Comment utiliser la formule quadratique : résoudre ax² + bx + c = 0

Poser la formule correctement

La formule ne marche qu'une fois l'équation en forme standard : ax² + bx + c = 0, avec zéro à droite. Si tu pars de 2x² + 3x = 5, soustrais d'abord 5 pour obtenir 2x² + 3x − 5 = 0, d'où a = 2, b = 3, c = −5. L'erreur la plus fréquente est de mal lire un signe, alors écris chaque coefficient avec son signe avant de substituer.

Surveille surtout le terme −b. Si b est déjà négatif, alors −b devient positif : pour x² − 5x + 6 = 0, b = −5, donc −b = +5. Une mise en place soignée — a = 1, b = −5, c = 6 — transforme la formule en x = (5 ± √(25 − 24)) / 2. Bien gérer les signes ici élimine presque toutes les erreurs suivantes.

Ce que le discriminant t'apprend

Le discriminant b² − 4ac décide la forme de la réponse avant même de finir. S'il est positif, la racine est un nombre réel et le ± donne deux racines réelles distinctes. S'il est exactement nul, le ± n'ajoute ni ne retranche rien, donc les deux racines coïncident en une seule solution double. S'il est négatif, la racine d'un nombre négatif n'est pas réelle, donc l'équation n'a pas de solution réelle — seulement complexe.

Géométriquement, les racines sont là où la parabole y = ax² + bx + c coupe l'axe des x. Deux racines réelles : elle coupe deux fois ; un discriminant nul : elle effleure l'axe à son sommet ; un discriminant négatif : la parabole flotte entièrement au-dessus ou en dessous et ne coupe jamais. Vérifier d'abord le signe du discriminant indique le type de réponse attendu.

Un exemple entièrement résolu

Résous 2x² + 3x − 5 = 0. Ici a = 2, b = 3, c = −5. Le discriminant vaut 3² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49, positif, donc deux racines réelles attendues. Sa racine carrée est 7, donc x = (−3 ± 7) / (2 × 2) = (−3 ± 7) / 4. La branche plus donne (−3 + 7) / 4 = 1, et la branche moins donne (−3 − 7) / 4 = −2,5.

Vérifie toujours en resubstituant. Pour x = 1 : 2(1) + 3(1) − 5 = 2 + 3 − 5 = 0. Pour x = −2,5 : 2(6,25) + 3(−2,5) − 5 = 12,5 − 7,5 − 5 = 0. Les deux sont bons. Cette étape repère les erreurs de signe et de calcul, et prend un instant comparé à tout refaire.

Questions fréquentes

Que faire si a vaut zéro ?

Alors ce n'est pas un second degré. Si a = 0, le terme x² disparaît et il reste l'équation linéaire bx + c = 0, résolue simplement par x = −c / b. La formule quadratique diviserait par 2a = 0, ce qui est indéfini, utilise donc la méthode linéaire.

Puis-je toujours factoriser au lieu d'utiliser la formule ?

Pas toujours. La factorisation est rapide quand les racines sont des entiers simples ou des fractions nettes, mais beaucoup de seconds degrés ont des racines irrationnelles qui résistent. La formule marche pour tout second degré, c'est donc le recours fiable quand la factorisation ne vient pas.

Que signifie une racine double ?

Cela signifie que les deux solutions sont égales car le discriminant est nul. Pour x² − 4x + 4 = 0 le discriminant vaut 16 − 16 = 0, donc x = 2 est la seule racine, comptée deux fois. La parabole touche l'axe des x en un seul point, son sommet.

Comment gérer un discriminant négatif ?

Il n'y a pas de solution réelle, donc si ton cours ne veut que des réponses réelles, tu le signales. Si les complexes sont permis, écris la racine du discriminant négatif avec i, où i² = −1, et le ± donne alors une paire de racines complexes conjuguées.