Repartir personas en grupos justos: aleatorio y justo no son la misma exigencia

La aritmética que nadie hace primero

Pide 23 personas en grupos de cuatro y algo tiene que ceder, porque 23 entre 4 da 5 y resto 3. Hay exactamente tres políticas sensatas. Llenar los grupos al tamaño objetivo y dejar el último corto: 4, 4, 4, 4, 4, 3. Mantener los cinco grupos llenos y repartir en ellos a los tres sobrantes: 5, 5, 5, 4, 4. O redondear el número de grupos a seis y equilibrar entre los seis: 4, 4, 4, 4, 4, 3. La primera y la tercera dan aquí los mismos tamaños, lo que sorprende a quien supone que tres políticas significan tres respuestas.

Cambia un poco los números y se separan. 23 personas de cinco en cinco dan 5, 5, 5, 5, 3 con la primera política, 6, 6, 6, 5 con la segunda y 5, 5, 5, 4, 4 con la tercera — tres resultados realmente distintos, y el primero deja un grupo un 40 % más pequeño que sus vecinos. 30 personas de cuatro en cuatro es peor: la política A produce siete cuartetos y una pareja, dos de diferencia entre el grupo mayor y el menor, mientras que las otras dos mantienen la diferencia en uno. La lección es que el enfoque ingenuo de llenar y truncar es el único que puede dejar un grupo gravemente varado, y es además el que la mayoría de las herramientas aplica por defecto.

El azar puede ser espectacularmente injusto

Toma 24 personas clasificadas del 1 al 24 por nivel y repártelas uniformemente al azar en seis grupos de cuatro. Puntúa cada grupo por la suma de los rangos de sus miembros: el grupo medio suma 50, y un buen reparto mantiene a todos cerca de ahí. No lo hace. La varianza de la suma de un grupo es 4 × ((24² − 1)/12) × (24 − 4)/(24 − 1) = 166,67, así que la desviación típica es 12,91. El rango alcanzable va de 10, si los rangos 1 a 4 caen juntos, a 90. Ese extremo es raro — la probabilidad de que los cuatro mejores compartan grupo es (3/23)(2/22)(1/21), una entre 1 771 — pero los casi-extremos no lo son en absoluto.

Simular 200 000 repartos aleatorios hizo concreto el caso cotidiano. La diferencia entre el grupo más fuerte y el más débil, medida como diferencia de sumas de rangos, promedió 36,04 y llegó a 77 en el peor caso. En el 20,97 % de los repartos — más de uno de cada cinco — algún grupo tenía tres o más de las seis mejores personas. No es un suceso extravagante que puedas descartar; es lo que ocurre una sesión de cada cinco, y es justo lo que los participantes notan y reprochan. El azar te da la ausencia de favoritismo, una propiedad real y valiosa, pero no te da equilibrio — y nadie que pidiera grupos justos pensaba en la primera.

Asignación estratificada: sigue siendo aleatoria, pero acotada

El arreglo consiste en dejar de barajar la lista entera. Ordena por nivel, corta el ranking en tantos estratos como personas haya por grupo — para 24 personas en grupos de cuatro son cuatro estratos de seis — baraja dentro de cada estrato y reparte una persona de cada uno en cada grupo. Cada grupo tiene entonces exactamente uno de los rangos 1 a 6, uno de los 7 a 12, uno de los 13 a 18 y uno de los 19 a 24. Dentro de un estrato la asignación sigue siendo uniformemente aleatoria, así que nadie puede predecir ni influir en dónde cae; entre estratos, la composición está fijada.

La mejora no es cualitativa, es medible. La varianza de la suma de un grupo baja de 166,67 a 4 × ((6² − 1)/12) = 11,67, así que la desviación típica cae de 12,91 a 3,42 — un factor de 3,78. El rango alcanzable se estrecha de 10-90 a 40-60, porque la menor suma estratificada posible es 1 + 7 + 13 + 19 = 40 y la mayor 6 + 12 + 18 + 24 = 60. En las mismas 200 000 simulaciones la diferencia media entre grupo más fuerte y más débil cayó de 36,04 a 9,52, el peor caso de 77 a 20, y la fracción de repartos en los que algún grupo tenía tres o más de los seis mejores pasó del 20,97 % a cero — no rara, imposible, porque cada grupo recibe por construcción exactamente un miembro del estrato superior.

Las repeticiones de parejas llegan antes de lo que crees

Lanza el mismo generador de grupos semana tras semana y la gente empieza a notar que le tocan siempre los mismos compañeros. La aritmética lo explica. En una sola ronda de n personas en grupos de tamaño s, la probabilidad de que dos personas concretas compartan grupo es (s − 1)/(n − 1) — para 24 personas de cuatro en cuatro es 3/23, en torno al 13,0 %. A lo largo de r rondas el número esperado de encuentros de una pareja dada es r × 3/23, y la probabilidad de que se encuentren dos o más veces se sigue de la binomial: 1,70 % tras dos rondas, 4,66 % tras tres, 8,52 % tras cuatro, 12,99 % tras cinco.

Esos porcentajes suenan pequeños hasta que los multiplicas por el número de parejas. Con 24 personas hay C(24,2) = 276 parejas, así que tras cinco rondas aleatorias independientes cabe esperar unas 36 parejas que se han encontrado al menos dos veces, y tras ocho rondas unas 78 — más de un cuarto de todos. Aleatorizar de forma independiente cada semana es por tanto el ajuste por defecto equivocado para una sesión recurrente. Lo que quieres es un calendario que recuerde qué parejas ya se han visto y evite repetirlas, lo cual es un problema completamente distinto y mucho más difícil.

Calendarios de rotación y por qué son de verdad difíciles

La forma general tiene nombre — el problema del golfista social — y una cota superior sencilla que puedes deducir en una línea. En cada ronda una persona se encuentra con s − 1 más, y solo hay n − 1 personas más, así que ningún calendario puede durar más que la parte entera de (n − 1)/(s − 1) rondas sin repetir una pareja. Para 24 personas de cuatro en cuatro es 23/3, o sea como mucho 7 rondas. Para 32 de cuatro en cuatro es 31/3, como mucho 10. Para 9 personas de tres en tres es 8/2, como mucho 4. La cota es fácil; alcanzarla no lo es, y para muchas combinaciones de n y s sigue siendo una cuestión abierta si existe siquiera un calendario perfecto.

Donde los números son amables, un calendario perfecto se construye en vez de buscarse. Nueve jugadores en grupos de tres es uno de esos casos: etiqueta a los jugadores con las nueve casillas de una cuadrícula 3 × 3 y toma como cuatro rondas las filas, las columnas y las dos familias de diagonales quebradas. Construir ese calendario y comprobarlo dio ADG / BEH / CFI, luego ABC / DEF / GHI, luego AFH / BDI / CEG, luego AEI / CDH / BFG — cuatro rondas que cubren las C(9,2) = 36 parejas exactamente una vez, con cero repeticiones. La cota alcanzada. Para tamaños sin una construcción así, la regla práctica es guardar un registro de las parejas pasadas y hacer que tu generador rechace un reparto que repita demasiadas; reintentar unos cientos de repartos candidatos y quedarse con el de menos repeticiones da casi todo el beneficio sin nada de teoría.

Elegir una política antes de la sesión, no durante

Tres decisiones zanjan casi toda discusión de agrupación, y las tres salen más baratas tomadas por adelantado. Primero, fija la política de resto: si un grupo corto resulta incómodo — un debate, un juego de cartas, una escalera de dobles — usa la política que reparte el resto en vez de la que lo abandona. Segundo, decide si el reparto necesita estar equilibrado en algo. Si es así, nombra la variable de ordenación en voz alta, porque la estratificación necesita un orden, y un orden no dicho lo pondrá quien maneje la herramienta. Tercero, decide si la sesión se repite; si lo hace, guarda el historial desde la primera ronda en vez de reconstruirlo después.

Una advertencia sobre la estratificación: es una herramienta potente y puede usarse para defender un ranking malo. Equilibrar sobre una variable medida y acordada — una clasificación, una nota, un nivel asignado por los propios participantes — es defendible. Equilibrar sobre una variable que alguien improvisó es solo una mano oculta disfrazada de aritmética. El método estratificado es honesto justamente porque el orden que usa es visible; si no puedes mostrar el orden, haz el reparto puramente aleatorio y acepta la varianza, porque un equilibrio no auditable es peor que un desequilibrio visible.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se reparten 23 personas en grupos de cuatro?

Hay dos respuestas distintas, no tres. 23 = 5 × 4 + 3, así que puedes tener seis grupos de 4, 4, 4, 4, 4, 3, o cinco grupos de 5, 5, 5, 4, 4. La tercera política que se suele nombrar — redondear el número de grupos hacia arriba y equilibrar — da 4, 4, 4, 4, 4, 3, que es de nuevo la primera respuesta, porque 23 repartido en seis grupos da 3 y resto 5 y cae en el mismo multiconjunto. Elige por consecuencia y no por principio: si la actividad funciona mal con tres personas, usa la versión de cinco grupos; si un grupo de cinco resulta pesado, usa la de seis. Ten en cuenta que no hay forma de llegar a un solo grupo de cinco con todo el resto a cuatro, porque 23 − 5 = 18 y 18 no es múltiplo de 4.

¿Un reparto estratificado sigue siendo aleatorio?

Sí, dentro de cada estrato, y esa es la propiedad que importa para la equidad del procedimiento. Si cortas un ranking de 24 personas en cuatro estratos de seis y barajas cada estrato antes de repartir, cada persona del top seis tiene exactamente la misma probabilidad de caer en cualquiera de los seis grupos. Nadie sale favorecido, nadie puede predecir su colocación y nadie puede influir en ella. Lo que ya no es aleatorio es el perfil de composición: todo grupo tiene garantizado un miembro de cada estrato. Esa restricción es la que baja la desviación típica de la fuerza del grupo de 12,91 a 3,42 y acota las sumas posibles al intervalo 40-60 en lugar de 10-90. Cedes resultados que no querías a cambio de una garantía que sí.

¿Con qué frecuencia acabarán juntas las mismas dos personas?

En una sola ronda es (s − 1)/(n − 1): con 24 personas en grupos de cuatro, 3/23, o sea 13,0 %. A lo largo de rondas independientes repetidas se acumula. La probabilidad de que una pareja dada coincida al menos dos veces es del 1,70 % tras dos rondas, 4,66 % tras tres, 8,52 % tras cuatro y 12,99 % tras cinco. Multiplica por el número de parejas y el cuadro cambia de carácter: 24 personas forman 276 parejas, así que cinco rondas de aleatorización independiente producirán unas 36 repeticiones, y ocho rondas unas 78. Si las repeticiones te importan, no vuelvas a aleatorizar desde cero cada sesión — guarda el historial y haz que el generador rechace repartos que repitan demasiadas parejas pasadas. Un calendario perfecto sin repeticiones no puede durar más que la parte entera de (n − 1)/(s − 1) rondas, que es 7 para 24 personas de cuatro en cuatro.

¿Puedo construir un calendario donde nadie repita compañero nunca?

A veces, y hay un techo duro sobre cuánto puede durar. En cada ronda una persona se encuentra con s − 1 de entre n − 1 candidatos, así que el calendario no puede exceder la parte entera de (n − 1)/(s − 1) rondas — 4 rondas para 9 personas de tres en tres, 7 para 24 de cuatro en cuatro, 10 para 32 de cuatro en cuatro. Alcanzar el techo exige un diseño combinatorio, y existe uno para el caso de nueve jugadores: etiqueta a los jugadores como las casillas de una cuadrícula 3 × 3 y toma las filas, las columnas y las dos familias de diagonales como tus cuatro rondas. Construido y comprobado, da ADG / BEH / CFI, ABC / DEF / GHI, AFH / BDI / CEG, AEI / CDH / BFG, cubriendo las 36 parejas exactamente una vez. Para la mayoría de los demás tamaños no se conoce tal construcción, el problema es el célebre problema del golfista social, y la respuesta práctica es una búsqueda: generar repartos candidatos, puntuarlos por cuántas parejas pasadas repiten y quedarse con el mejor.

¿Y si no tengo ningún ranking para estratificar?

Entonces usa el reparto puramente aleatorio y di explícitamente que los grupos están desequilibrados por diseño. La estratificación exige un orden, e inventarlo sobre la marcha es peor que no tenerlo — convierte la opinión del organizador en algo que parece aritmética. Si necesitas un orden defendible, toma uno que ya exista y que los participantes puedan ver: una clasificación de sesiones anteriores, una nota de evaluación, un nivel autodeclarado, la antigüedad o el resultado de una ronda corta de clasificación. Si nada de eso está disponible o es aceptable, acepta la varianza: con 24 personas en seis grupos de cuatro, la desviación típica de la fuerza del grupo es 12,91 en vez de 3,42, y aproximadamente uno de cada cinco repartos juntará tres o más de los seis mejores. Anúncialo como el coste conocido de un sorteo sin estratificar, en vez de descubrirlo delante de la sala.