Comment calculer la pente d'une droite : la montée sur la course

La montée sur la course, pas à pas

La pente répond à une question simple : en avançant sur la droite vers la droite, de combien monte-t-elle ou descend-elle ? La montée est le changement vertical et la course le changement horizontal, et leur rapport est la pente. Comme une droite a une inclinaison constante, deux points quelconques donnent toujours le même nombre.

La seule règle à respecter est l'ordre : soustrais les coordonnées dans le même sens en haut et en bas. Pour (1, 2) et (4, 8), faire (8 − 2) / (4 − 1) = 2 est correct, tout comme (2 − 8) / (1 − 4) = −6 / −3 = 2. Ce qui casse tout, c'est de mélanger l'ordre — (8 − 2) / (1 − 4) = 6 / −3 = −2 — qui inverse le signe et donne un mauvais résultat.

Ce que signifie le signe de la pente

Une pente positive : la droite monte de gauche à droite, comme une colline. Une pente négative : elle descend. Plus la valeur absolue est grande, plus la droite est raide : une pente de 5 est bien plus raide qu'une pente de 0,5, et une pente de −3 descend fortement. Le signe donne le sens, la taille l'inclinaison.

Deux cas particuliers ressortent. Une droite horizontale a une pente nulle : elle ne monte jamais, la montée est 0 et 0 divisé par toute course fait 0. Une droite verticale a une pente indéfinie : la course est 0, et diviser par zéro est interdit, donc la pente n'existe pas. Ces deux extrêmes encadrent toutes les autres droites.

La pente dans l'équation de la droite et dans la vie

La pente est le m de l'équation y = mx + b, où b est l'ordonnée à l'origine, le point où la droite coupe l'axe vertical. Une fois la pente connue à partir de deux points, injecte l'un des points dans y = mx + b pour trouver b et tu as l'équation complète. Tu peux alors prédire le y pour tout x.

L'idée se retrouve partout hors de la classe. La pente d'une route est exprimée en pourcentage, une déclivité de 6 % monte de 6 mètres tous les 100 parcourus. Une rampe pour fauteuil au 1 sur 12 monte d'une unité tous les 12 de longueur. Sur un graphe distance-temps, la pente est la vitesse. La pente transforme l'image d'une droite en un taux exploitable.

Questions fréquentes

Le choix du point 1 a-t-il de l'importance ?

Non, tant que tu es cohérent. Quel que soit le point nommé en premier, utilise ses coordonnées en premier en haut et en bas de la fraction. Si tu soustrais les y dans un ordre et les x dans l'autre, tu inverses le signe et obtiens une pente fausse.

Quelle est la pente d'une droite horizontale ?

Zéro. Une droite horizontale ne monte ni ne descend, donc y₂ − y₁ = 0, et zéro divisé par toute course non nulle vaut zéro. Son équation est simplement y = b, une constante. C'est différent d'une droite verticale, dont la pente est indéfinie.

Comment convertir une pente en pourcentage ?

Multiplie la pente par 100. Une pente de 0,06 est une déclivité de 6 %, soit 6 unités de montée pour 100 de distance horizontale. C'est ainsi que panneaux et rampes expriment l'inclinaison, simplement le rapport montée/course mis à l'échelle.

Comment les pentes de droites parallèles et perpendiculaires sont-elles liées ?

Les droites parallèles ont des pentes égales, car elles montent au même rythme. Les droites perpendiculaires ont des pentes opposées et inverses : leur produit vaut −1. Ainsi une droite de pente 2 est perpendiculaire à une droite de pente −1/2.