla que de verdad evita la discusión

Los espacios comunes se resuelven solos, y eso sorprende. Como cada uno puja por el paquete completo — un dormitorio más la misma cocina, el mismo salón y la misma cola del baño que los demás — las zonas comunes se cancelan en la comparación, al ser idénticas para todos los pujadores. Lo que no se cancela es el uso exclusivo: si quien ocupa la habitación A dispone del único balcón, o quien ocupa la C guarda una bicicleta en la entrada, eso debe constar en el descriptivo antes de que nadie puje, o las pujas no versan sobre los mismos objetos.

La pareja que comparte una habitación es el caso que más a menudo se hace mal, porque se mezclan dos preguntas. Para el alquiler, una pareja en un dormitorio es un solo pujador con un solo presupuesto: ocupa una habitación y presenta un solo juego de números. Para todo lo que escala con el número de personas, son dos: agua, calefacción, electricidad, productos de limpieza, cola del baño. La convención practicable es repartir el alquiler por habitación con el método de arriba y el consumo por cabeza, y decirlo por escrito desde el principio, porque el hogar que descubre este desacuerdo en el mes siete tiene una conversación más difícil que el que lo resolvió la primera semana.

Otras dos previsiones ahorran problemas después. Decidid de antemano qué pasa cuando alguien se va: o quien llega toma simplemente la habitación del que se marcha a su precio, lo que es sencillo y algo injusto para un recién llegado con otros gustos, o se vuelve a repartir todo el piso con pujas nuevas, lo que es más equitativo y significa que el alquiler de todos puede moverse. Cualquiera de las dos vale; no decidir, no. Y comprueba cómo está redactado tu contrato, porque quién debe qué al casero es una cuestión jurídica distinta de quién debe qué a quién: un contrato único con cláusula de solidaridad puede hacer a cada inquilino responsable de todo el alquiler sea cual sea el acuerdo privado, así que lee el contrato y, cuando importe, pide asesoramiento local.

Preguntas frecuentes

¿Por qué mis pujas deben sumar el alquiler total?

Porque esa restricción hace comparables los números de personas distintas. Sin ella, un compañero podría inflarlo todo y otro desinflarlo todo, y los totales medirían entusiasmo en vez de preferencia. Exigir que los tres números de cada uno sumen el alquiler convierte el ejercicio en un reparto de una misma cantidad: lo que lleva información es la forma de tus pujas — cuánto más vale para ti una habitación que otra — y no su nivel. También sostiene la garantía: cuando los valores de cada persona suman al menos el alquiler, existe un conjunto de precios sin envidia en el que nadie paga por su habitación más de lo que dijo que valía.

¿Y si dos personas pujan más alto por la misma habitación?

No se rompe nada; ese es justamente el caso para el que está hecho el procedimiento. La asignación se elige para maximizar la suma de las pujas en el conjunto de las habitaciones, no habitación por habitación: uno de los dos la consigue y los precios se ajustan para que al otro no le importe. En la práctica, quien se lleva la habitación disputada la paga visiblemente más cara y el otro queda compensado con un precio menor en la suya, y la comprobación de envidia confirma que la compensación basta. Si la comprobación falla con los precios de excedente igual, se desplazan los precios hasta que todas las desigualdades se cumplan — el resultado de existencia garantiza que hay solución.

¿Puede alguien manipular el proceso pujando estratégicamente?

En principio sí, y en la práctica los incentivos son bastante desagradables como para desanimarlo. Sobrevalorar una habitación sube el precio que pagas si te la llevas, e infravalorar una arriesga que te den una habitación que no querías a un precio calculado a partir de tu propia infravaloración. Dos salvaguardas importan más que cualquier teoría. Primero, las pujas deben ser cerradas y revelarse simultáneamente, porque una revelación secuencial permite al último jugar contra personas y no sobre habitaciones. Segundo, todos deben saber antes de pujar cómo se calcularán los precios, para que nadie tenga que adivinar el mecanismo mientras adivina las habitaciones.

¿Funciona el método con cuatro, cinco o más compañeros?

Sí, y la matemática no cambia; solo crece la búsqueda. Tres personas dan seis asignaciones posibles, cuatro dan veinticuatro, cinco dan ciento veinte, y en algún punto comprobarlas a mano deja de tener sentido. El paso que estás haciendo es el clásico problema de asignación, que los algoritmos estándar resuelven con eficiencia a cualquier tamaño de hogar, y el paso de fijar precios sigue siendo un pequeño sistema de desigualdades. Existen implementaciones públicas — la herramienta de reparto de alquiler de Spliddit y el interactivo construido sobre el método de Su son las más conocidas — así que con más de cuatro habitaciones usa un solver y no una hoja de cálculo y una tarde de sábado.

¿Cómo debe contarse a una pareja que comparte un dormitorio?

Separa las dos preguntas. Para el alquiler son un solo pujador con un solo presupuesto: ocupan una habitación, presentan un solo juego de valores que suma el alquiler y pagan un solo precio. Para todo lo que escala con el número de personas en el piso — agua, calefacción, electricidad, productos de limpieza y la presión real sobre el baño y la cocina — son dos, y un reparto por cabeza de esos gastos es el tratamiento honesto. Acordadlo antes de que nadie se mude y ponedlo por escrito, porque es uno de los dos o tres desacuerdos que aparecen sin falta más tarde y es muy difícil de resolver una vez que alguien siente que lleva meses pagando de más.

¿Un reparto privado cambia lo que debemos al casero?

No, y aquí es donde termina el reparto justo y empieza el derecho de arrendamiento. Quién debe qué a quién dentro del piso es un acuerdo privado entre compañeros; quién debe qué al casero lo determina el contrato. Un contrato único, sobre todo con cláusula de solidaridad, puede hacer a cada inquilino responsable ante el casero de todo el alquiler con independencia del reparto interno, así que un compañero que deja de pagar deja a los demás expuestos por el importe completo. Los contratos separados por habitación funcionan de otra manera. Lee el documento y, cuando lo que está en juego lo justifique, pide asesoramiento en el país donde alquilas en vez de fiarte de una descripción general.